苏教版 (2019)选择性必修第二册6.2空间向量的坐标表示精品一课一练

6.2.2空间向量的坐标表示

知识点01  空间直角坐标系

1.定义：如图，在空间选定一点0和一个单位正交基底{i，j，k}以0为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫作坐标轴，这是我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz。

其中点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面，分别叫作xoy平面、yoz平面和xoz平面。

2.右手直角坐标系

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。

知识点02 空间直角坐标系中点的坐标

定义：对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即通过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于P，Q，R，点P， Q， R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序实数组（x，y，z）叫作A点的坐标，记为A（x，y，z）。其中x，y，z分别叫作点A的横坐标，纵坐标，竖坐标。

注意：在空间直角坐标系O-xyx中，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a1，a2，a3），使a=a1i＋a2j＋a3x，有序实数组（a1，a2，a3）叫作向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作a=（a1，a2，a3）.

【即学即练1】笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，还在反复思考一个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来呢？突然，他看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点关于轴对称的点的坐标是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由图写出点的坐标，然后再利用关于轴对称的点的性质写出对称点的坐标.

【详解】由图可知，点，所以点关于轴对称的点的坐标为.

故选：A.

【即学即练2】在平行六面体中，底面是矩形，， 平行六面体高为，顶点在底面的射影是中点，设的重心，建立适当空间直角坐标系并写出下列点的坐标.

(1)；

(2)；

(3)；

【答案】(1)，，，

(2)

(3)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出，，，的坐标；

（2）利用重心坐标公式计算得到点坐标；

（3）利用向量相等得到点B坐标；

（1）如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，以过点作的平行线为轴建立空间直角坐标系．

设点，点在平面上则，

由图可知它到轴投影对应数值，则，

到轴投影对应数值为，则，即

同理得；

（2）是的重心，

(由三角形重心公式可得)

（3）设，则，，

又 ，

比较得，

点B坐标为

【即学即练3】在直三棱柱中，，D为的中点，则在空间直角坐标系中（O为坐标原点），的坐标是_________，的坐标是_________．

【答案】         

【分析】以为原点，为轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标即可求解.

【详解】如图建系，则，

∴．∵D为的中点，

∴，∴．

故答案为：；

【点睛】本题考查了空间向量的求法，解题的关键是建立空间直角坐标系，属于基础题.

知识点03  空间向量的坐标运算 

1.空间向量的坐标运算

（1）设a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），则

①a+b=（x1+x2，y1+y2，z1+z2）

②a-b=（x1-x2，y1-y2，z1-z2）

③λa=（λx1，λy1，λz1）(a∈R).

④若u，v是两个实数，ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)；

⑤a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；

⑥|a|＝＝；

⑦当a≠0且b≠0时，cos〈a，b〉＝＝．

(2)设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则=-=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）.即一个向量的

坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.

2.空间向量平行、垂直的坐标表示

（1）已知空间向量a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），且a≠0，则a//bb=λax2=λx1，y2=λy1，z2=λz1(λ∈R).

(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．

3.空间向量坐标的应用

(1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离OP＝．

(2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离P1P2＝．

【即学即练4】已知向量，，，则的坐标为______.

【答案】

【分析】直接利用向量的运算法则计算即可.

【详解】向量，，，则.

故答案为：.

【即学即练5】已知向量，，，求：

(1)；

(2)；

(3).

【答案】(1)(2)2(3)4

【分析】（1）根据空间向量的坐标的线性运算即可求解，

（2）（3）根据空间向量数量积的坐标运算即可求解，

【详解】（1）由，得

（2）

（3）

◆考点01 空间向量的坐标表示

【典例1】已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据投影向量的定义即可得出正确的答案.

【详解】根据空间中点的坐标确定方法知，

空间中点在坐标平面上的投影坐标，

横坐标为0，纵坐标与竖坐标不变．

所以空间向量在坐标平面上的投影向量是：

故选：B.

【典例2】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用空间直角坐标系对称点的特征即可求解.

【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为.

故选：C.

【典例3】若､，点C在线段AB上，且，则点C的坐标是___________.

【答案】

【分析】设点的坐标为，由题意可得，即可得到方程组，解得即可求得的坐标．

【详解】解：点､，为线段上一点，且，

所以，

设点的坐标为，则，

则，即，

解得，即；

故答案为：．

◆考点02 空间向量坐标运算 

◆类型1 加减数乘与数量积

【典例4】若，则的值为（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】C

【分析】直接利用数量积的坐标运算即可求得.

【详解】因为，

所以.

故选：C

【典例5】在棱长为1的正方体中，是棱上一动点，点是面的中心，则的值为（    ）

A．1 B． C．2 D．不确定

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，设，利用坐标法计算可得.

