人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用课后作业题

三角函数专题：三角函数最值（值域）的5种常见考法

1、形如 (或)型

可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论

2、形如 (或型

（1）先由定义域求得的范围

（2）求得 (或)的范围，最后求得最值

3、形如型

引入辅助角转化为，其中，再利用三角函数的单调性求最值。

4、形如或型，

可利用换元思想，设或，转化为二次函数求最值，

t的范围需要根据定义域来确定．

5、形如型

利用和的关系，通过换元法转换成二次函数求值域

6、分式型三角函数值域

（1）分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域；

（2）判别式法

题型一 借助辅助角公式求值域

【例1】该函数的最大值是（    ）

A．1        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】因为，又，

所以函数的最大值是2.故选：C.

【变式1-1】已知的最大值是2，则在中的最大值是（    ）

A．        B．3        C．        D．

【答案】C

【解析】根据辅助角公式可得：

，

其中.

由的最大值为2可得,解得.

∴.

∵，∴.

∴当，即时，取得最大值.

故.故选:C.

【变式1-2】已知函数，则函数的值域为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】 ,,

，所以，

所以函数的值域为.故选：B

【变式1-3】函数在区间上的最大值是（    ）

A．1        B．2        C．        D．3

【答案】C

【解析】因为，

所以，

，，，．故选：C．

【变式1-4】己知函数，则的最小值是_________.

【答案】

【解析】由题意可得，

其中，，且．

因为,所以.

所以的最小值是.

题型二 借助二次函数求值域

【例2】求函数的值域.

【答案】

【解析】，，

根据二次函数性质知，当时，；当时，，

故值域为.

【变式2-1】函数的值域为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】函数，

设，，则，

由二次函数的图像及性质可知，

所以的值域为，故选：C.

【变式2-2】函数的值域为____________

【答案】

【解析】因为

令，则

所以，所以，故函数的值域为

【变式2-3】函数的最小值是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】，

令，则．

因为在上单增，所以当时，．故选：C．

题型三 借助换元法求值域

【例3】已知函数，则（    ）

A．的最大值为3，最小值为1

B．的最大值为3，最小值为-1

C．的最大值为，最小值为

D．的最大值为，最小值为

【答案】C

【解析】因为函数，

设，，

则，

所以，，

当时，；当时，.故选：C

【变式3-1】函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x，x∈[0，π]的值域为________．

【答案】[－1,1]

【解析】设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，

即sin xcos x＝，且－1≤t≤. ∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.

当t＝1时，ymax＝1；当t＝－1时，ymin＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]．

【变式3-2】函数的最大值为（    ）

A．1        B．        C．        D．3

【答案】C

【解析】，

令，所以，

则，

所以，

所以原函数可化为，，

对称轴为，所以当时，取得最大值，

所以函数的最大值为，

即的最大值为，故选：C

【变式3-3】函数的值域为________．

【答案】

【解析】由于，

令，则，

于是函数化为，

而 ，

所以当时，函数取最大值1，

当时，函数取最小值，故值域为.

题型四 分式型三角函数的值域

【例4】函数的值域是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】令，，

可得，，

，故.故选：B.

【变式4-1】函数的值域为___________.

【答案】

【解析】解：，

因为，所以，所以，所以，

所以的值域是.

【变式4-2】函数的值域为_____________．

【答案】

【解析】令，，

则，即，

所以，

又因为，所以，

即函数的值域为．

【变式4-3】当时，函数的最小值是________.

【答案】

【解析】，

当时，，所以，

，即的最小值为.

题型五 含绝对值的三角函数值域

【例5】y＝sin x－|sin x|的值域是（    ）

A．[－1,0]        B．[0,1]      C．[－1,1]        D．[－2,0]

【答案】D

【解析】当 时， ，所以，

当，，

又 ，所以函数的值域为，故选：D.

【变式5-1】函数的值域是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】，

∴为周期函数，其中一个周期为，故只需考虑在上的值域即可，

当时，，其中，,

∴，，

当时，，其中，，

∴，，

∴的值域为.故选：C

【变式5-2】设函数，，则函数的最小值是______．

【答案】0

【解析】∵为偶函数，

∴只需求函数在上的最小值，

此时，

令，则，函数的对称轴为，

∴当时，.

【变式5-3】若不等式在恒成立，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴，

∵ 不等式在恒成立

∴ ，，∴.

故的取值范围是.