高中数学7.2排列优秀练习

第七章 计数原理

7.2排列

知识点01  排列与全排列的定义

1.排列：一般地，从n个不同对象中，任取m（m≤n）个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列．特别地，m=n时的排列（即取出所有对象的排列）称为全排列.

【注意】排列中元素所满足的两个特性

(1)无重复性：从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，否则不是排列问题．

(2)有序性：安排这m个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列．

而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．

2.相同排列：如果组成排列的对象是相同的，并且对象的排列顺序也相同，那么就称这两个排列是相同的.

【注意】相同排列的两个条件

(1)元素相同．(2)排列顺序相同．

【即学即练1】（2022·全国·高三专题练习）下列问题是排列问题的是（    ）

A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？

B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？

C．集合的含有三个元素的子集有多少个？

D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？

【即学即练2】（2022·全国·高二课时练习）从集合中任取两个元素，①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？④作为双曲线中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？

上面四个问题属于排列问题的是（    ）

A．①②③④ B．②④ C．②③ D．①④

知识点02 排列数及其公式

1.排列数定义：从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号Amn表示.

2.排列数公式：Amn=n（n-1）..[n-（m- 1）]，m个数 =n（n- 1）..（n- m+1），这个公式称为排列数公式. 特别地，当m=n时，Amn=n×（n- 1）×...×2×1=n!

【注意】

1. 排列的定义中包含两个基本内容，一是"取出元素"，二是"按照一定的顺序排列".
2. 一个排列就是完成一件事的一种方法，不同的排列就是完成一件事的不同方法.

3.在定义中“一定的顺序”就是说与位置有关，在实际问题中，究竟何时有关，何时无关，要由具体问题的性质和条件来决定，这一点要特别注意，这也是与后面学习的组合的根本区别.

4.“ 排列”与“排列数”是两个不同的概念，“ 排列”是指“按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一件事，" 排列数"是指"从n个不同元素中取出m（m，n都是正整数，m≤n）个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数.

【即学即练3】（2022·北京顺义·高二期末）的值为（    ）

A．20 B．10 C．5 D．2

【即学即练4】（2022·山东枣庄·高二期末）可表示为（    ）

A． B． C． D．

知识点03  排列数及排列数公式

【即学即练5】（2022·全国·高三专题练习）_________．

【即学即练6】（2022·河北·藁城新冀明中学高二阶段练习）的值为________．

◆考点01与排列数有关的方程不等式问题

【典例1】（2022·全国·高三专题练习）若，则（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【典例2】（2021·北京市十一学校高二期末）若，则n=（     ）

A．1 B．8 C．9 D．10

【典例3】（2022·江苏南通·高二期末）若，则（    ）

A． B． C． D．

◆考点02 元素相邻问题

【典例4】（2022·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，则甲、乙相邻的排法有（    ）

A．72种 B．60种 C．48种 D．36种

【典例5】（2022·全国·高三专题练习）3名学生和2名老师站成一排合影，则3名学生相邻的排法共有（    ）

A．48种 B．36种 C．20种 D．24种

◆考点03 元素不相邻问题

【典例6】（2022·全国·高三专题练习）五人并排站成一排，甲乙不相邻的排法种数为（    ）

A．30 B．54 C．63 D．72

【典例7】（2022·河北张家口·高二期末）中国古乐中以“宫､商､角､徵､羽”为五个基本音阶，故有成语“五音不全”之说，若用这五个基本音阶排成5音阶的所有音序，则“宫”､“羽”两音阶不相邻的音序共有（    ）

A．72种 B．36种 C．48种 D．24种

◆考点04 定位定远问题

【典例8】（2023·全国·高三专题练习）6男4女站成一排，求满足下列条件的排法各有多少种？（用式子表达）

(1)男甲必排在首位；

(2)男甲、男乙必排在正中间；

(3)男甲不在首位，男乙不在末位；

(4)男甲、男乙必排在一起；

(5)4名女生排在一起；

(6)任何两个女生都不得相邻；

(7)男生甲、乙、丙顺序一定．

【典例9】（2023·全国·高三专题练习）有7名同学，其中3名男生、4名女生，求在下列不同条件下的排法种数．

(1)选5人排成一排；

(2)全体站成一排，女生互不相邻；

(3)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；

(4)全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边；

(5)男生顺序已定，女生顺序不定；

(6)站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置；

(7)7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻；

(8)7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻．

题组A  基础过关练

一、单选题

1．（2022春·山西吕梁·高二校联考期中）将4名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑，冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，志愿者小明不去花样滑冰项目，则不同的分配方案共有（    ）

A．12种 B．18种 C．24种 D．48种

2．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（    ）种排法？

A．72 B．36 C．24 D．12

3．（2022秋·甘肃庆阳·高二统考期末）（    ）

A．10 B．5 C．20 D．4

4．（2023秋·河北·高三统考阶段练习）2022中国（南昌）国际大健康产业大会暨博览会将于11月25日-27日正式举办，此次博览会将围绕医疗器械、生物医药、中医中药、国际医养、医疗美容、健康生活六大板块，搭建政、商、学、医、研，产的高端对话与合作平台，推动健康产业资源要素相互赋能．博览会某日将举办六大板块为主旨的六场报告会，其中上午四场，下午两场，要求中医中药排在上午前两场中任意一场，医疗美容和健康生活排在下午，则不同安排种数是（    ）

