高中8.1条件概率精品巩固练习

第8章 概率

8.1.1  条件概率

知识点01  条件概率的理解

1.定义：对于任意两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率．

在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，用符号表示为P(B|A)．把由事件A和B同时发生所构成的事件，称为A与B的交(或积)，记作A∩B(或AB)．一般地，我们有条件概率公式P(B|A)＝.

2.条件概率的计算

1．计算在事件A发生的条件下B发生的概率，常有以下两种方式：

(1)利用定义计算

先分别计算概率P(A∩B)及P(A)，然后借助于条件概率公式P(B|A)＝求解．

(2)已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(B|A)相当于把A看做新的基本事件空间来计算AB发生的概率，即P(B|A)＝.此法常应用于古典概型中的条件概率求法．

注意：

对定义的进一步理解

（1）每一个随机试验，都是在一定条件下进行的，条件概率则是当试验结果的一部分信息已经知道，即在原随机试验的条件上又加上一定的条件的概率；

（2）事件A在“事件B发生”这个附加条件下发生的概率与没有这个附加条件下发生的概率一般是不同的；

（3）当题目涉及“在…前提下”等字眼时，一般为条件概率，如题目中没有上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也是条件概率．在条件概率的表示中，"|"之后的部分表示条件.

3.条件概率的性质

设P(A)>0,则

(1)P(B|A)∈[0,1],P(A|A)=1;

(2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=④P(B|A)+P(C|A);

(3)设和B互为对立事件,则P(|A)=⑤　1-P(B|A)

【即学即练1】（2022·河南郑州·高二期末）已知随机事件A，B的概率分别为，且，则下列说法中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【即学即练2】（2022·湖南·长沙市雅礼实验中学高三开学考试）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．若，则 A，B对立

C．若A，B独立，则

D．若A，B互斥，则

◆考点01 条件概率的应用

◆类型1 定义法的应用

【典例1】（2021·全国·高二课时练习）抛掷三枚质地均匀的硬币一次，在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是（    ）

A． B． C． D．

【典例2】（2022·福建泉州·）目前，国际上常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．某公司对员工的BMI值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为；女员工中，肥胖者的占比为，已知公司男、女员工的人数比例为2：1，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（    ）

A． B． C． D．

【典例3】（2022·广东·饶平县第二中学高二阶段练习）某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（　　）

A． B． C． D．

◆类型2 基本事件总数法

【典例4】（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校模拟预测（理））假定生男孩和生女孩是等可能的，某家庭有两个小孩，如果已经知道这个家庭有女孩，则这个两个小孩都是女孩的概率是__________.

【典例5】（2023·甘肃·模拟预测）在6道题中有3道理综题和3道文综题，如果不放回地依次抽取2道题，则“在第1次抽到理综题的条件下，第2次抽到文综题”的概率为（    ）

A． B． C． D．

◆类型3 与几何概型的结合

【典例6】任意向x轴上(0,1)这一区间内投掷一个点，问：

(1)该点落在区间内的概率是多少？

(2)在(1)的条件下，求该点落在内的概率．

【典例7】．（2020·宁夏·银川三沙源上游学校二模（理））如图所示，半径为1的圆是正方形的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形内，用表示事件“豆子落在圆内”，表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则（　　）

A． B． C． D．

◆考点02 有无放回问题

【典例8】一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则先摸出一个白球后放回，再摸出1个白球的概率是(　　)

A.   B.  C.   D.

【典例9】一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么

(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？

(2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？

题组A  基础过关练

一、单选题

1．已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且，，，则的值等于（    ）

A． B． C． D．

2．甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和4个红球，丙袋中有4个白球和4个红球．先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，第一次取出的球是红球的概率（    ）

A． B． C． D．

3．甲、乙两个家庭出去游玩，准备分别从北京、上海、重庆和天津4个地点中随机选择一个，记事件A：甲和乙选择的地点不同，事件B：甲和乙恰有一个选择北京，则（    ）

A． B． C． D．

4．小明和李华在玩游戏，他们分别从1~9这9个正整数中选出一个数告诉老师，老师经过计算后得知他们选择的两个数不相同，且两数之差为偶数，那么小明选择的数是偶数的概率是（    ）

