高中数学5.4 三角函数的图象与性质随堂练习题

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一、正弦函数、余弦函数图象的画法
1．描点法：按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数、余弦函数图象的方法．
2．几何法：利用三角函数线作出正弦函数和余弦函数在内的图象，再通过平移得到和的图象．
3．五点法：先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象．
在确定正弦函数在上的图象时，关键的五点是：
【注意】
（1）若，可先作出正弦函数、余弦函数在上的图象，然后通过左、右平移可得到和的图象．
（2）由诱导公式，故的图象也可以将的图象上所有点向左平移个单位长度得到．
二、正（余）弦函数的图象
三、用三角函数图象解三角不等式的方法
1、作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象；
2、写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集；
3、根据公式一写出不等式的解集．
题型一 五点法作三角函数的图象
【例1】用“五点法”作y＝2sin2x的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由“五点法”作图知：令2x＝0，，π，，2π，
解得x＝0，，，，π，即为五个关键点的横坐标，故选：B.
【变式1-1】用“五点法”作函数，的大致图像，所取的五点是______．
【答案】，，，，
【解析】由“五点法”作函数，，的图象时的五个点分别是
，，，，．
【变式1-2】用“五点法”画出下列函数的简图：
（1），； （2），； （3），．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】（1）按五个关键点列表
描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图
（2）按五个关键点列表
描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图
（3）按五个关键点列表
描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图
【变式1-3】用“五点法”作下列函数的简图.
（1）； （2）. （3）().
【答案】（1）图象答案见解析；（2）图象答案见解析；（3）图象答案见解析.
【解析】（1）列表如下：
描点连线如图：
（2）列表如下：
描点连线如图：
（3）函数在长为一个周期的区间上的图象，列表如下：
再向左右两边扩展，其图象如下：
题型二 含绝对值的三角函数
【例2】函数y＝|csx|的一个单调增区间是（ ）
A． B．[0，π] C． D．
【答案】D
【解析】将y＝的图像位于x轴下方的图像关于x轴对称翻折到x轴上方，
x轴上方(或x轴上)的图像不变，即得y＝|csx|的图像
根据各选项判断只有D选项正确. 故选：D.
【变式2-1】作出函数，的大致图像．
【答案】图见解析
【解析】函数，
其图如下所示：
【变式2-2】作出函数的大致图像.
【答案】图象见解析
【解析】列表
作图：先作出的图像，又原函数是偶函数,图像关于y轴对称，
即可作出的图像.
【变式2-3】作函数的图象.
【答案】图象见解析.
【解析】
故的图象是的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方后得到的图象，
如图
题型三 三角函数识图问题
【例3】函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数是定义域上的奇函数
其图象关于原点对称，排除选项D；
当时，，此时，
∴当时，的图象在轴上方，排除选项B；
当时，，的图象在轴下方，排除选项C；
综上所述，函数的大致图象为选项A.故选：A.
【变式3-1】函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令，则，排除C、D；
令，则，排除B.故选：A
【变式3-2】已知函数的图象如图所示，则此函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】图象关于原点对称，为奇函数，CD中定义域是，不合，排除，
AB都是奇函数，当时，A中函数值为负，B中函数值为正，排除B．故选：A．
【变式3-3】已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A，，
所以函数为偶函数，故排除A；
对于D，，故排除D；
对于C，，则，
所以函数为奇函数，故排除C.故选：B.
题型四 利用图象解三角不等式
【例4】不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
函数图象如下所示：
，
不等式的解集为：．故选：．
【变式4-1】在上，满足的的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作出和在的函数图象，
根据函数图象可得满足的的取值范围为.故选：C.
【变式4-2】在内，不等式的解集是（ ）
A．(0，π) B． C． D．
【答案】C
【解析】画出y＝sin x，的草图如下．
内，令，解得或，
结合图象可知不等式的解集为．故选：C．
【变式4-3】若函数的定义域为（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】B
【解析】要使函数有意义，则，即，
即，，得，，
即函数的定义域为（）.故选：B
【变式4-4】已知的定义域是，则的定义域为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】的定义域是，故由可得，
解得，
因此，函数的定义域为.故选：A.
【变式4-5】函数y＝的定义域是________．
【答案】
【解析】由知，，
由正弦函数图象特征知，．
故定义域为.
故答案为：.
题型五 与正余弦函数有关的零点
【例5】函数，的图像与直线的交点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】在同一平面直角坐标系内，先画函数，的图像，再画直线，
可知所求交点的个数为2．故选：C．
【变式5-1】已知函数f(x)=-sinx，则f(x)在区间[0，2π]上的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】令，则，
在同一坐标系中，作出，如下图所示：
由图知，f(x)在区间[0，2π]上的零点个数为2个.故选：B.
【变式5-2】是定义在R上的偶函数，且，时，，则函数在区间上零点的个数为（ ）
A．2021 B．4043 C．2020 D．4044
【答案】B
【解析】，，即函数的周期为2，
当时，，则当时，，
由此可作出函数与函数的大致图象如下，
由图象可知，每个周期内有两个交点，
所以函数在区间上零点的个数为个．故选：B．
【变式5-3】函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，，
当时，，
所以函数的图像如图所示，
所以函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点时，.故选：C
【变式5-4】已知函数若在区间上至少有5个零点，在区间上至多有5个零点，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为方程在上的解为，，
所以当在区间上至多有5个零点时，
因为方程在上的解为，，
所以当在区间上至少有5个零点时，，即
综上，正数的取值范围是，故选：B函数
y＝sin x
y＝cs x
图象
图象画法
五点法
五点法
关键五点
,,,,
,,,,
正（余）弦曲线
正（余）弦函数的图象叫做正（余）弦曲线
x
0
0
2
0
-2
0
x
0
1
0
-1
0
x
0
y
0
2
0
-2
0
x
0
0
1
0
-1
0