2022-2023学年陕西省西安市周至县高三下学期第一次模拟考试数学（理科）试题含答案

周至县2022-2023学年高三下学期第一次模拟考试

数学（理科）试题

注意事项：

1. 本试题共4页，满分150分，时间120分钟.

2. 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.

3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4. 考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 命题：“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

2. 设集合，，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知复数z满足，其中为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4. 已知是等差数列的前n项和，若，，则（    ）

A. 15 B. 20 C. 25 D. －25

5. 下列区间中，函数单调递增的区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.甲同学是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个1不相邻，那么甲同学可以设置的不同密码个数为（    ）

A. 240 B. 360 C. 480 D. 720

7. 设，是两个不同的平面，则“中有三个不共线的点到的距离相等”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

8. 如图，某种卷筒卫生纸绕在圆柱形盘上，空盘时盘芯直径为40mm，满盘时直径为120mm，已知卫生纸的厚度为0.1mm，则满盘时卫生纸的总长度大约为（，精确到1m）（    ）

A. 60m B. 80m C. 100m D. 120m

9. 某校高二年级学生举行中国象棋比赛，经过初赛，最后确定甲、乙、丙三位同学进入决赛.决赛规则如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，最后的胜者获得冠军，比赛结束.若经抽签，已知第一场甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，则（    ）

A. 甲获得冠军的概率最大 B. 甲比乙获得冠军的概率大

C. 丙获得冠军的概率最大 D. 甲、乙、丙3人获得冠军的概率相等

10. 对于函数，若对任意的，，，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”，已知是可构成三角形的函数，则实数t的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，过的直线与圆相切于点Q，与双曲线的右支交于点P，若线段PQ的垂直平分线恰好过右焦点，则双曲线C的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D. 2

12. 过点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知向量，，若，则实数m的值为______.

14. 若抛物线上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为______.

15. 若定义域为的奇函数在区间上单调递减，且不等式的解集为，则符合题意的一个函数解析式为______.

16. 我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去.若经过n次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于，则n的最小值为（参考数据：，）______.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（本小题满分12分）

在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足.

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若的周长为6，，求的面积.

18.（本小题满分12分）

偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某同学的某科考试成绩与该科平均成绩的差叫某科偏差（实际成绩－平均成绩＝偏差）.在某次考试成绩统计中，教研人员为了对学生数学偏差x（单位：分）与物理偏差y（单位：分）之间的关系进行分析，随机挑选了8位同学，得到他们的两科成绩偏差数据如下：

（Ⅰ）若x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；

（Ⅱ）若本次考试数学平均成绩为100分，物理平均成绩为70.5分，试由（Ⅰ）的结论预测数学成绩为116分的同学的物理成绩。

参考公式：，.

参考数据：，.

19.（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中，，E为的中点，，.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求平面与平面ABC所成角的余弦值.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆C：的离心率为，右焦点与抛物线的焦点重合.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设椭圆C的左焦点为，过点的直线l与椭圆C交于A、B两点，A关于x轴对称的点为M，证明：M、、B三点共线.

21.（本小题满分12分）

已知函数.

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若有且仅有2个零点，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）证明：.

（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

（Ⅰ）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知直线l与曲线C交于A，B两点，设，求的值.

23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数.

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若，，求实数a的取值范围.

周至县2022-2023学年高三下学期第一次模拟考试

数学（理科）试题参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. B   2. D   3. A   4. B   5. A   6. A   7. B   8. C   9. C   10. B   11. A   12. D

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. －6    14.     15. （答案不唯一）   16. 12

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17. 解：（Ⅰ）∵，

∴，

即.

∴，即.

∵，∴，

∴，

又，∴.

（Ⅱ）由余弦定理知，

即，

又，，

∴.

∴.

18. 解：（Ⅰ）由题意可得，，

，

又，，

∴，

，

∴y关于x的线性回归方程为：.

（Ⅱ）设该同学的物理成绩为W，则物理偏差为W－70.5.

又数学偏差为，

∴，解得.

∴预测这位同学的物理成绩为75分.

20. 解：（Ⅰ）∵椭圆C的右焦点与抛物线的焦点重合，

∴.

又，∴.

∴.

∴椭圆C的方程为.

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知椭圆C的左焦点为，

当直线l的斜率不存在时，其方程为：，此时直线l与椭圆C没有交点，不符合题意；

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，，则.

联立，消去y得，

∴，解得.

∴，.

∵，，

又，，

∴

，

∵与共线，即M、、B三点共线.

21. 解：（Ⅰ）∵，∴，

当时，，函数在上单调递增；

当时，令，得；令，得.

∴在上单调递减，在上单调递增.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时，函数在上单调递增，不符合题意；

当时，，

又当时，；当时，，

∴若有且仅有2个零点，只需.

设，则.

∴当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减.

又，

∴或.

∴实数a的取值范围为.

（Ⅲ）证明：易知当时，，

即，当且仅当时取等号

设，则.

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

又，

∴，当且仅当时取等号.

∴.

（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22. 解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数），

∴消去t可得直线l的普通方程为.

∵曲线C的极坐标方程为，即，

又∵，，

∴曲线C的直角坐标方程为.

（Ⅱ）将（t为参数）代入，

得，显然，即方程有两个不相等的实根，

设点A，B在直线l的参数方程中对应的参数分别是，，

则，，

∴，

∴.

23. 解：（Ⅰ）当时，，

∵，

∴当时，，解得；

当时，，无解；

当时，，解得.

∴不等式的解集为.

（Ⅱ），当且仅当时，等号成立，

∵，，

∴，

∴当，即时，符合题意；

当，即时，有或，解得.

∴，即实数a的取值范围为.