第24讲 数学问题（基础版）小升初数学精讲精练专题真题汇编讲义（原卷+解析）通用版

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基础版（通用）小升初数学精讲精练专题汇编讲义第24讲 数学问题知识点一：简单的排列与组合1.排列、组合：排列是把给定个数的元素按照一定的顺序排成一列；组合是把给定个数的元素按任意顺序并成一组。2.解决排列、组合问题的基本原理：分类计数原理（也称加法原理）与分步计数原理（也称乘法原理）（1）分类计数原理：指完成一件事有很多种方法，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事。那么各种不同的方法数相加，其和就是完成这件事的方法总数。（2）分步计数原理：指完成一件事，需要分成多个步骤，每个步骤中又有多种方法，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事。那么每个步骤中的方法数相乘，其积就是完成这事的方法总数。知识点二：简单的逻辑推理根据已有的事实，经过分析、推断，就能找到答案，这种解决问题的方法就是逻辑推理。知识点三：解决问题的策略1.列表法：在解决问题时，可以用表格将条件和问题整理出来，就能发现数量之间的联系，找出规律，顺利解题2.图解法：就是借助图形，通过画线段或直观图，把应用题中抽象的数量关系，直观形象地显示！来，使其一目了然，帮助我们理解题意，明确数量的关系，进而很快地寻找出解题的途径不方法。3.枚举法：根据题目要求，将符合要求的结果不重复、不遗漏地--列举出来，从而解决问题的方法叫做枚举法，也叫做列举法或穷举法。4.逆推法：从应用题的问题的最后结果出发，利用已知条件一步一步倒着推理，直到解决问题，这种思考方法叫做逆推法，又称为“倒推法”或“还原法”5.假设法：常把问题中的一个未知数假定为已知的，然后根据题目中的已知条件推算，其结果常与题目对应的已知数不符，再加以适当调整，就可以求出结果。鸡兔同笼问题常用假设法求解，鸡兔同笼问题也称设置问题。6.替换法：根据两种数量中，某种数值4相等的关系，用一种量替换 另一种量来寻得解决问题的思考方法，叫做替换法。一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）1．（2分）（2022•邢台）六（2）班有40多人，体操汇演，如果每8人站一排，最后一排是6人；如果每10人站一排，最后一排也是6人。这个班一共（　　）人。A．42 B．46 C．47 D．49【思路点拨】班上的总人数是一定的，又知，最后一排每次站6人，前几排又都是8和10的整倍数。求出8和10的最小公倍数，再加6。【规范解答】解；8＝2×2×2，10＝2×5，8和10的最小公倍数是2×2×2×5＝4040+6＝46（人）。答：这个班一共有46人。故选：B。【考点评析】本题关键是明确两次分配后的盈余是相等的关系。2．（2分）（2022•通城县）甲、乙、丙、丁在百米决赛中获前四名。徐老师问他们谁是第一名时，甲说：我不是第一名。乙说：丁是第一名。丙说：我不是第一名。丁说：甲是第一名。四人中只有一人说了真话。那么，第一名是（　　）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【思路点拨】因为四人中只有一人说了真话，根据甲和丁的表述，得到甲和丁一定一真一假，这样丁和丙的表述就是错误的，然后可得丙是第一名；据此解答即可。【规范解答】解：因为四人中只有一人说了真话，根据甲和丁的表述，得到甲和丁一定一真一假；这样丁和丙的表述就是错误的，因为丙说：我不是第一名；所以丙是第一名。故选：C。【考点评析】解答本题关键是根据甲和丁的表述，得到甲和丁一定一真一假。3．（2分）（2022•凉山州）把5颗糖全部分给3个小朋友，使每个小朋友都分到，分配的方法一共有（　　）种．A．2 B．4 C．6 D．8【思路点拨】把5颗糖拆分成不含0的3份，列举出所有的分法，即可求解．