中考数学模拟汇编一31解直角三角形的应用

解直角三角形的应用

一、选择题

A组

1. （北京四中中考全真模拟15）从小明家到学校有两条路。一条沿北偏东45度方向可直达学校前门，另一条从小明家一直往东，到商店处向正北走200米，到学校后门。若两条路的路程相等，学校南北走向。学校的后门在小明家北偏东67.5度处。学校从前门到后门的距离是（     ）米.

 A.200米;B.200米;C.200米;D.200米

答案：B

2.（.河北廊坊安次区一模）如图4，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天

桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为，则坡面AC的长度为

A． m  B．10 m  C． m  D． m

答案:B

3. (浙江省杭州市10模)如图，小亮同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点P时，发现他的身影顶部正好接触路灯B的底部，这时他离路灯A 25米，离路灯B 5米，如果小亮的身高为1.6米，那么路灯高度为 ( ▲ )

A．6.4米     B． 8米      C．9.6米     D． 11.2米

答案:C

（第3题）

4. (浙江省杭州市瓜沥镇初级中学中考数学模拟试卷)

如图所示，平地上一棵树高为6米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成60°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长…………………(      )

A.      B.        C.        D.   

答案：B

5．(河北省中考模拟试卷)石家庄市在“三大变样”城中村改造建设中，计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要……（　　）

A．450a元         B．225a元       C．150a元       D．300a元

答案：C

B组

1．（杭州上城区一模）Rt△ABC中，∠C=90°，、、分别是∠A、∠B、∠C的对

边，那么等于（   ）

A.               B.

 C.                  D.

答案：B

2．（浙江杭州义蓬一中一模）如图，小明发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30º角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为(    )

A．14米     B．28米     C．米    D．米

答案：D

3.（安徽芜湖模拟）小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m，则他升高了  （     ）

A．500m       B．m       C．m      D．1000m

答案: B

4.（浙江杭州进化一模）如图折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处. 已知AB=, ∠B=30°, 则DE的长是(      ).

A. 6         B. 4          C.          D. 2

答案: B

5、（北京四中34模）如图，矩形ABCD中，AB>AD，AB=a，过点A作射线AM，使得∠DAM=60°，DE⊥AM与E，DF⊥AM与F，则DE+CF的值是（用含a的代数式表示，）（  ）

A．a          B．       C．     D．

答案：D

6．（浙江省杭州市模2）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值是（　　）

A．           B．2           

C．          D．

答案：B

二、填空题

A组

1、（北京四中模拟28）

如图，一人乘雪橇沿坡比1∶的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为     __米．

答案：36

2. （浙江杭州模拟7）如图为护城河改造前后河床的横断面示意图，将河床原竖直迎水面BC改建为坡度1：0．5的迎水坡AB，已知AB=4米，则河床

面的宽减少了_______ 米．(即求AC的长)

答案:4

3. (浙江省杭州市8模)如图，小明在A时测得某树的影长为3米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____米.

答案:6[来源:Z。xx。k.Com]

4．(宁夏银川)为了测量水塔的高度，取一根竹杆放在阳光下，已知2米长的竹杆投影长为1.5米，在同一时刻测得水塔的投影长为30米，则水塔高为_________米.

答案：40

B组

1.（灌南县新集中学一模）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝20，cosB＝，则BC等于           .

答案：5

2.（灌南县新集中学一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CB＝6，在斜边AB上取一点M，使MB＝CB，过M作MN⊥AB交AC于N，则MN＝           .

答案：  3 

3. （河南新乡模拟）如图，甲、乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的处目测得点 与甲、乙楼顶刚好在同一直线上，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是    米．

答案：60米　

4、（北京四中中考模拟13）如图，沿倾斜角为30º的山坡植树，

要求相邻两棵树间的水平距离AC为，那么相邻两棵树的斜坡距离

AB约为_________;

(结果精确到0.1m，可能用到的数据：).