A．24 B．96 C．144 D．192

5．（2022秋·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）五人站一排拍照，不相邻，则不同的排列方式共有（    ）

A．24种 B．48种 C．72种 D．96种

6．（2022秋·四川成都·高一四川省成都市第八中学校校考开学考试）若 “!” 是一种运算符号，并定义：，则​的值为（    ）

A．​ B．​ C．​ D．​

二、多选题

7．（2023·全国·高三专题练习）现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A，B，C，D，E五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（    ）

A．所有可能的安排方法有125种

B．若A 医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种

C．若专家甲必须去A 医院，则不同的安排方法有16种

D．若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种

8．（2023·全国·高三专题练习）身高各不相同的六位同学A、B、C、D、E、F站成一排照相，则说法正确的是（    ）

A．A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法

B．A与C同学不相邻，共有种站法

C．A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法

D．A不在排头，B不在排尾，共有种站法

9．（2022春·江苏镇江·高二校考期末）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（    ）

A．如果甲，乙必须相邻，那么不同的排法有24种

B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种

C．甲乙不相邻的排法种数为72种

D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种

10．（2022·高二课时练习）（    ）．

A． B． C． D．

三、填空题

11．（江苏省扬州市2022-2023学年高三下学期期初考试数学试题）某个随机数选择器每次从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中等可能地选择一个数字，用该随机数选择器连续进行三次选择，选出的数字依次是则概率=______.

12．（2023秋·江西上饶·高二统考期末）共6人站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么6人的排列方法种数共有______种（请用数字作答）.

13．（2023·广东广州·统考二模）现有甲、乙、丙、丁在内的6名同学在比赛后合影留念，若甲、乙二人必须相邻，且丙、丁二人不能相邻，则符合要求的排列方法共有 __种．（用数字作答）

四、解答题

14．（2023·高二课时练习）用0、1、2，3、4、5组成无重复数字的四位数，求分别满足下列条件的四位数的个数．

(1)能被25整除的数；

(2)十位数字比个位数字大的数．

15．（2022春·山西吕梁·高二校考阶段练习）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的整数，求满足下列条件的数各有多少个．

(1)六位奇数；

(2)能被5整除的四位数.

16．（2004·浙江·高考真题）某地区有5个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的）．假定工厂之间的选择互不影响．

(1)求5个工厂均选择星期日停电的概率；

(2)求至少有两个工厂选择同一天停电的概率．

题组B  能力提升练

一、单选题

1．抛掷一枚质地均匀的骰子3次，则向上的点数为3个互不相同的偶数的概率为（    ）

A． B． C． D．

2．某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座只能安排在第一或最后一场，讲座和必须相邻，问不同的安排方法共有（    ）

A．34种 B．56种 C．96种 D．144种

3．设是1，2，3，4，5的一个排列，若对一切恒成立，就称该排列是“交替”的，则“交替”的排列的数目是（    ）

A．16 B．25 C．32 D．41

4．有本不同的书，其中语文书本，数学书本，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（    ）

A． B． C． D．

5．有3个男生和3个女生参加某公司招聘，按随机顺序逐个进行面试，那么任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的概率是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

6．有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，则下列说法正确的是（    ）

A．共有种不同的排法 B．男生不在两端共有种排法

C．男生甲、乙相邻共有种排法 D．三位女生不相邻共有种排法

7．从名候选人中选派出人参加，，活动，且每项活动有且仅有人参加，甲不参加活动，则（    ）

A．有种不同的选派方案

B．有种不同的选派方案

C．若甲参加活动，则有种不同的选派方案

D．若甲不参加活动，则有种不同的选派方案

8．甲、某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（，2，…，6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．某人抛掷n次骰子后棋子恰好又回到点A处，则（    ）

A．若时，则共有3种不同走法 B．若时，则共有5种不同走法

C．若时，则共有25种不同走法 D．若时，则共有27种不同走法

9．4名男生和3名女生并坐一排，下列说法正确的是（    ）

A．男生必须接在一起的坐法有576种 B．女生互不相邻的坐法有1440种

C．男生相邻､女生也相邻的坐法有144种 D．男女生相间的坐法有288种

三、填空题

10．袋中装有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6从中一次性随机取出两个球，设两球标号为和，并记，．将球放回袋中，重复上述操作，得到和．设平面向量，，则与能构成基底的概率为______．

11．现有三位男生和三位女生，共六位同学，随机地站成一排，在男生甲不站两端的条件下，有且只有两位女生相邻的概率是______.

12．定义，现从集合中随机取两个不同的元素，则满足的概率为__________.

四、解答题

13．（1）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个无重复数字的三位数？

（2）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个三位数？

（3）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个数字允许重复的三位数？

（4）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个无重复数字的三位奇数？

（5）用1、1、1、2、3、4这六个数字各一次，可以组成多少个六位数？

14．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节．

(1)若“射”和“乐”两门课程相邻，且它们都与“数”不相邻，求不同的排课顺序有多少种；

(2)若“射”不排在第一节，“数”不排在第四节，求不同的排课顺序有多少种．

题组C  培优拔尖练

一、单选题

1．将六个数、、、、、将任意次序排成一行，拼成一个位数，则产生的不同的位数的个数是（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

2．跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么下面说法正确的是（    ）

A．进入第二个格子走法有2种

B．进入第二个格子走法有1种

C．进入第三个格子走法有2种

D．进入第八个格子走法有21种

三、填空题

3．给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有___种不同的染色方案.