A． B． C． D．

5．近年来，准南市全力推进全国文明城市创建工作，构建良好的宜居环境，城市公园越来越多，某周末，甲、乙两位市民准备从龙湖公园、八公山森林公园、上密森林公园、山南中央公园4个景点中随机选择共中一个景点游玩，记事件M：甲和乙至少一人选择八公山森林公园，事件N：甲和乙选择的景点不同，则（    ）

A． B． C． D．

6．小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

7．一个袋中有大小､形状完全相同的3个小球，颜色分别为红､黄､蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件，则（    ）

A． B．为互斥事件

C． D．相互独立

8．设A，B是两个随机事件，且，若B发生时A必定发生，则下列结论错误的是（    ）

A． B．

C． D．

9．一袋中有3个红球，4个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中任取3个球，事件A“这3个球都是红球”，事件B“这3个球中至少有1个红球”，事件C“这3个球中至多有1个红球”，则下列判断错误的是（    ）

A．事件A发生的概率为 B．事件B发生的概率为

C．事件C发生的概率为 D．

10．已知事件相互独立，则（    ）

A．事件与事件不相互独立 B．

C．事件与事件互斥 D．在事件发生的条件下，事件与事件互为对立事件

三、填空题

11．某公司在某地区进行商品的调查，随机调查了100位购买商品的顾客的性别，其中男性顾客18位，已知该地区商品的购买率为10%，该地区女性人口占该地区总人口的，从该地区中任选一人，若此人是男性，求此人购买商品的概率______

12．设100件产品中有70件一等品，25件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1件，已知取得的是合格品的条件下，则它是一等品的概率为_______．

13．某个闯关游戏规定：闯过前一关才能去闯后一关，若某一关没有通过，则游戏结束.小明闯过第一关的概率为，连续闯过前两关的概率为，连续闯过前三关的概率为.事件表示小明第一关闯关成功，事件表示小明第三关闯关成功，则______.

四、解答题

14．甲、乙两人参加某知识竞赛对战，甲答对每道题的概率均为，乙答对每道题的概率均为，两人答每道题都相互独立.答题规则：第一轮每人三道必答题，答对得10分，答错不加分也不扣分；第二轮为一道抢答题，每人抢到的概率都为，若抢到，答对得10分，对方得0分，答错得0分，对方得5分.

(1)若乙在第一轮答题中，恰好答对两道必答题的概率为，求的最大值和此时乙答对每道题的概率；

(2)以（1）中确定的作为p的值，求乙在两轮对战后得到25分的概率.

15．盒中装有5个同种产品，其中3个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个，求；

(1)取两次，两次都取得一等品的概率；

(2)取两次，第二次取得一等品的概率；

(3)取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率．

五、双空题

16．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件为“取到的2个数之和为偶数”，事件为“取到的2个数均为偶数”，则为__________，为__________．

题组B  能力提升练

一、单选题

1．已知为两个随机事件，，则“相互独立”是“”的（    ）

A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

2．某车间加工同一型号零件，第一､二台车床加工的零件分别占总数的40%，60%，各自产品中的次品率分别为6%，5%.记“任取一个零件为第i台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件B，则（    ）

①    ②    ③    ④

A．①②④ B．②③④ C．②③ D．①②③④

3．2022卡塔尔世界杯比赛场地是在卡塔尔的8座体育馆举办．将甲、乙、丙、丁4名裁判随机派往卢赛尔，贾努布，阿图玛玛三座体育馆进行执法，每座体育馆至少派1名裁判，A表示事件“裁判甲派往卢赛尔体有馆”；B表示事件“裁判乙派往卢赛尔体育馆”；C表示事件“裁判乙派往贾努布体育馆”，则（   ）

A．事件A与B相互独立 B．事件A与C为互斥事件

C． D．

4．对如下编号为1，2，3，4的格子涂色，有红，黑，白，灰四种颜色可供选择，要求相邻格子不同色，则在1号格子涂灰色的条件下，4号格子也涂灰色的概率是（    ）

A． B． C． D．

5．将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往①，②，③三个社区进行核酸信息采集，每个社区至少派1名志愿者，表示事件“志愿者甲派往①社区”；表示事件“志愿者乙派往①社区”；表示事件“志愿者乙派往②社区”，则（    ）

