数学必修 第一册5.2 三角函数的概念精品当堂达标检测题

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5.2.1 三角函数的概念 一、三角函数的定义1、定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，则：叫做的正弦函数，记作.即；叫做的余弦函数，记作.即；叫做的正切函数，记作.即。2、三角函数定义域正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为：正弦函数：余弦函数：正切函数：3、三角函数另一种定义设点（不与原点重合）为角终边上任意一点，点P与原点的距离为：，则：，，.三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关二、三角函数的符号【口诀记忆】“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正．三、诱导公式一由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：   其中注意：（1）利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．（2）上面三个公式也可以统一写成：f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)，或f(k·360°＋α)＝f(α)(k∈Z)．四、特殊角的三角函数值 0°30°45°60°90°120°135°150°180°270° 0010－110---－1001 －10 五、三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法1、已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；2、已知角的一个三角函数值和终边上的点P的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；3、已知角的终边所在的直线方程（，），求角的三角函数值方法：先设出终边上的一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解（注意的符号，对分类讨论） 题型一 利用三角函数的定义求值【例1】已知点为角的终边上的一点，则（    ）A．        B．        C．        D．【答案】C【解析】因为点为角的终边上的一点，所以，故选：C  【变式1-1】若角的终边与单位圆的交点为，则（    ）．A．        B．        C．        D．【答案】B【解析】.故选：B．  【变式1-2】已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，若，则的值为（    ）．A．        B．        C．        D．【答案】C【解析】因为角终边经过点，且，所以，解得，故选：C  【变式1-3】若点在角的终边上，则的值是        【答案】1【解析】据题意，得.  【变式1-4】在直角坐标系中，若角始边为轴的非负半轴，终边为射线：，则______.【答案】【解析】在直角坐标系中，若角始边为轴的非负半轴，终边为射线，在射线上任取一点，则  【变式1-5】已知角的终边经过点，且，则（    ）A．        B．        C．        D．【答案】A【解析】角的终边经过点，由，可得，所以，所以，，所以.故选：A．  【变式1-6】在平面直角坐标系xOy中，角与均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若，则（    ）A．        B．        C．        D．【答案】A【解析】设角a与β的终边分别与单位圆交于点、，因为它们的终边关于y轴对称，所以且，因为，所以，所以．故选：A.  题型二 三角函数的符号判断【例2】已知且，则是（    ）A．第一象限的角      B．第二象限的角      C．第三象限的角      D．第四象限的角【答案】D【解析】，则是第三、四象限的角，则是第二、四象限的角∴是第四象限的角，故选：D．  【变式2-1】若角满足，，则在（    ）A．第一象限        B．第二象限        C．第三象限        D．第四象限【答案】B【解析】，是第二或第四象限角；当是第二象限角时，，，满足；当是第四象限角时，，，则，不合题意；综上所述：是第二象限角.故选：B.  【变式2-2】坐标平面内点的坐标为，则点位于第（    ）象限.A．一        B．二        C．三        D．四【答案】B【解析】，，则点位于第二象限，故选：B  【变式2-3】若是第四象限角，则点在（    ）A．第二或第四象限        B．第一或第三象限C．第三或第四象限        D．第一或第二象限【答案】C【解析】因为是第四象限角，即，，所以，．当时，，，此时是第二象限角，则，，点P在第三象限；当时，，，此时是第四象限角，则，，点P在第四象限．所以点P在第三或第四象限．故选：C.  【变式2-4】设是第三象限角，且，则的终边所在的象限是（    ）A．第一象限        B．第二象限        C．第三象限        D．第四象限【答案】D【解析】因为是第三象限角，所以，，所以，，则是第二或第四象限角，又，即，所以是第四象限角.故选：D．  【变式2-5】若，则θ角是（    ）A．第一象限        B．第二象限        C．第三象限        D．第四象限【答案】B【解析】由对数函数的定义域可知：，，，又，所以有，所以角是第二象限角.故选：B  题型三 圆上的动点与旋转点【例3】点P从（﹣1，0）出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为__．【答案】（，）【解析】如图所示，点P沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则∠xOQ，∴Q点坐标为（cos，sin），即（，）．故答案为：．  【变式3-1】已知某质点从直角坐标系xOy中的点出发，沿以O为圆心，2为半径的圆周作逆时针方向的匀速圆周运动到达B点，若B在y轴上的射影为C，，则（    ）A．        B．        C．        D．【答案】C【解析】设点得坐标为，根据三角函数定义可知：，则∴故选：C．  【变式3-2】已知单位圆上第一象限一点沿圆周逆时针旋转到点，若点的横坐标为，则点的横坐标为（    ）A．        B．        C．        D．【答案】B【解析】由单位圆上第一象限一点沿圆周逆时针旋转到点，点的横坐标为，所以，即，所以，设点的横坐标为，则.故选：B  【变式3-3】已知P是半径为3的圆形砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置开始，按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度为.如图，以砂轮圆心为原点，建立平面直角坐标系xOy，若，则点P到x轴的距离d关于时间t（单位：）的函数关系为（    ）A．        B．C．        D．【答案】D【解析】经过t秒后，点P在角的终边上，由三角函数定义可知，点P到x轴的距离.故选：D  【变式3-4】如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2022次旋转后，点B的坐标为（    ）A．        B．        C．        D．【答案】B【解析】如图所示，过点作轴与点，在直角中，，所以，因为，所以，可得，由题意，所以点的坐标次一个循环，即周期为，又因为，所以.故选：B.  题型四 诱导公式一应用【例4】求值：（1）tan 405°－sin 450°＋cos 750°；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝.（2）原式＝sincos＋tan·cos＝sincos＋tancos＝×＋1×＝.  【变式4-1】求下列各式的值（1）        （2）．【答案】（1）      （2）8【解析】（1）．（2）．  【变式4-2】计算下列各式的值：（1）；      （2）；【答案】（1）;   （2）【解析】（1）原式．（2）．  【变式4-3】求下列各式的值（1）        （2）．【答案】（1）;  （2）0【解析】（1）（2）．