数学6.3空间向量的应用一课一练

6.3.1直线的方向向量与平面的法向量

6.3.2空间线面关系的判定

知识点01  直线的方向向量

定义：直线l上的向量e（e≠0）以及与e共线的非零向量叫作直线l的方向向量.

注意点：

（1）空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：

①是非零向量；

②向量所在的直线与l平行或重合.

（2）与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个.

【即学即练1】若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（    ）

A． B． C． D．

【即学即练2】已知两点，，直线的方向向量为，则（    ）

A．1 B．－1 C．－2 D．2

知识点02  平面的法向量

1.平面的法线

与平面垂直的直线叫作平面的法线。

由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，我们可以考虑用平面的垂线的方向来刻画平面的“方向”。

2.平面的法向量：如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α，此时，我们把向量n叫作平面α的法向量.

注意：

（1）平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量.

（2）一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行.

【即学即练3】已知为直线l的方向向量，、分别为平面、的法向量（、不重合），那么下列说法中：①；②；③；④.其中正确的有（    ）.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【即学即练4】以下真命题共有___________个.

①一个平面的单位法向量是唯一的；

②一条直线的方向向量和一个平面的法向量垂直，则这条直线和这个平面平行；

③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交.

知识点03  平面方程的表示 

1．在空间直角坐标系中，平面可以用关于x，y，z的三元一次方程来表示.

2.经过点P（x0， y0， z0），且平面α的法向量为n=（A，B， C）的平面方程为A（x-x0)＋B(y-y0)+C(z-z0)=0.

求平面方程的两种方法

（1）法向量法：利用法向量与平面内的任意向量垂直，即=0求解，其中n为平面的法向量，为平面内的任意向量.

（2）待定系数法：设所求平面方程为Ax＋By＋Cz＋D=0，然后代入相关点解方程即可.

【即学即练5】已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（    ）

A． B． C． D．

【即学即练6】（多选）在空间直角坐标系中，已知向量（其中），定点，异于点的动点，则以下说法正确的是（    ）

A．若为直线的方向向量，则

B．若为直线的方向向量，则

C．若为平面的法向量，面经过和P，则

D．若为平面的法向量，面经过和P，则

知识点04  空间线面平行和垂直关系的向量表示

1.设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面α1，α2的法向量分别为n1， n2， 则有下表：

2.空间中直线、平面的平行

⑴直线与直线平行

设直线l，m的方向向量分别为a=（a1，b1，c1），b=（a2，b2，c 2），则l//ma//ba1=a2,b1=b2,c1=c2(a∈R).

⑵直线与平面平行

设直线l的方向向量为a=（a1，b1，c1），平面α的法向量为u=（a2，b2，c 2），则l//αa⊥ua1a2+b1b2+c1c2=0.

⑶平面与平面平行

设平面α，β的法向量分别为u=（a1，b1，c1）, v=（a2，b2，c 2），则α//βu//va1=a2,b1=b2,c1=c2(a∈R).

3. 空间中直线、平面的垂直

⑴直线与直线垂直

设直线l的方向向量为a=（a1，a2，a3），直线m的方向向量为b=（b1，b2，b3），则l⊥ma⊥bab=0a1b1+a2b2+a3b3=0.

⑵直线与平面垂直

设直线l的方向向量为a=（a1，b1，c1），平面α的法向量为u=（a2，b2，c 2）则l⊥αa//ua1=ka2, b1=kb2,c1=kc2,k∈R.

⑶平面与平面垂直

设平面α的法向量为u=（a1，b1，c1），平面β的法向量为v=（a2，b2，c 2），则α⊥βu⊥va1b1+a2b2+a3b3=0.

【即学即练7】（2020·上海杨浦.复旦附中高二期中）已知平面的一个法向量为，则直线与平面的位置关系为_______.

【即学即练8】已知平面的法向量为，，则直线与平面的位置关系为（    ）

A． B． C．与相交但不垂直 D．

◆考点01 平面法向量的求法

【典例1】如图的空间直角坐标系中，垂直于正方形所在平面，与平面的所成角为，E为中点，则平面的单位法向量______．（用坐标表示）

【典例2】如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

(1)求平面的一个法向量；

(2)求平面的一个法向量．

【典例3】如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量：

(1)平面ABCD；

(2)平面；

(3)平面．

◆考点02 利用法向量研究平面位置关系

◆类型1空间向量与平行

【典例4】如图，在长方体中， ，当 时，有平面，则实数的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．

【典例5】（2019·安徽埇桥，北大附宿州实验学校高二期末（理））已知平面的法向量是，平面的法向量是，若// ，则的值是（    ）

A． B．-6 C．6 D．

【典例6】如图，在四面体A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．证明：PQ平面BCD；

【典例7】已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G分别是棱BC,CC1,B1B的中点．

证明：与平面不平行.

