高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册7.4二项式定理优秀同步测试题

第七章 计数原理

7.4二项式定理

知识点01  二项式定理

，

1.这个公式叫做二项式定理（binomial theorem），

2.等号右边的多项式叫做的二项展开式，共有n+1项，

3.二项式系数（binomial coefficient）：各项的系数叫做二项式系数.

4.二项展开式的通项：二项展开式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：.

5.通项的应用：利用二项展开式的通项可以求出展开式中任意指定的项（或系数），如常数项、有理项等.

【注意】二项式定理是一个恒等式，这里的a,b既可以取任意实数，也可以取任意的代数式，还可以是别的.如果设a=1，b=x，则得到公式：

【注意】二项式(a＋b)n(n∈N*)展开式的特点：

1.它有n＋1项；

2.各项的次数(即a与b的指数的和)都等于二项式的次数n；

3.字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n.

【即学即练1】（2022·吉林通化·高二期中）二项式的展开式中共有（    ）项.

A．5 B．6 C．7 D．8

【即学即练2】（2022·湖南·模拟预测）下列不属于的展开式的项的是（    ）

A． B． C． D．

知识点02  杨辉三角 

杨辉三角：当n依次取1,2，3，…时，(a＋b)n展开式的二项式系数可以表示成如下形式：

(a＋b)1………………………………1   1

(a＋b)2……………………………1   2   1

(a＋b)3…………………………1   3   3   1

(a＋b)4………………………1   4   6   4   1

(a＋b)5……………………1   5   10   10   5   1

(a＋b)6…………………1   6   15   20   15   6   1

…   …上表称为“杨辉三角”.

从上面的表示形式可以直观地看出“杨辉三角”的特点：

1.在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数    相等    ；

2.在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和.

由此可知，当二项式次数不大时，可借助“杨辉三角”直接写出各项的二项式系数.

【即学即练3】如图，在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，···，记其前n项和为Sn，求S19的值.

【即学即练4】如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．

知识点03  二项式系数的性质 

1.对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由公式 得到.

2.增减性与最大值：

①当时，二项式系数是逐渐增大的；

②当时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值.

③当n是偶数时，中间的一项的二项式系数最大；

④当n是奇数时，中间的两项的二项式系数相等且最大.

3.各二项式系数的和：已知.

令，则.也就是说，的展开式的各个二项式系数的和为    .

4.奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即.

【即学即练5】（2022·浙江·高三开学考试）的展开式的二项式系数的和是___________.（用数字作答）

【即学即练6】（2022·全国·高三专题练习）的展开式中各项的二项式系数之和为________．

◆考点01 指定项系数

【典例1】（2020·天津外国语大学附属外国语学校高三阶段练习）在的展开式中，的系数是（    ）

A．35 B． C．560 D．

【典例2】（2022·广东·珠海市第三中学二模）的展开式中，的系数为（    ）

A． B． C． D．

【典例3】（2022·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））在的展开式中，含x3项的系数为________

◆考点02 常数项

【典例4】（2023·全国·高三专题练习）在的展开式中，常数项为（    ）

A．-60 B．60 C．-240 D．240

【典例5】（2022·山东临沂·高二期末）二项式展开式中的常数项为（    ）

A． B． C．40 D．80

◆考点03 含有三项的二项展开式

【典例6】（2022·安徽·高二期中）的展开式中含项的系数为（    ）

A．－120 B．120 C．－60 D．60

【典例7】（2022·全国·高三专题练习）在的展开式中，含的项的系数为（    ）

A．-120 B．-40 C．-30 D．200

◆考点04 两个二项式乘积的展开式

【典例8】（2022·四川省内江市第六中学高三开学考试（理））的展开式中的常数项为（    ）

A．40 B．60 C．80 D．120

【典例9】（2022·全国·高三专题练习）的展开式中的常数项为（    ）

A．240 B． C．400 D．80

◆考点05 有理项与无理项

【典例10】（2023·全国·高三专题练习）二项式展开式中，有理项共有（    ）项．

A．3 B．4 C．5 D．7

【典例11】（2022·山西大同·高二期中）展开式中有理项共______项．

◆考点06 二项式定理含参

【典例12】（2022·广东东莞·高二期中）若的二项展开式共有8项，则n=___________.

【典例13】（2022·全国·高二专题练习）已知在的展开式中，第6项为常数项，则含项的系数为______．

◆考点07 二项式系数和

【典例14】（2022·浙江·高三开学考试）的展开式的二项式系数的和是___________.（用数字作答）

【典例15】（2022·全国·高三专题练习）的展开式中各项的二项式系数之和为________．

◆考点08 各项系数和

【典例16】（2022·上海市洋泾中学高三阶段练习）如果展开式中各项系数的和等于，则展开式中第项是__________.