答案：约为

5.（北京四中中考模拟14）如图:为了测量河对岸旗杆AB的高度,在

点C处测得顶端A的仰角为30°,沿CB方向前进20m达到D处,在D点测得

旗杆顶端A的仰角为45°,则旗杆AB的高度为__________m.(精确到0.1m)

答案：27.3

6. （深圳市模四） 如图所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（保留根号）

答案：

7、（北京四中33模）如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC//AD，迎水坡AB长10m，且，则河堤的高BE为             m。

答案：8

三、解答题

A组

1．（黄冈中考调研六）池塘中竖着一块碑，在高于水面1米的地方观测，测得碑顶的仰角为，测得碑顶在水中倒影的俯角为（研究问题时可把碑顶及其在水中的倒影所在的直线与水平线垂直），求水面到碑顶的高度（精确到0.01米，）.

解：如图，DE表示水面，A表示观测点，

B为碑顶，在水中的倒影，由题意：

 设,则

 在Rt△ABC中， 

 在Rt△AC中， 

 由、得

 米

 答：水面到碑顶的高度4.41米.

2. （江苏盐都中考模拟）（本题10分）青海玉树地震发生后，一支专业搜救队驱车前往灾区救援．如图，汽车在一条南北走向的公路上向北行驶，当在A处时，车载GPS（全球卫星定位系统）显示村庄C在北偏西26°方向，汽车以35km/h的速度前行2h到达B处，GPS显示村庄C在北偏西52°方向．

（1）求B处到村庄C的距离；

（2）求村庄C到该公路的距离．（结果精确到0.1km）

（参考数据：，，

，）

解：过作，交于．

（1），，，，即处到村庄的距离为70km．（4分）

（2）在中，                                                                    

（5分）．          

即村庄到该公路的距离约为55.2km．（1分）

3、（北京四中中考模拟18）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米／时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变．若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响．

（1）该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由．

（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?

（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级?

解：（1）如图，由点A作AD⊥BC，垂足为D．∵AB＝220，∠B＝30°∴AD＝110（千米）．由题意，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响．故该城市会受到这次台风的影响．

（2）由题意，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响．则AE＝AF＝160．当台风中心从E处移到F处时，该城市都会受到这次台风的影响．由勾股定理得：．∴EF＝60（千米）．∵该台风中心以15千米／时的速度移动．∴这次台风影响该城市的持续时间为（小时）．

（3）当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－＝6.5（级）．

4.（浙江省杭州市模拟23）

    为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛北偏西并距该岛海里的处待命．位于该岛正西方向处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东的方向有我军护航舰（如图9所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置处？（结果精确到个位．参考数据：）

答案：解：由图可知，·····························2分

         作于（如图），

         在中，

         ∴··········································4分

         在中，

         ∴··········································6分

         ∴8分

         ∴（分钟）9分

答：我护航舰约需28分钟就可到达该商船所在的位置10分

5、(浙江省杭州市中考数学模拟22（原创）

 如图,装修师傅装修一间房子，在两墙之间有一架底端在M点的梯子,当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在A点；当它靠在另一侧墙上时梯子的顶端在D点.已知，，且点A到地面的垂直距离为4米，试求D点到地面垂直的距离．(结果保留三个有效数字。)

答案：18、（本小题满分6分）

        2分

  2分

6、（北京四中模拟26）

如图，已知灯塔A的周围7海里的范围内有暗礁，一艘渔轮在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，向正东航行8海里到C处后，又测得该灯塔在北偏东30°方向，渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有触礁危险？请通过计算说明理由（参考数据1.732）。

答案：作AD⊥BC交BC延长线于D，设AD=，在Rt△ACD中，

∠CAD=30° ∴CD=。在Rt△ABD中，∠ABD=30°

∴BD=   ∵BC=8    

∴有触礁危险。 

7、（北京四中模拟）

李攀家居住在某居民小区，在距他房前24米的地方有一幢26层的电梯公寓，刘卉家就住在这幢公寓里，刘卉的奶奶每天上午都能在她家的阳台上晒到太阳。已知太阳光与水平线的夹角为32°，李攀家所住的楼高40米，电梯公寓每层高2.5米，问刘卉家住的楼层至少是几楼？

（计算结果保留整数，参考数据）

解：过E作EF⊥AB于F     ∵AB⊥BC，DC⊥BC      ∴四边形BCEF是矩形，

     EF=BC=24，∠AEF=32°∵tan∠AEF=  ∴AF=EF tan∠AEF=24×=15

∴EC=BF=40-15=25，25÷25=10，故刘卉家住的楼层至少是10层。

8.(湖北省天门市一模)安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示.已知集热管AE与支架BF所在直线相交与水箱横截面⊙O的圆心O,⊙O的半径为0.2m,AO与屋面AB的夹角为32°，与铅垂线OD的夹角为40°，BF⊥AB于B，OD⊥AD于D，AB＝2m,求屋面AB的坡度和支架BF的长.