【详解】如图，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

因为正方体棱长为，点是面的中心，是棱上一动点，

所以，，设，则，

所以

故选：A

◆类型2空间向量模长问题

【典例6】已知，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用空间向量的坐标表示先求出，再代入模的计算公式即可求解.

【详解】因为，所以，

则，

故选：B.

【典例7】若，，则___________．

【答案】

【分析】由向量坐标的线性运算及模运算计算即可.

【详解】，故.

故答案为：

【典例8】空间向量，满足，且，则______.

【答案】

【分析】先由空间向量的模的坐标表示求，把两边同时完全平方，化简可求.

【详解】由，可得，

因为，所以，所以，

所以，所以，所以，

故答案为：.

◆类型3空间向量夹角问题

【典例9】若，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出两向量的模及数量积，根据即可求解.

【详解】∵，

则，且，

∴.

故选：A.

【典例10】（多选）如图，下列各正方体中，O为下底面的中心，M，N为顶点，P为所在棱的中点，则满足的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法逐个判断即可求解

【详解】对于A：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，

则，

故，

所以，

所以，故A正确；

对于B：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，

则，

故，

所以，

所以，故B错误；

对于C：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，

则，

故，

所以，

所以，故C错误；

对于D：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，

则，

故，

所以，

所以，故D正确；

故选：AD

【典例11】已知，，与的夹角为120°，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出空间向量的坐标，利用向量数量积和向量的夹角求出结果．

【详解】因为，0，，，，，，

所以，，，

所以，

所以，且，解得：．

故选：A．

◆考点03 空间向量平行、垂直的坐标表示及应用

◆类型1 空间向量平行问题

【典例12】已知，如果，则（    ）

A． B．0 C． D．—1

【答案】A

【分析】根据向量共线定理，结合空间向量线性关系的坐标关系列方程求参数，即可得结果.

【详解】由题设，存在使，则，可得，

所以.

故选：A

【典例13】已知向量,1,，则与共线的单位向量（    ）

A．,, B．,1,

C．,, D．,1,

【答案】C

【分析】利用向量共线定理、模的计算公式即可判断出结论.

【详解】因为向量与共线，故，对于C：向量,,，另验证向量,,的模为，故,,为单位向量．

故选：C．

【典例14】(多选)已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．与夹角的余弦值为 D．

【答案】BCD

【分析】根据空间向量的坐标运算即可求解.

【详解】因为，，所以，所以向量与不共线，故选项A不正确；

因为，，所以，故选项B正确；

因为，故选项C正确；

因为，所以，即，故选项D正确.

故选：BCD.

◆类型2 空间向量垂直问题

【典例15】已知向量，.若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用空间向量垂直的坐标表示即可得解.

【详解】因为，，，

所以，解得，

所以.

故选：A.

【典例16】已知向量，且与互相垂直，则k的值是（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】向量的垂直用坐标表示为，代入即可求出答案.

【详解】，，

因为与互相垂直，所以，所以，所以.

故选：D.

【典例17】已知向量，，.

(1)求

(2)当时，若向量与垂直，求实数和的値；

(3)当 时，求证：向量与向量，共面.

【答案】(1)

(2)，

(3)证明见解析

【分析】（1）根据空间向量的模的公式计算即可；

（2）根据可求得，再根据垂直的数量积为0求解即可；

（3）设，根据条件可得，根据共面向量定理即得.

【详解】（1），，，

.

（2）因为，所以，解得，因为 ，且向量与垂直，所以，即，

.所以实数和的值分别为和；

（3）证明：当时，，设 ，

则，，解得，

即，所以向量与向量，共面.

题组A  基础过关练

一、单选题

1．笛卡尔是世界上著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父．据说在他生病卧床时，突然看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形．在如图所示的空间直角坐标系中，为长方体，且，，点是轴上一动点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】点A关于x轴对称的点到D的距离即的最小值.

【详解】因为，，由图可知，，，

A关于轴对称的点为，

所以.

故选：C.

2．已知空间向量，，且，则（    ）

A．9 B． C．1 D．

【答案】C

【分析】根据空间向量共线的充要条件即可求解.

【详解】因为空间向量，，且，

所以，解得：，

故选：.

3．如图，在直三棱柱中，，，分别是棱、和AB的中点，点D是线段AC上的动点不包括端点若，则线段AD的长度是（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，设出点坐标，求出向量，利用求得点坐标，再求线段AD的长度即可．

【详解】在直三棱柱中，，以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则， ，，，，，，

由于，所以，解得，所以线段AD的长度为.

故选：A

4．已知向量，，且与互相平行，则实数k的值为（    ）

A．－2 B．2 C．1 D．－1

【答案】D

【分析】根据空间向量平行的坐标表示，列出方程组，求解即可．

【详解】∵向量，，

∴，，

∵与互相平行，

∴，即，解得．

故选：D．

5．已知向量，，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据空间向量的夹角公式即可求解.

