八年级下册18.1.2 平行四边形的判定教案设计

人教版初中数学八年级下册

18.1.4 平行四边形的判定（2）教学设计

一、教学目标：

1.掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法.

2.会进行平行四边形的性质与判定的综合运用.

二、教学重、难点：

重点：平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法.

难点：综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明.

三、教学过程：

复习回顾

知识精讲

思考：我们知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形.如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？

    如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等.反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD.求证：四边形ABCD是平行四边形.

证明：连接AC.

∵ AB∥CD
∴ ∠1=∠2
又∵ AB=CD，AC=CA
∴ △ABC≌△CDA (SAS)
∴ BC=DA
∴ 四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形.

【归纳】判定4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

几何符号语言：

∵ AB∥CD，AB=CD
∴ 四边形ABCD是平行四边形

典例解析

例1.如图，在□ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，求证：四边形EBFD是平行四边形.

证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB=CD，EB∥FD
∵ E，F分别是AB，CD的中点
∴ EB=AB，FD=CD
∴ EB=FD
∴ 四边形EBFD是平行四边形

【针对练习】如图，点E，F在□ABCD的边BC，AD上，BE＝BC，FD＝AD，连接BF，DE.求证：四边形BEDF是平行四边形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC.

∵BE＝BC，FD＝AD，

∴BE＝DF.又∵DF∥BE，

∴四边形BEDF是平行四边形．

例2.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．求证：四边形BFCE是平行四边形．

证明：∵AB=CD，

∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，

在△ACE和△DBF中，

 AC＝BD ,∠A＝∠D, AE＝DF ,

∴△ACE≌△DBF(SAS)，

∴CE=BF，∠ACE=∠DBF，

∴CE∥BF，

∴四边形BFCE是平行四边形．

【针对练习】如图，在□ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足.求证：四边形AFCE是平行四边形.

证明：∵ AE⊥BD，CF⊥BD  

∴ ∠AED=∠CFB=90°，∠AEF=∠CFE=90°  

∴ AE∥CF  

∵ 四边形ABCD是平行四边形  

∴ AD∥BC，AD=BC  

∴ ∠ADE=∠CBF  

∴ △ADE≌△CBF (AAS)  

∴ AE=CF  

∴ 四边形AFCE是平行四边形

例3.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DF∥BC，EF∥AC，试问BF与CE相等吗？为什么？

解：BF＝CE．理由如下：

∵DF∥BC，EF∥AC，

∴四边形FECD是平行四边形，∠FDB=∠DBE，

∴FD=CE.

∵BD平分∠ABC，

∴∠FBD=∠EBD，

∴∠FBD=∠FDB.

∴BF=FD.

∴BF＝CE.

例4.如图，将□ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE．求证：四边形BCED′是平行四边形.

证明：由题意得∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，

∵DE∥AD′，

∴∠DEA=∠EAD′，

∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，

∴∠DAD′=∠DED′，

∴四边形DAD′E是平行四边形，

∴DE=AD′.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，AB=DC，

∴CE∥D′B，CE=D′B，

∴四边形BCED′是平行四边形.

【点睛】此题利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，

再结合平行四边形的判定及性质进行解题.

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。

达标检测

1.如图，在四边形ABCD中，AB//CD，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是(    )

A.AB=CD       B.BC//AD         C.∠A=∠C          D.BC=AD

2.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点，则图中共有平行四边形的个数是(    )

A.3          B.4          C.5          D.6

3.在四边形ABCD中，AB=CD，AB//CD，则下列结论中错误的是(       )

A.∠A=∠C              B.AD // BC           C.∠A=∠B            D.对角线互相平分

4.如图，在□ABCD中，E，F分别是边BC，AD上的点，有下列条件:

①AE//CF;②BE=FD;③∠1=∠2;④AE=CF.若要添加其中一个条件，使四边形AECF一定是平行四边形，则添加的条件可以是(      )

A.①②③④          B.①②③             C.②③④            D.①③④

5.已知四边形ABCD，有以下四个条件:①AB//CD;②AB=CD;③BC// AD;④BC=AD.从这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD成为平行四边形的选法共有______种.

6.(1)在平面直角坐标系中，□OABC的三个顶点分别为O(0，0)、A(3，0)、B(4，2)，则其第四个顶点的坐标是__________.

(2)在平面直角坐标系中，点O、B、D的坐标分别是(0，0)、(5，0)、(2，3)，若存在点C，使得以点O、B、D、C为顶点的四边形是平行四边形，则C点的坐标为_____________________.

7.如图，已知在□ABCD中，E、F分别是AD、BC上的点且AE=CF．求证：BE//FD.

8.如图，在□ABCD中，BN=DM，BE=DF，求证:四边形MENF是平行四边形.

9.如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F.

(1)求证：四边形AECD是平行四边形；

(2)若AE平分∠BAC，BE＝5，BF＝4，求AD的长．

10.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD=12cm，BC=15cm,点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止.点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t(s).

(1)用含t的代数式表示:

AP=_________cm；DP=_________cm；

BQ=_________cm；CQ=_________cm.

(2)当t为何值时，四边形APQB是平行四边形?

(3)当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形?

【参考答案】

1. D
2. B
3. C
4. B
5. 4
6. (1)(1,2);(2) (3，-3)或(-3，3)或(7，3).

7.证明:∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD=BC，AD//BC

∵AE=CF

∴AD-AE=BC-CF

即DE=BF

又∵ED//BF

∴四边形BFDE是平行四边形

∴BE//FD

8.证明:∵四边形ABCD是平行四边形

∴BC//AD

∴∠EBN= ∠FDM

∵BN=DM，BE=DF

∴△EBN≌△FDM (SAS)

∴EN=FM，∠BEN= ∠DFM

∴∠FEN=∠EFM

∴EN// FM

∴四边形MENF是平行四边形

9.(1)证明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，

∴AD∥CE.

∵AE∥DC，

∴四边形AECD是平行四边形．

(2)解：在Rt△BEF中，

∵BE＝5，BF＝4，

∴EF＝＝＝3.

∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACE＝90°，

∴EC＝EF＝3.

由(1)得四边形AECD是平行四边形，

∴AD＝EC＝3.

10.(1)t，12-t，15-2t，2t

（2）解:(2)∵AD// BC

∴当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形. ∴t=15-2t

解得t=5

∴t=5s时，四边形APQB是平行四边形.

:(3)∵AD//BC

∴当DP=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形. ∴12-t=2t

解得t=4

∴t=4s时，四边形PDCQ是平行四边形.

四、教学反思：

从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有讨论，在教师指导下的自学，组织学生活动等. 调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主体作用. 课堂拓展了学生的学习空间，给学生充分发表意见的自由度.