A．事件与相互独立

B．事件与为互斥事件

C．

D．

6．近日，各地有序开展新冠疫苗加强针接种工作，某社区疫苗接种点为了更好的服务市民，决定增派甲、乙、丙、丁4名医务工作者参加登记、接种、留观3项工作，每项工作至少1人参加，若表示事件：“甲参加登记这项工作”；事件表示“乙参加登记这项工作”；事件表示“乙参加接种这项工作”，则下列结论正确的是（    ）

A．事件与相互独立 B．事件与相互独立

C． D．

二、多选题

7．新型冠状病毒肺炎（Corona Virus Disease2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，世界卫生组织命名为“2019冠状病毒病”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎.用核酸检测的方法可以诊断是否患有新冠，假设，，其中随机事件表示“某次核酸检测被检验者阳性”，随机事件表示“被检验者患有新冠”，现某人群中，则在该人群中（    ）

A．每100人必有1人患有新冠

B．若，则事件与事件相互独立

C．若某人患有新冠，则其核酸检测为阳性的概率为0.999

D．若某人没患新冠，则其核酸检测为阳性的概率为0.001

8．从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，分别记事件A为“抽得的两张卡片上的数字之和大于8”，事件B为“第一张卡片上的数小于第二张卡片上的数”，则（    ）

A． B．

C． D．

9．将样本空间Ω视为一个单位正方形，任一事件均可用其中的区域表示，事件发生的概率为对应区域的面积.如图所示的单位正方形中，区域I表示事件AB，区域II表示事件，区域I和Ⅲ表示事件B，则区域IV的面积为（   ）

A． B． C．  D．

10．寒假期间，甲，乙，丙，丁，戊共5位同学被安排到A，B，C，D四个小区参加社会实践活动，要求每个小区至少安排一位同学，且每位同学只能到一个小区参加实践活动，则下列结论正确的是（    ）

A．不同的安排方法共有240种

B．甲同学被安排到A小区的概率是

C．甲乙两位同学被安排在同一小区的概率为

D．在甲同学被安排到A小区的前提下，A小区有两位同学的概率是

三、填空题

11．冬奥会设有冬季两项、雪车、冰壶、雪橇，滑冰，滑雪、冰球7个大项，现有甲、乙、丙三名志愿者，设A表示事件为“甲不是雪车项目的志愿者，乙不是雪橇项目的志愿者”，B表示事件为“甲、乙、丙分别是三个不同项目的志愿者”，则__________.

12．某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球.已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第次按下按钮后出现红球的概率为，则的通项公式为______.

13．甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.7，乙命中目标的概率为0.6，已知目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为______．

四、解答题

14．甲、乙、丙、丁进行乒乓球比赛，比赛规则如下：

第一轮：甲和乙进行比赛，同时丙和丁进行比赛，两个获胜者进入胜者组，两个败者进入败者组；

第二轮：胜者组进行比赛，同时败者组进行比赛，败者组中失败的选手淘汰；

第三轮：败者组的胜者与胜者组的败者进行比赛，失败的选手淘汰；

第四轮：第三轮中的胜者与第二轮中胜者组的胜者进行决赛，胜者为冠军．

已知甲与乙、丙、丁比赛，甲的胜率分别为；乙与丙、丁比赛，乙的胜率分别为；丙与丁比赛，丙的胜率为任意两场比赛之间均相互独立．

(1)求丙在第二轮被淘汰的概率；

(2)在丙在第二轮被淘汰的条件下，求甲所有比赛全胜并获得冠军的概率．

15．某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选.

(1)求女生乙被选中的概率；

(2)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.

五、双空题

16．先后掷两次骰子（骰子的六个面上的点数分别是1､2､3､4､5､6），落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x､y，记事件A为“为偶数”，事件B为“x､y中有偶数且”，则概率___________，___________.

题组C  培优拔尖练

一、多选题

1．随着春节的临近，小王和小张等4位同学准备互相送祝福.他们每人写了一个祝福的贺卡，这四张贺卡收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的新春祝福，则（    ）

A．小王和小张恰好互换了贺卡的概率为

B．已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为

C．恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为

D．每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为

二、填空题

2．现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第关要抛掷骰子次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第关，，2，3，4．假定每次闯关互不影响，则下列结论错误的序号是______．

（1）直接挑战第2关并过关的概率为；

（2）连续挑战前两关并过关的概率为；

（3）若直接挑战第3关，设A＝“三个点数之和等于15”，B＝“至少出现一个5点”，则；

（4）若直接挑战第4关，则过关的概率是．