【详解】因为向量，，

所以，又

所以与的夹角为，

故选：.

二、多选题

6．已知，，则（    ）

A．，夹角为锐角

B．与相互垂直

C．

D．以，为邻边的平行四边形的面积为

【答案】ABD

【分析】根据空间向量的坐标运算逐项分析判断.

【详解】，，则，

对A：∵，则与不共线，

又∵，故，夹角为锐角，故 A正确；

对B：∵，则，

∴与相互垂直，故B正确；

对C：，，即，故C错误；

对D：∵，则，

故以，为邻边的平行四边形的面积为，故D正确.

故选：ABD.

7．已知空间向量，则下列正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】根据向量坐标和的运算法则，可得A正确；通过由向量坐标求模的计算公式，可得B正确；由向量数量积计算公式，可得不垂直，得C错误；通过向量坐标的夹角计算公式，可得，得D错误.

【详解】因为，

所以，故A正确；

，所以B正确；

，所以不垂直，故C错误；

，故D错误.

故选：AB.

8．已知空间向量，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则，共线

B．若，则，共线

C．若，，则，，共面

D．若，，则，，共面

【答案】ABC

【分析】根据共线向量的定义即可判断AB；根据共面向量的定义即可判断CD.

【详解】对A，因为，所以，共线，故A正确；

对B，因为，所以，共线，故B正确；

对C，因为，所以，，共面，故C正确；

对D，设，则，该方程组无解，故，，不共面，故D错误，

故选：ABC.

三、填空题

9．已知空间有三点，，，若在直线上存在一点，使得，则点的坐标为______.

【答案】##

【分析】设出点的坐标，列出关于的方程组，解之即可求得点的坐标

【详解】设，则，

又，，

则解得

即点的坐标为.

故答案为：

10．如图，在正方体中，，，，分别是，，，的中点，则__．

【答案】##

【分析】直接利用向量的坐标运算求出向量的夹角．

【详解】利用正方体，建立空间直角坐标系，，

设正方体的棱长为2，

则，

所以，，

所以，

故，

故答案为：．

11．已知空间向量，，那么在上的投影向量为___________.

【答案】

【分析】根据向量的数量积的概念与几何意义，结合投影向量的计算方法，即可求解.

【详解】由题意，空间向量，，

可得，

所以在上的投影向量为，

故答案为：.

四、解答题

12．已知．

(1)若，求实数k的值；

(2)若，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知向量垂直有，应用空间向量数量积的坐标表示列方程，求的值.

（2）由题设得，应用空间向量夹角的坐标表示求即可

【详解】（1），

，

由，即，

∴，解得:；

（2）由已知得：，，

.

13．已知，．

(1)若，求的值；

(2)若，求实数的值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据向量夹角公式计算即可；

（2）根据垂直关系的向量坐标表示求解.

【详解】（1）由已知可得，，

．

（2），

，

，，

即，解得．

题组B  能力提升练

一、单选题

1．已知，，则取最小值时的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据空间向量的坐标运算先求出，再根据向量模的计算公式和二次函数的性质即可求解.

【详解】因为，，

所以，

则，

由二次函数的图象和性质可知：当时，取最小值，

故选：.

2．设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【分析】首先根据为单位向量得到，再利用与的夹角等于，得.联立方程求解出与的值，最后再利用向量的夹角公式进行求解即可.

【详解】空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，

，，

，

又，，

又为单位向量，，

联立，得或，

，，

.

故选：C.

3．已知点P是棱长为1的正方体的底面上一点（包括边界），则的最大值为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，将向量，用坐标表示，计算数量积，求最大值.

【详解】

如图，以，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

设点，，，

则，，

，

当或，或时，最大，为1.

故选：C.

4．已知向量，，，下列等式中正确的是（   ）

①.        ②.

③.     ④.

A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④

【答案】C

【分析】根据数量积定义判断①，结合已知条件得 ，然后由数量积的运算律判断②③，把模的运算转化为数量积运算判断④．

【详解】因为，，，，从而 ，

①式左边中向量，右边是实数，显然不相等，错误；

②，正确，

③，正确；

④由③知，同样，

所以，即，正确．正确的有②③④，

故选：C．

5．空间中到正方体棱距离相等的点有（　　）

A．无数 B．0 C．2 D．3

【答案】A

【分析】由于点D、B1显然满足要求，猜想B1D上任一点都满足要求，然后建立空间直角坐标系，证明结论．

【详解】在正方体上以D为坐标原点，以为轴，

建立如图所示空间直角坐标系，并设该正方体的棱长为1，

连接 ，并在上任取一点P，因为，

所以设 ，其中 ，

作平面 ，垂足为E， 平面，故，

再作 ，垂足为F， 平面,

所以平面，平面,故,

则是点P到直线的距离，

所以，

同理求得点P到直线 的距离也是，

所以 上任一点与正方体 的三条棱 所在直线的距离都相等，

所以与正方体的三条棱所在直线的距离相等的点有无数个．

故选：A．

二、多选题

6．已知空间向量，，下列结论正确的是（    ）

A．

B．，夹角的余弦值为

C．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数

D．在上的投影向量为

【答案】BCD

【分析】根据空间向量的运算，空间位置关系得到向量表示，投影向量的概念依次讨论各选项即可.