◆类型2空间向量与垂直

【典例8】如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.

【典例9】如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB.

求证：平面BCE⊥平面CDE.

◆考点03 探索性问题

【典例10】（2019·九台市第四中学高二期末（理））如图，平面，四边形是矩形， ，点是的中点，点在边上移动.

（1）当点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由；
（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有.

【典例11】如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，.

(1)求与平面所成角的正弦值；

(2)设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，且 平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.

题组A  基础过关练

一、单选题

1．已知直线l经过点，平面的一个法向量为，则（    ）

A． B．

C． D．l与相交，但不垂直

2．如图所示，在直三棱柱中，侧棱长为，点，分别在上，为的中点，若，则线段的长度为（    ）

A． B． C． D．

3．已知平面，的法向量分别为，，则（    ）

A． B．

C．，相交但不垂直 D．，的位置关系不确定

4．在空间直角坐标系中，，，，则，，三点所在平面的其中一个法向量的坐标是（    ）

A． B． C． D．

5．已知，则平面ABC的一个单位法向量是（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

6．已知空间中三点，，，则下列结论正确的有（    ）

A．与共线且同向的单位向量是

B．

C．与夹角的余弦值是

D．平面的一个法向量是

7．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，，，下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．向量是平面ABCD的法向量

8．如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

9．已知是直线l的方向向量，是平面的法向量．若，则______．

10．已知P是所在的平面外一点，，，，给出下列结论：

①；

②；

③是平面的一个法向量；

④，其中正确结论的个数是__________．

四、解答题

11．如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1＝，M是线段B1D1的中点.

(1)BM//平面D1AC；

(2)D1O⊥平面.

12．已知四棱锥中，底面为正方形，平面，，，、分别为、的中点.求证：；

13．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，平面平面，且，为的中点，证明：平面平面.

14．如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为棱PD的中点，（为常数，且）．若直线BF平面ACE，求实数的值；

题组B  能力提升练

一、单选题

1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（    ）

A． B． C． D．1

2．已知直线l和平面ABC，若直线l的方向向量为，向量，，则下列结论一定正确的为（    ）

A．平面ABC B．l与平面ABC相交，但不垂直

C．直线BC D．平面ABC或平面ABC

3．如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一点，且,若平面，则（    ）

A． B． C． D．

4．在正方体中，为上一动点，则下列各选项正确的是（      ）

A．存在点使得与平面垂直 B．存在点使得与平面垂直

C．存在点使得与平面垂直 D．存在点使得与平面垂直

5．给出以下命题，其中正确的是（    ）

A．平面的法向量分别为，则

B．直线l的方向向量为，平面的法向量为，则

C．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直

D．平面经过三个点，向量是平面的法向量，则

二、多选题

6．如图，平行六面体的体积为，，，底面边长均为4，且分别为的中点，则下列选项中不正确的有（    ）

A． B．平面

C． D．平面

7．已知空间中三点，则下列结论正确的有（    ）

A．与共线的单位向量是

B．

C．与夹角的余弦值是

D．平面的一个法向量是

8．在正方体中，E为中点，若直线平面，则点F的位置可能是（    ）

A．线段中点 B．线段中点 C．线段中点 D．线段中点

三、填空题

9．如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，.点，分别在棱，上，且，，若过点，，的平面与直线交于点，且，则______.

10．已知梯形ABCD和矩形CDEF．在平面图形中，，．现将矩形CDEF沿CD进行如图所示的翻折，满足面ABCD垂直于面CDEF．设，，若面DBN，则实数的值为______．

四、解答题

11．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，E，F分别是的中点.

(1)求证：；

(2)在平面内求一点G，使平面.

12．如图，在三棱柱中，侧面底面，，，且，为的中点.在上是否存在一点，使得平面？若不存在，说明理由；若存在，确定点的位置.

13．如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2．

(1)求证：平面；

(2)在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

题组C  培优拔尖练

一、单选题

1．在四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面底面．若，则　　

A．当 时，平面BPC⊥平面PCD

B．当时，平面APD⊥平面PCD

C．对任意，直线PA与底面ABCD都不垂直

D．存在，使直线PD与直线AC垂直

二、多选题

2．已知矩形，，，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，翻折过程中（    ）

A．存在某个位置，使得

B．存在某个位置，使得

C．存在某个位置，使得

D．存在某个位置，使得，、均不等于零

三、解答题

3．如图，四棱锥中，为矩形，，且．为上一点，且．

(1)求证：平面；

(2)分别在线段上的点，是否存在，使且，若存在，确定的位置；若不存在，说明理由．