【典例17】（2022·浙江·高二期中）的展开式中所有项的系数和为________．

◆考点09 各项系数绝对值和

【典例18】（2022·全国·高三专题练习）在的展开式中，所有项系数的绝对值的和为______.

【典例19】（2022·全国·高三专题练习）已知，则________（用数字作答）

◆考点10 赋值法解决系数和

【典例20】（2022·全国·高三专题练习）已知，则的值为_______．

【典例21】（2022·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（理））若，则的值是（ 　 ）

A． B．127 C．128 D．129

◆考点11 二项式系数最值

【典例22】（2022·江苏省响水中学高二期中）已知二项式.

(1)求展开式的有理项；

(2)求展开式的系数最大项.

【典例23】（2022·全国·高三专题练习）在二项式的展开式中，已知第2项与第8项的二项式系数相等.

(1)求展开式中二项式系数最大的项.

(2)求的展开式中的常数项.

◆考点12 系数最值

【典例24】（2022·全国·高三专题练习）的展开式中系数最小项为第______项．

【典例25】（2022·全国·高二课时练习）在二项式的展开式中，系数最大的项为______，系数最小的项为______．

◆考点13 整除问题

【典例26】利用二项式定理证明2n+2·3n+5n－4()能被25整除.

【典例27】求证：（1）5151－1能被7整除；（2）32n＋3－24n＋37能被64整除．

题组A  基础过关练

一、单选题

1．的展开式中，的系数是（    ）

A．10 B．40 C．60 D．80

2．展开式中的系数为（    ）

A． B． C．20 D．10

3．展开式中，的系数为（　　）

A． B．320 C． D．240

4．的展开式中的系数为（    ）

A．30 B．40 C．70 D．80

5．在的展开式中，的系数为（    ）

A． B． C．90 D．270

6．若，则（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

7．已知，函数，其中x的系数为8，则的系数可能为（    ）

A．12 B．16 C．24 D．28

8．下列说法中正确的有（    ）

A． B．

C． D．展开式中二项式系数最大的项为第三项

9．已知的展开式的二项式系数和为128，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．展开式中各项系数的和为

C．展开式中只有第4项的二项式系数最大

D．展开式中含项的系数为84

三、填空题

10．的展开式中的系数是__________.

11．若的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为__________.

12．在的展开式中的系数为_____．

13．若展开式的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为______．（用数字作答）

四、解答题

14．从4面不同颜色（红、黄、蓝、绿）的旗子中，选出3面排成一排作为一种信号，共能组成多少种信号？

15．（1）在的展开式中，若二项式系数最大的项仅是第六项，求展开式中的常数项.

（2）设复数（i是虚数单位），求的值.

16．已知，且．

(1)求的值；

(2)求的值；

(3)求的值．

五、双空题

17．已知，当时，其展开式中的系数为_________；记展开式中含x的奇次幂的项之和为，则=__________.

题组B  能力提升练

一、单选题

1．已知二项式，的展开式中第三项的系数最大，则a的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．已知，则（    ）

A． B． C． D．

3．展开式中常数项为（    ）

A． B． C．1 D．481

4．已知的二项展开式的奇数项二项式系数和为，若，则等于（    ）

A． B． C． D．

5．设，则下列结论中错误的是（    ）.

A．

B．

C．，，，…，中最大的是

D．当x=999时，除以2000的余数是1

6．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ）

A．

B．在第2022行中第1011个数最大

C．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数

D．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3

二、多选题

7．设，则（    ）

A．

B．

C．

D．

8．在二项式展开式中，下列说法正确的是（　　）

A．第三项的二项式系数为20 B．所有项的二项式系数之和为64

C．有理项共有4项 D．常数项为第五项

9．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

10．已知展开式的各项系数和为1024，则下列说法正确的是（    ）

A．展开式中奇数项的二项式系数和为256 B．展开式中第6项的系数最大

C．展开式中存在含的项 D．展开式中含项的系数为45

三、填空题

11．的展开式中的系数为________（用数字作答）．

12．若展开式中只有第5项的二项式系数最大，则其展开式中常数项为__________.

13．二项式定理是产生组合恒等式的一个重要源泉．由二项式定理可得：，等等，则_____．

四、解答题

14．已知在二项式的展开式中，含的项为.

(1)求实数a的值；

(2)求展开式中系数为有理数的项.

15．若，且．

(1)求实数a的值；

(2)求的值．

16．在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．

条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；

条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和等于64；

条件③：展开式中常数项为第三项．

问题：已知二项式，若______，求：

(1)展开式中二项式系数最大的项；

(2)展开式中所有的有理项；

(3)展开式中所有项的系数之和．

五、双空题

17．展开式中的第3项与第5项的二项式系数相等，则__________，展开式中的的系数为__________．

题组C  培优拔尖练

1．已知，则的值为（    ）

A． B．0 C．1 D．2