【规范解答】解：5颗糖分成3份，最少分一块的方法如下：1，1，3，1，2，2，1，3，1，2，1，2，2，2，1，3，1，1；一共有6种不同的分配方法．故选：C．【考点评析】本题根据要求把5进行正确的拆分即可求解．本题还可以用隔板法解答，即＝6种．4．（2分）（2022•高淳区）有两个书架，甲书架有书80本，乙书架有书50本，每次从甲书架拿出3本放入乙书架，拿（　　）次后两个书架的书相等。A．10 B．5 C．8【思路点拨】先计算甲书架比乙书架多多少本，再除以2就是需要拿走的本书，再除以3，求拿的次数。【规范解答】解：（80﹣50）÷2÷3＝30÷2÷3＝5（次）答：拿5次后两个书架的书相等。故选：B。【考点评析】本题主要考查和差问题的应用，关键是知道拿走多的一半后，两个书架上的书一样多。5．（2分）（2022•陇县）六年级有三个班，每班有2个班长。开班长会时，每次每班只要一个班长参加。第一次到会的有a、b、d；第二次有b、c、e；第三次有a、e、f。那么，c和（　　）同班。A．a B．d C．e D．f【思路点拨】根据三次到会情况列出表格，再根据：每次每班只要一个班长参加，进行具体分析。【规范解答】解：由题意得： abcdef第一次到到没到到没到没到第二次没到到到没到到没到第三次到没到没到没到到到从第一次到会的情况来看，c只能和a、b、d同班；从第二次到会情况来看，c只能和a、d同班；从第三次到会情况来看，c只能和a同班；所以c和a同班。故选：A。【考点评析】此题应结合题意进行分析，得出答案后，再进行验证。二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）6．（2分）（2022•江北区模拟）某公司现有6箱不同的水果，安排三个配送员送到A、B、C三个不同的仓储点，其中A地1箱，B地2箱，C地3箱，配送方式有 　360　种。【思路点拨】第一步A、B、C三个不同的仓储点，运送顺序有种，然后A地有种选择，B地有种选择，剩下的送到C地，然后根据乘法原理解答即可。【规范解答】解：××＝6×6×10＝360（种）答：配送方式有360种。故答案为：360。【考点评析】用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析要完成的“一件事”是什么，可以“分类”还是需要“分步”。7．（2分）（2022春•鲁山县月考）一辆列车往返于成都和重庆之间，全程停靠7个车站，共需准备　42　种不同的硬座车票．【思路点拨】从成都⇔重庆的往返列车，去时从成都到其余6个地方有6种车票，从第二站到其余5个地方有5种车票，…等等，共有（6+5+4+3+2+1）种车票，返回时类似得出共有（1+2+3+4+5+6）种车票，相加即可．两站之间的往返车票各一种，即两种，n个车站每两站之间有两种，则n个车站的票的种类数＝n×（n﹣1）种，n＝7时，即7个车站，代入上式即可求得票的种数．【规范解答】解：共有车票：2×（6+5+4+3+2+1），＝2×21，＝42（种），答：共需准备42种不同的硬座车票．故答案为：42．．【考点评析】本题主要考查排列组合问题，应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复．8．（2分）（2021•涪城区）某次数学竞赛，甲、乙、丙3人中只有一人获奖，甲说：“我获奖了．”乙说：“我没获奖．”丙说：“甲没有获奖．”他们的话中只有一句是真话，则获奖的是 　乙　。【思路点拨】本题可用假设法进行解答。首先假设甲说的是真话，那么乙说的也是真话，所以不成立；然后假设乙说的是真话，那甲说的也是真话，也不成立；所以只能是丙说的是真话，乙说的是假话，说明，乙得奖了；据此解答。【规范解答】解：由分析可知：假设甲说的是真话，那乙说的也是真话，所以不成立；假设乙说的是真话，那甲说的也是真话，也不成立；所以只能是丙说的是真话，乙说的是假话，即：乙得奖了；故答案为：乙。【考点评析】本题主要考查学生的逻辑思维和推理能力。9．