(参考数据：)

∵OD⊥AD

        ∴∠AOD+∠OAC+∠CAD=90°

        ∵∠OAC=32°，∠AOD=40°

        ∴∠CAD=18°

        ∴i==tan18°=1：3 

        在Rt△OAB中，=tan32°

        ∴OB=AB·tan32°=2×=1.24

 ∴BF=OB-OF=1.24-0.2=1.04(m) 

9.（浙江杭州模拟7）如图：把一张给定大小的矩形卡片ABCD放在宽度为10mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α＝25°,求长方形卡片的周长。（精确到1mm，参考数据： sin25°≈0，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5）.

答案:  解：作AF⊥l4，交l2于E，交l4于F 

则△ABE和△AFD均为直角三角形 

在Rt△ABE中，∠ABE＝∠α＝25°

sin∠ABE＝ 

∴AB＝＝50 

∵∠FAD＝90°－∠BAE，∠α＝90°－∠BAE

∴∠FAD＝∠α＝25° 

在Rt△AFD中，cos∠FAD＝ 

AD＝≈44.4

∴长方形卡片ABCD的周长为（44.4＋50）×2＝190（mm） 

10．（江苏连云港）（本小题满分8分）

如图，大楼的高为16米，远处有一塔，小李在楼底处测得塔顶处的仰角为，在楼顶处测得塔顶处的仰角为．其中两点分别位于两点正下方，且两点在同一水平线上，求塔的高度．

解：作于，

可得和矩形，

则有，… …… …… ……… ……… …   （2分）

在中，… …… …… ……（4分）

在中，，… …… ……（5分）

，解得：… …… ……（7分）

所以塔的高度为米．… …… ……       8分

11 （江苏盐城）如图，跷跷板AB的一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为15，且OA＝OB＝3m．[来源:学科网]

(1)求此时另一端A离地面的距离(精确到0.1m)；

(2)跷动AB，使端点A碰到地面，请画出点A运动的路线(不写画法，保留画图痕迹)并求出点A运动的路线长．

(参考数据：sin15≈0.26，cos15≈0.97，tan15≈0.27)

答案．(1)A点离地面的距离约为1.6m …4′  (2)画图略 …7′  点A运动的路线长为．…10′

12、(浙江杭州模拟15)如图，“五一”节，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为20m，旋转1周需要24min（匀速）。小明乘坐最底部的车厢按逆时针方向旋转（离地面约1m）开始1周的观光。

（1）2min后小明离地面的高度是多少？

（2）摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度到达11m？

(3)在旋转一周的过程中，.小明将有多长时间连续保持在离地面31m以上的空中?

13、(浙江杭州模拟16)3月11日13时46分日本发生了9.0级大地震，伴随着就是海啸。山坡上有一棵与水平面垂直的大树，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．

已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干的倾斜角为

∠BAC=38°,大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°,AD=4m。

（1）求∠DAC的度数；

（2）求这棵大树折点C到坡面AE的距离？

（结果精确到个位，参考数据：，，）．

14、（8分）(山西阳泉盂县月考)如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°，已知原传送带AB长为4米。

（1）求新传送带AC的长度；

（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由。（说明：（1）（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.14，≈1.73，≈2.24，≈2.45）

15．（浙江仙居）（10分）如图，李明同学在东西方向的滨海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，他向东走400米至B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上，求灯塔P到滨海路的距离．（结果保留根号）

解：过点P作PC⊥AB，垂足为C.           ………………………………………………1分

由题意, 得∠PAB＝30°，∠PBC＝60°.