【详解】对于A，，，故A错误；

对于B，因为，，所以，，

，设与的夹角为，则，故B正确；

对于C，因为，所以，则，解得，故C正确；

对于D，在上的投影向量为，D正确．

故选:BCD．

7．已知空间向量，，，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．若，则 D．与方向相同的单位向量为

【答案】BC

【分析】由向量模长、数量积运算、垂直关系的向量表示和方向相同的单位向量的求法依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，，，，A错误；

对于B，，B正确；

对于C，，，解得：，C正确；

对于D，，D错误.

故选：BC.

8．设向量，，其中，则下列判断正确的是（    ）

A．向量与轴正方向的夹角为定值（与、之值无关）

B．的最大值为

C．与夹角的最大值为

D．的最大值为1

【答案】ACD

【分析】根据空间向量的数量积运算，结合不等式的使用，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：不妨取，设向量与轴正方向的夹角为，

则，又，故，A正确；

对B： ，又因为，

则，即，

当且仅当时取得等号，故的最大值为，故B错误；

对C：设与夹角的为，则，

由可知，，故，又，则，

故的最大值为，即与夹角的最大值为，正确；

对：，即，

当且仅当时取得等号，故正确；

故选：.

三、填空题

9．已知，，且，，，则________．

【答案】

【分析】由，，，可得向量与平行，且，从而可得结果.

【详解】∵，，，

所 以.

∴ 向量与平行，且，

所以，

所以.

∴．

故答案为：.

10．若两个单位向量与向量的夹角都等于，则__________.

【答案】##

【分析】根据已知可得，，利用完全平方公式求得，再根据即可求得答案.

【详解】因为两个单位向量与向量的夹角都等于，

，，，

，，

又，则，

，即，

，

.

故答案为：.

11．已知向量，，，若向量与所成角为钝角，则实数的范围是______.

【答案】

【分析】根据求出的值，再求出与的坐标，依题意可得，根据数量积的坐标表示得到不等式求出参数的取值范围，再检验两向量共线的情况.

【详解】解：因为，，，

所以，解得，

所以，

所以，，

因为向量与所成角为钝角，

所以，解得，

若向量与共线，则，解得，

此时与共线同向，

综上可得.

故答案为：

四、解答题

12．已知向量，，，，.

(1)求，，；

(2)求与所成角的余弦值.

【答案】(1)，，

(2)

【分析】（1）根据向量平行得到，根据向量垂直得到，计算得到答案.

（2）计算，，再根据向量的夹角公式计算得到答案.

【详解】（1），故，即，

故，，，即，，

，故，，故

（2），，与所成角的余弦值为：

13．已知空间中的三点，，.

(1)求的面积；

(2)当与的夹角为钝角时，求k的范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）应用向量坐标表示有，，由向量夹角的坐标运算可得，再求其正弦值，应用三角形面积公式求面积；

（2）向量坐标表示得，，它们的夹角为钝角，即，即可求参数范围，注意排除向量反向共线的情况.

【详解】（1）由题设，，则，

所以，故在中，

故的面积为.

（2）由（1）知：，，且它们夹角为钝角，

所以，即，

所以，可得，

当它们反向共线，即且时，有，无解，

综上，.

14．已知空间三点，设，．

(1)若，，求.

(2)求与的夹角的余弦值

(3)若与互相垂直，求．

【答案】(1)或

(2)

(3)或．

【分析】对于（1），设出向量的坐标，由模的公式和向量共线的坐标表示可得答案.

对于（2），利用向量的坐标公式和向量的夹角公式即可得答案.

对于（3），运用向量垂直的条件：数量积为，结合向量的平方即为模的平方可得答案.

【详解】（1）因，且，则可设.

又，则，得.

故或.

（2）由题可得，.

则.

（3）由（2）得，，.

又与互相垂直，

则

.

解得：或

题组C  培优拔尖练

1.已知，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，则，因为点在直线上运动，所以，

所以，即，，所以，所以

所以当时，取得最小值，此时点的坐标为.

故选：B

2．已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标为________________．

【答案】