（2分）（2021•榕城区）陈老师将盒糖分给大班的小朋友，若平均每人分得5块，则余下46块：若平均每人分得8块，则少了2块，这盒糖有 　126　块。【思路点拨】如果每人分得5块，则余下46块；如果每人分得8块，则差2块；即盈46块，亏2块，两次分配的差为8﹣5，根据盈亏问题公式可知，共有小朋友（46+2）÷（8﹣5）＝16个小朋友，则共有糖（5×16+46）或（8×16﹣2）块；据此解答。【规范解答】解：（46+2）÷（8﹣5）＝48÷3＝16（个）5×16+46＝80+46＝126（块）答：这盒糖共有126块。【考点评析】本题为一次盈余一次不足的盈亏问题，首先根据（盈+亏）÷两次分配的差＝分配的对象数求出共有几个小朋友是完成本题的关键。10．（2分）（2021•台山市）若干支球队进行单循环比赛，即任意两队间都比赛一场，胜者得2分，平局各得1分，负者得0分。比赛完毕后，前三名得分依次为7、6、4分，那么共有 　5　支球队。【思路点拨】根据单循环赛的场次和得分情况，列出不等式，找到n的取值即可。【规范解答】解：设有n支球队，总场数为：场，总得分为：n（n﹣1），n（n﹣1）≤7+6+4+4（n﹣3）n＝4，总分4×3＝12（分），与已知（7+6+4）不符；n＝5，总分5×4＝20（分），符合题意。因此n＝5。答：共有5支球队。故答案为：5。【考点评析】本题主要考查了逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。11．（2分）（2021•沁阳市）数字2、3、4、5能组成 　12　个没有重复数字的两位数，这些两位数中有 　3　个数是质数。【思路点拨】先把用2、3、4、5这四个数字摆出的两位数都写出来；质数是除了1和它本身之外没有其它因数的数；由此求解。【规范解答】解：用2、3、4、5任选两个数字摆出的两位数有：23，24，25；32，34，35；42，43，45；52，53，54一共有12个；其中质数有：23，43，53，一共有3个；答：数字2、3、4、5能组成12个没有重复数字的两位数，这些两位数中有3个数是质数。故答案为：12，3。【考点评析】考查了简单的排列组合、质数的特点，本题的关键是得到所求不同的两位数。12．（2分）（2020•泗洪县）如图，一个田字形的区域A、B、C、D栽种观赏植物，要求同一个区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有5种不同的植物可供选择，那么共有 　260　种不同的栽种方案。【思路点拨】本题可以根据A、C所种的种数相同和不同来分类，然后再考虑B、D有多少种种法，最后求得结果。【规范解答】解：若A、C种同一种植物，则A、C有5×1＝5（种）栽种方法，B、D都有4种栽种法，共有5×4×4＝80（种）栽种方案；若A、C种不同的植物，则有4×5＝20（种）栽种法，B、D都有3种栽种法，一共有4×5×3×3＝180（种）栽种法。所以共有：80+180＝260（种）答：共有260种不同的栽种方案。故答案为：260。【考点评析】本题考查了排列组合知识，关键是分类思想的运用以及意全面地考虑问题，否则容易得到错误的结果。13．（2分）（2021•秦淮区）两条相同长度的彩带被等分成不同份数（如图），每条彩带长 　48　厘米。【思路点拨】观察图片可知，第一条彩带平均分成了8份，第二条彩带平均分成了3份，每条彩带长度的比它的多14厘米。则14厘米占每条彩带长度的（一），用14除以（）即可求出每条彩带的长。【规范解答】解：14÷（）＝14＝48（厘米）答：每条彩带的长48厘米。故答案为：48。【考点评析】解答此题是把绳子总长看作单位：“1”，然后找出14厘米的对应量即可。三．判断题（共5小题，满分10分，每小题2分）14．（2分）（2022•南山区）六年级5个班进行篮球比赛，每两个班都要赛一场，一共要赛10场。 　√　（判断对错）【思路点拨】5个班，如果每两个班比赛一场，每个班要和另外的4个班各赛一场，一共赛（5×4）场；由于两个班只赛一场，重复计算了一次，所以要再除以2即可。