∵ ∠PBC是△APB的一个外角，∴ ∠APB＝∠PBC-∠PAB=30O.    …………………3分

∴ ∠PAB＝∠APB.             ………………………………………………………4分

故 AB=PB=400米．        …………………………6分

在Rt△PBC中，∠PCB＝90°，∠PBC＝60°，PB=400，

∴ PC=PB         …………………………8分

=400×=（米）.…………………10分

16．(河北省中考模拟试卷)（本小题满分9分）在一次数学活动课上，老师带领学生测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行20米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：）

答案：解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=x米，在Rt△BCD

中，∠CBD=45°，∴BD=CD=x米．在Rt△ACD中，∠DAC=31°，

AD=AB+BD=（20+x）米，CD=x米，∵，

∴∴x＝30．答：这条河的宽度为30米．

17．(江苏省东台市联考试卷）(本题满分10分)

一游客从某塔顶Ａ望地面C、D两点的俯角分别为、，若C、D与塔底B在一条直线上，CD＝200米，求塔高AB

答案： ⑴CD在AB同侧AB=;⑵CD在AB异侧AB=

18.  (浙江省杭州市党山镇中中考数学模拟试卷)(本小题满分6分)

在一次数学活动课上，某校初三数学老师带领学生去测河宽，如图13所示，某学生在河东岸点处观测到河对岸水边有一点，测得在北偏西的方向上，沿河岸向北前行20米到达处，测得在北偏西的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈，sin31°≈）                          

答案：解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=，在Rt△BCD中，∠CBD=45°

∴BD=CD=米.…………………………………………………………………………………1分

在Rt△ACD中，∠DAC=31°，AD=AB+BD=(20+)米，CD=米.…………………………3分

∵∠DAC=

∴…………………………………………………………………………………5分

∴………………………………………………………………………………………6分

所以这条河宽度约为30米

B组

1．（ 天一实验学校 二模）安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示.已知集热管AE与支架BF所在直线相交于水箱横截面⊙O的圆心O,⊙O的半径为0.2m ，AO与屋面AB的夹角为32°，与铅垂线OD的夹角为40°，BF⊥AB于B，OD⊥AD于D，AB＝2m,求屋面AB的坡度和支架BF的长.(参考数据：)

答案：  

解：∵OD⊥AD

        ∴∠AOD+∠OAC+∠CAD=90°

        ∵∠OAC=32°，∠AOD=40°

        ∴∠CAD=18°

        ∴i==tan18°=1：3  

        在Rt△OAB中，=tan32°

        ∴OB=AB·tan32°=2×=1.24 

        ∴BF=OB-OF=1.24-0.2=1.04(m)  

2 （浙江慈吉 模拟）在数学活动课上，九级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的方案及测量数据如下：

(1)在大树前的平地上选择一点，测得由点A看大树顶端的仰角为35°；

(2)在点和大树之间选择一点（、、在同一直线上），测得由点

看大树顶端的仰角恰好为45°；

(3)量出、两点间的距离为4.5米.

请你根据以上数据求出大树的高度.(结果保留3个有效数字)

答案：∠CDB=90°, ∠CBD=45°

        CD=BD             

        AB=4.5

        AD=BD+4.5          

        设高CD=

        则BD=，AD=+4.5

        ∠CAD=35°

        tan∠CAD=tan35°=

整理后得≈10.5

        故大树CD的高约为10.5米   

3．（三门峡实验中学3月模拟）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为240米，求这栋大楼的高度．

答案：

解：过点A作直线BC的垂线，垂足为D.  

则∠CDA=90°，∠CAD=60°，∠BAD=30°，CD=240米 

在Rt△ACD中，tan∠CAD=，

∴AD=  

在Rt△ABD中，tan∠BAD=，

∴BD=AD·tan30°=80  

∴BC=CD－BD=240－80=160 

答：这栋大楼的高为160米．

4.（杭州市西湖区模拟）（本题6分）如图，在梯形中，∥，

，,，，

求梯形的面积.

答案：（本题6分）

在梯形ABCD中，AB∥CD，

∴∠1＝∠2.

∵∠ACB＝∠D＝90°.

∴∠3＝∠B.

∴…………………………………………… 1分

在Rt△ACD中，CD＝4，

∴……………………………………………………………… 3分

∴.在Rt△ACB中，，

∴，∴…………………………………………… 5分

∴……………………………………… 6分

5．（安徽省巢湖市七中模拟）．下图是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，坡面的倾斜角为．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角为，若新坡角下需留3米的人行道，问离原坡角10米的建筑物是否需要拆除？

(参考数据：≈1.414，≈1.732 )

答案：（解：在Rt中，∵，，∴AB==10(米)  ……2分

在Rt中，∵∴=米          ……4分

则DA=DB-AB=≈10×1.732= 7.32米．               ……5分

∵3 + DA，所以离原坡角10米的建筑物应拆除.                 ……6分

答：离原坡角10米的建筑物应拆除．                              ……7分

6．（安徽中考模拟）某风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由45°减至30°，已知原台阶坡面AB的长为m（BC所在地面为水平面）．

（1）改善后的台阶坡面会加长多少？

（2）改善后的台阶多占多长一段水平地面？（结果精确到，参考数据：，）

答案：解：（1）如图，在中，

(m)．……2分

在中，

(m)，……………4分

m．    ………………………………5分

即改善后的台阶坡面会加长 m．

（2）如图，在中， (m)．………6分

在中，

(m)，……………………………8分

(m)．………………………9分

即改善后的台阶多占.长的一段水平地面． ……………………10分

7．（灌南县新集中学一模）（10分）为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛北偏西并距该岛海里的处待命．位于该岛正西方向处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东的方向有我军护航舰（如图9所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置处？（结果精确到个位．参考数据：）

答案：解：由图可知，

作于（如图），在中，

   ∴ 

在中，  ∴

   ∴    ∴（分钟）

答：我护航舰约需28分钟就可到达该商船所在的位置

8. （浙江杭州义蓬一模）(本小题满分6分)  每的5月15日是‘世界助残日’.我区时代超市门前的台阶共高出地面1.2米，为帮助残疾人,便于轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，轮椅行走斜坡的坡角不得超过90，已知此商场门前的人行道距门前垂直距离为8米(斜坡不能修在人行道上)，问此商场能否把台阶换成斜坡?(参考数据， ，=0.1584)

答案：1.2/8=0.15＜tan9°      (3)     

     这与坡角小于9°相符    （2）

     答：   能               （1）

9. （广东南塘二模）如图，在小山的东侧A处有一热气球，以每分钟30m

的速度沿着仰角为60°的方向上升，20分钟后升到B处，这时

气球上的人发现在A的正西方向俯角为45°的C处有一着火点，

求气球的升空点A与着火点C的距离（结果保留根号）。

答案：过B作BD⊥CA于D，则AB＝600m，AD＝300m，BD＝CD＝300m，CA＝300(－1)m。

[来源:Z§xx§k.Com]

10. （浙江杭州靖江模拟） (本小题满分8分)[来源:学&科&网Z&X&X&K]

小明身高为1.6米，通过地面上的一块平面镜，刚好能看到前方大树的树梢，此时他测得俯角为45度，然后他直接抬头观察树梢，测得仰角为30度。求树的高度。（结果保留根号）（原创）

答案：(本小题满分8分)

设树的高度为x米。过点A作DE的垂线，垂足为F。………………1分

由题意得，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形。………………………1分

∴AB＝BC=1.6米，CD＝DE＝x.

∵∠B=∠D＝∠AFD＝90°

∴四边形ABDF为矩形。……………………………………………………1分

∴AF＝BD＝x+1.6，DF＝AB＝1.6，EF＝x-1.6……………………………1分

∵∠EAF＝30°

∴tan∠EAF=……………………………………………2分

解得：x=…………………………………………………………1分

答：树的高度为米。………………………………………………1分

11.（浙江杭州金山学校模拟）（8分）（根据九级数学一诊试题改编）

如图，一艘渔船位于海洋观测站P的北偏东60°方向，渔船在A处与海洋观测站P的距离为60海里，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海洋观测站P的南偏东45°方向上的B处。求此时渔船所在的B处与海洋观测站P的距离（结果保留根号）。

答案：解：过点P作PC⊥AB，垂足为C。∠APC=30°，∠BPC=45°，AP=60………2分

     在Rt△APC中，cos∠APC=，

     PC=PA·cos∠APC=30…………………………………2分

     在Rt△PCB中，………………………1分    …………………………………2分

 答：当渔船位于P南偏东45°方向时，渔船与P的距离是30海里。

12.路边有一根电线杆AB和一块正方形广告牌．

有一天，小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆顶

端A的影子刚好落在正方形广告牌的上边中点G处，

而正方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），

已知BC=5米，正方形边长为3米，DE=4米．

（1）求电线杆落在广告牌上的影长；

（2）求电线杆的高度（精确到0.1米）．

解：（1）电线杆落在广告牌上的影长为3+1.5=4.5（米）…………（2分）

（2）作GH⊥AB于H，依题意得：HG=BC+0.5CD=5+1.5=6.5…………（3分）

因为：,DF=3,DE=4. …………（4分）

所以：AH==4.875…………（5分）

所以：电线杆的高度为:

AB=AH+BH=AH+DF=3+4.875=7.875≈7.9．…………（6分）

答：（1）广告牌上的影长为4.5米；（2）电线杆的高度为7.9米。…………（7分）

13、（广东省澄海实验学校模拟）现要建造一段水坝，它的横截面是梯形ABCD，

其上底CD＝4米，斜坡BC的坡度，

，坝高DE＝6米.