【规范解答】解：（5﹣1）×5÷2＝20÷2＝10（场）即一共要进行10场比赛，所以原题说法正确。故答案为：√。【考点评析】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果数量比较少可以用枚举法解答，如果数量比较多可以用公式 n（n﹣1）÷2解答。15．（2分）（2022•临湘市）小明、小莉、小刚、小芳四个好朋友站成一排拍毕业照，要求小刚不能站在最右边，一共有18种站法。 　√　（判断对错）【思路点拨】要求小刚不能站在最右边，从右向左排列，第一个位置有3种站法，第二个位置有3种站法，第三个位置有2种站法，第四个位置有1种站法，然后根据乘法原理列式解答即可。【规范解答】解：3×3×2×1＝18（种）即一共有18种站法，所以原题说法正确。故答案为：√。【考点评析】本题考查了乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×……×mn种不同的方法。16．（2分）（2019•定州市）一列往返于甲、乙两地的火车，沿途中间有3个站点，这列火车需要准备10种火车票。 　×　（判断对错）【思路点拨】中途要经过3个站，加上起点和终点，一共5个站，则从起点站要准备4种火车票，从第二站要准备3种火车票，从第三站要准备2种火车票，从第四站要准备1种火车票，然后相加即可求出单趟火车票的种数，由于是往返，所以再乘2即可。【规范解答】解：4+3+2+1＝10（种）10×2＝20（种）即这列火车需要准备20种火车票，所以原题说法错误。故答案为：×。【考点评析】本题考查了利用排列组合来解决实际问题，完成本题不忘记加上起点站及终点站。17．（2分）（2018•云岩区）王乐乐有2件不同的上衣和3件不同的下装搭配着穿，有9种搭配方式．　×　（判断对错）【思路点拨】根据题意知道，选上衣有2种选法，选下装有3种选法，根据乘法原理，即可得出答案．【规范解答】解：2×3＝6（种）；她有6种不同的穿法，而不是9种，原题说法错误．故答案为：×．【考点评析】本题考查了乘法原理，即做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，…，做第n步有Mn种不同的方法，那么完成这件事就有M1×M2×…×Mn种不同的方法．18．（2分）一个池塘种有睡莲，睡莲每天成倍生长，已知30天能长满全池，15 天能长满半池．　×　（判断对错）【思路点拨】用逆推的方法解答，睡莲的面积每天长大一倍，30天睡莲面积＝29天睡莲面积×2，30天长满整个池塘，所以29天长满半个池塘，由此判断．【规范解答】解：因为睡莲面积每天增大1倍，从半个池塘到长满整个池塘，仅需1天的时间，所以这些睡莲长满半个池塘需要：30﹣1＝29（天）；原题说法错误．故答案为：×．【考点评析】做这道题，要理解睡莲的面积每天长一倍，长满的前一天就是一半．四．应用题（共12小题，满分65分）19．（5分）（2021•南沙区）王大伯屋后有一棵桃树，他调皮的孙子每天从树上摘下一些桃子和邻居的小伙伴分吃。第一天摘下桃子总个数的，以后的8天分别摘下当天现有桃子的、、……、，摘了9天，树上还留下10个桃子。树上原来有多少个桃子？【思路点拨】根据题意，把当天桃子总数看作单位“1”，则第9天摘之前树上的桃子数是10÷（1﹣），同理，第8天摘之前树上的桃子是第9天桃子总数（第8天剩下的桃子数）的（1﹣），依此类推，用除法求出桃子总数即可。【规范解答】解：10÷（1﹣）÷（1﹣）÷……÷（1﹣）＝10÷÷……＝10×2××……×＝10×10＝100（个）答：树上原来有100个桃子。【考点评析】本题主要考查逆推问题，关键求摘之前树上桃子的数量。20．（5分）（2019•上海）有一个池塘中的睡莲，每天长大一倍，经过20天可以把池塘全部遮满．那么睡莲要遮住半个池塘需要经过多少天？【思路点拨】根据题意，有一个池塘中的睡莲，每天长大一倍，睡莲要遮住半个池塘的时候，再过一天就可以把池塘全部遮满，根据题意解答即可．