(1)求截面梯形的面积；

(2)若该水坝的长为1000米，工程由甲、

乙两个工程队同时合作完成，原计划需要

25天，但在开工时，甲工程队增加了机器，

工作效率提高60%，结果工程提前了5天完成，问这两个工程队原计划每天各完成多少土方？(坝的土方＝坝的横截面的面积×坝的长度)

解：(1)作CF⊥AB于F，依题意知：CD＝4，， DE＝6

则：CF=DE=6,EF=CD=4

因为：在Rt△ADE中，

所以：AE=18…………(1分)

因为：在Rt△CFB中，BC的坡度

所以：BF=2CF=12…………(2分)

所以：AB=AE+EF+BF=18+4+12=34…………(3分)

所以：坝的横截面的面积= …………(4分)

(2) 坝的土方＝坝的横截面的面积×坝的长度= 114×1000=114000米3，…………(5分)

设甲工程队原计划每天完成土方，则乙工程队原计划每天完成土方，

依题意得：…………(7分)

解得：,所以：=2660…………(8分)

答：坝的横截面的面积为114㎡，甲工程队原计划每天完成1900土方，

乙工程队原计划每天完成2600土方. …………(9分)

14．（深圳二模）如图，河中水中停泊着一艘小艇，王平在河岸边的A处测得∠DAC＝α，李月在河岸边的的B处测得∠DCA＝β，如果A、C之间的距离为ｍ，求小艇D到河岸AC的距离．

解：过点D作DB⊥AC于点Ｂ，设DB＝ｘ………1分

在Rt△ADB中，tan∠DAB＝

∴AB＝………4分

在Rt△CDB中，tan∠DCB＝

∴BC＝

∵AB＋BC＝AC＝ｍ

∴＋＝ｍ………8分

解得：ｘ＝

答：小艇D到河岸AB的距离为

15.（深圳市三模）（本小题满分10分）

如图①②，图①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切.将这个游戏抽象为数学问题，如图②.已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5cm），设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA＝α，且sinα＝错误！未找到引用源。.

（1）求点M离地面AC的高度BM（单位：厘米）；

（2）设人站立点C与点A的水平距离AC等于11个单位，求铁环钩MF的长度（单位：厘米）.

解：

过M作AC平行的直线，与OA，FC分别相交于H，N.（1）在Rt△OHM中，∠OHM＝90°，OM＝5，HM＝OM×sinα＝3，所以OH＝4，MB＝HA＝5－4＝1（单位），1×5＝5（cm），所以铁环钩离地面的高度为5cm.（2）因为∠MOH+∠OMH＝∠OMH+∠FMN＝90°，∠FMN＝∠MOH＝α，所以＝sinα＝，即得FN＝FM，在Rt△FMN中，∠FNM＝90°，MN＝BC＝AC－AB＝11－3＝8（单位），由勾股定理FM 2＝FN 2+MN 2，即FM 2＝(FM)2+82，解得FM＝10（单位），10×5＝50（cm），所以铁环钩的长度FM为50cm.

16、（黄冈市浠水县）（本小题满分8分）如图8所示，两地之间有条河，原来从地到地需要经过桥，沿折线到达．现在

新建了桥，可直接沿直线从地到达地．

已知，，，桥和平行，则现在

从地到地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km．

参考数据：，， ）      

答案：

解：如图，过点D作DH⊥AB于H，DG∥CB交AB于G。

∵DC∥AB，∴四边形DCBG为平行四边形，                 [来源:学科网ZXXK]

∴DC＝GB，GD＝BC＝11。

∴两条路线路程之差为AD＋DG－AG。…………3分

在Rt△DGH中，

DH＝DG●sin370≈11×0.60＝6.60，

GH＝DG●cos370≈11×0.80＝8.80.  …………5分

在Rt△ADH中,

AD=DH≈1.41×0.60＝9.31

AH=DH≈6.60

∴AD＋DG－AG＝（9.31＋11）－（6.60＋8.80）≈4.9（km）

即现在从A地到B地可比原来少走约4.9km  ………………9分

17、（北京四中中考模拟13）一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，已知小岛C周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东(即BD)方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？

答案：过点C作CE⊥BD，垂足为E，∴CE∥GB∥FA.