【规范解答】解：20﹣1＝19（天）答：睡莲要遮住半个池塘需要经过19天．【考点评析】本题主要考查逆推问题，关键是从结果出发，逐步向前一步一步推理．21．（5分）（2019•上海）三盘橘子共有45个，如果从第一盘中拿出4个放到第二盘，再从第二盘中拿出7个放到第三盘，那么三个盘子中的橘子个数就完全相等．原来每盘橘子各有多少个？【思路点拨】根据题意，利用逆推法，因为最后三盘橘子的个数是一样的，所以都是：45÷3＝15（个）；从第二盘中拿出7个放到第三盘前，三盘橘子的个数分别为：第一盘：15个，第二盘：15+7＝22（个），第三盘：15﹣7＝8（个）；从第一盘中拿出4个放到第二盘前，三盘各为：第一盘：15+4＝19（个），第二盘：22﹣4＝18（盘），第三盘：8个．据此解答．【规范解答】解：45÷3＝15（个）15+7＝22（个）15﹣7＝8（个）22﹣4＝18（个）15+4＝19（个）答：原来第一盘有19个，第二盘有18个，第三盘有8个．【考点评析】本题主要考查逆推问题，关键是从结果出发，逐步向前一步一步推理．22．（5分）（2021•南部县）加工一批零件，若每天加工200个，则比原计划提前3天完成任务；若每天加工150个，则比原计划延迟5天才能完成任务。原计划多少天完成任务？这批零件一共有多少个？【思路点拨】设规定完成任务的时间是x天，如果每天加工200个，则用的时间是（x﹣3）天，如果每天加工150个，则用的时间是（x+5）天，再根据据工作量＝工作效率×工作时间用两个式子表示出这一批零件的个数，据此列方程解答即可。【规范解答】解：设规定完工的时间是x天，根据题意得：  200（x﹣3）＝150（x+5）     200x﹣600＝125x+750   200x﹣150x＝750+600             50x＝1350                 x＝27200×（27﹣3）＝200×24＝4800（个）答：原计划27天完成任务；这批零件一共有4800个。【考点评析】本题主要运用工作量＝工作效率×工作时间表示出这一批零件的个数，列出方程解答即可。23．（5分）（2020•全州县）学校组织同学们春游，若租用若干辆45座客车，则有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车刚好坐满。这个学校参加春游的学生一共有多少人？【思路点拨】根据题意可知，设租用45座客车x辆，则租用60座客车（x﹣1）辆，根据两种租车方法的总人数一定，列方程解答。【规范解答】解：设租用45座客车x辆。45x+15＝（x﹣1）×6045x+15＝60x﹣60      15x＝75          x＝5（5﹣1）×60＝4×60＝240（人）答：这个学校参加春游的学生一共有240人。【考点评析】关键是弄清题意，根据学生数找到最简单的等量关系，列方程解答。24．（5分）（2020•虹口区模拟）老师买来一些故事书，发给班里的三好学生，如果每人发9本则少25本，如果每人发6本则少7本．问有多少名三好学生？买了多少本故事书？【思路点拨】本题在发书的两个方案中，每一个方案都出现图书不足的情况，每人发9本少25本，每人发6本，则少7本．从每人9本变成6本，少发了9﹣6＝3（本），而图书的差额减少了25﹣7＝18（本），即18本可以发给3个人，可见学生人数为18÷3＝6（人）．求图书的本数就好求了，可以列式为6×6﹣7，或9×6﹣25，解答即可．【规范解答】解：学生：（25﹣7）÷（9﹣6）＝18÷3＝6（人）故事书：6×6﹣7＝36﹣7＝29（本）答：有6名三好学生，买了29本故事书．【考点评析】此题属于两亏类盈亏问题，此类问题的常用公式为：（大亏﹣小亏）÷两次分物差＝人数．25．（5分）（2018•广州）修一条路，第一天修了全长的一半多6米，第二天修了余下的一半少20米，第三天修了30米，最后还剩14米没修．这条路长多少米？