　　　　∴∠BCE=∠GBC=60°.∠ACE=∠FAC=45°.

　　　　∴∠BCA=∠BCE-∠ACE=60°-45°=15°.

　　　　又∠BAC=∠FAC-∠FAB=45°-30°=15°，

∴∠BCA=∠BAC.∴BC=AB=10.

　　　在Rt△BCE中，CE=BC·cos∠BCE=BC·cos60°=10×=5(海里).

　　　　∵5海里＞4.8海里，∴渔船没有进入养殖场的危险.

　　　答：这艘渔船没有进入养殖场的危险.

18．（杭州市上城区一模）（本小题满分10分）

观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．

在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作

AD⊥BC于D(如图)，则sinB=，sinC=，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即.同理有：，，

所以

即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.根据上述材料，完成下列各题.

（1）如图，△ABC中，∠B=450，∠C=750，BC=60，则∠A=       ；AC=        ；

（2）如图，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里／时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上(如图)，求此时货轮距灯塔A的距离AB.

答案：解：（1）∠A=600，AC=      

(2)如图，依题意：BC=60×0.5=30（海里）

∵CD∥BE ， ∴∠DCB+∠CBE=1800

   ∵∠DCB=300，∴∠CBE=1500

∵∠ABE=750。∴∠ABC=750，∴∠A=450

…

在△ABC中 

解之得：AB=15

答：货轮距灯塔的距离AB=15海里

19. （杭州市模拟）（本题6分）如图，在梯形中，∥，，,，，求梯形的面积.

答案：在梯形ABCD中，AB∥CD，

∴∠1＝∠2.

∵∠ACB＝∠D＝90°.

∴∠3＝∠B.

∴

在Rt△ACD中，CD＝4，

∴

∴.在Rt△ACB中，，

∴，∴

∴

20、（北京四中33模）如图，一艘渔船位于海洋观测站P的北偏东60°方向，渔船在A处与海洋观测站P的距离为60海里，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海洋观测站P的南偏东45°方向上的B处。求此时渔船所在的B处与海洋观测站P的距离（结果保留根号）。

答案：过点P作PC⊥AB，垂足为C。∠APC=30°，∠BPC=45°，AP=60…………

     在Rt△APC中，cos∠APC=，

     PC=PA·cos∠APC=30

     在Rt△PCB中，……………………

    ………………………………………………

     ∴当渔船位于P南偏东45°方向时，渔船与P的距离是30海里。……

21、（浙江杭州27模）小明身高为1.6米，通过地面上的一块平面镜，刚好能看到前方大树的树梢，此时他测得俯角为45度，然后他直接抬头观察树梢，测得仰角为30度。求树的高度。（结果保留根号）

答案：设树的高度为x米。过点A作DE的垂线，垂足为F。…………

由题意得，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形。……………………

∴AB＝BC=1.6米，CD＝DE＝x.

∵∠B=∠D＝∠AFD＝90°

∴四边形ABDF为矩形。…………………………………………………

∴AF＝BD＝x+1.6，DF＝AB＝1.6，EF＝x-1.6…………………………

∵∠EAF＝30°

∴tan∠EAF=…………………………………………

解得：x=…………………………………………………

答：树的高度为米。………………………………………

22、（浙江杭州28模）如图，小岛在港口的南偏西方向，距离港口海里处，甲船从出发，沿方向以海里/时的速度驶向港口，乙船从港口出发，沿南偏东方向以海里/时的速度驶离港口。现两船同时出发，问：经过几小时后，乙船恰在甲船的正东方向？（结果保留根号）

答案：解：设出发小时后乙船在甲船的正东方向，此时甲船在点处，乙船在点处，连结 在正南方向取点，则于，据题意：

在中，，  

在中，，

解得：=（时）