【思路点拨】要求这条路长多少米，通过题意可知，如果第二天正好修了余下的一半，则剩下30+14﹣20＝24米，用24×2则算出余下的长度；又因为第一天修了全长的一半多6米，如果第一天正好修了全长的一半时，则剩下（24×2+6）米；这样得出剩下的长度的2倍即全长；由此进行解答即可．【规范解答】解：（30+14﹣20）×2＝24×2＝48（米）（48+6）×2＝108（米）答：这条路长108米．【考点评析】解决此类问题的关键是抓住最后得到的数量，从后向前进行推理，根据加减乘除的逆运算思维进行解答．26．（5分）（2019•湘潭模拟）有A，B，C，D，E五个朋友相聚在一起，互相握手致意．B握了4次手，A握了3次手，C握了2次手，D握了1次手，那么E握了几次手？【思路点拨】由于有A，B，C，D，E五个朋友相聚在一起，互相握手致意，则每人都需要与其他人各握手一次，即每人需握手4次，由此根据每人握手的次数分析即可．【规范解答】解：B握了4次手，即分别与ACDE各握了一次．由于D握了1次手，已和A握过．A握了3次手，则A是与BCE握的．此时C握已了2次手．所以此时E也握了两次，即是与A、B握的．【考点评析】明确每人最多握用4次，然后据每人握手的次数分析是完成此类题目的关键．27．（6分）（2022•兴义市）黔锋学校要定做一批凳子，如果加工厂每天加工200个，比规定时间提前3天完成任务，如果每天加工120个，比规定时间多用5天完成任务，规定完成任务的时间是多少天？【思路点拨】设规定完成任务的时间是x天，如果每天加工200个，则用的时间是（x﹣3）天；如果每天加工120个，则用的时间是（x+5）天；这批凳子总数一定，根据这个等量关系列方程解答。【规范解答】解：设规定完成任务的时间是x天，得：  200×（x﹣3）＝120×（x+5）       200x﹣600＝120x+600200x﹣600+600＝120x+600+600      200x﹣120x＝120x+1200﹣120x          80x÷80＝1200÷80                   x＝15答：规定完成任务的时间是15天。【考点评析】解答本题的关键是根据这批凳子总数一定，确定等量关系列方程。28．（6分）（2019•双峰县）有一种细菌，每天扩大至原来的2倍，十天达到1024个。问：第七天有多少细菌？【思路点拨】采用逆推方法，每天扩大至原来的2倍，十天达到1024个，用1024除以2可得第九天的细菌数，再除以2可得第八天的细菌数，再除以2就是第七天的细菌数。【规范解答】解：第十天细菌个数为1024个；第九天细菌个数为1024÷2＝512（个）；第八天细菌个数为512÷2＝256（个）；第七天细菌个数为256÷2＝128（个）；答：第七天有128个细菌。【考点评析】解决此类问题的关键是抓住最后得到的数量，从后先前进行推理，根据加减乘除的逆运算思维进行解答。29．（6分）（2019•长沙县）如图是一个长方体，一只蚂蚁从A点出发沿着棱爬行恰好经过每个顶点各一次，有多少条不同的线路？【思路点拨】借助树状图可以快速的解题．【规范解答】解：从A出发第一步到B、D、E的情况是一样的，从A到B的走法有6种，所以从A到B、D、E的所有走法一共有3×6＝18（种）答：一只蚂蚁从A点出发沿着棱爬行恰好经过每个顶点各一次，有18条不同的线路．【考点评析】数学题做法不要只局限计算方法一种，借助图形可以让思路更清晰，学会灵活选择合适的方法，提高解题效率．30．（6分）（2019•天津模拟）学校分配寝室．如果每间住6人，还有20人没有床位，如果每间住8人，正好住满．学生宿舍有多少间寝室？【思路点拨】如果每个房间住6人，则还有20人没有床位，即盈20人；如果每个房间住8人，那么房间正好住满；两次分配的差为8﹣6，人数差为20，根据盈亏问题公式可知共有寝室20÷（8﹣6）＝10间；据此解答．【规范解答】解：20÷（8﹣6）＝20÷2＝10（间）答：学生宿舍有10间寝室．【考点评析】盈亏问题的解答思路是：通过比较已知条件，找出两个相关的差数，一是总差额，二是每份的差额，将这两个差相除，就可求出总份数，然后再求物品数；基本关系式为：总差额÷每份的差额＝总份数