高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第三章 空间向量与立体几何4 向量在立体几何中的应用4.2 用向量方法讨论立体几何中的位置关系优秀课件ppt

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第三章 空间向量与立体几何4 向量在立体几何中的应用4.2 用向量方法讨论立体几何中的位置关系优秀课件ppt，共44页。PPT课件主要包含了问题导入，新知讲解，判断正误，即时巩固，证明线线垂直问题，证明线面垂直问题，证明面面垂直问题，证明线线平行，证明线面平行，证明面面平行等内容，欢迎下载使用。
1. 能用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系.2.能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理.3.理解并会用三垂线定理及其逆定理.核心素养：直观想象、数学运算.
平行和垂直是立体几何中主要的位置关系，那么如何用向量方法进行研究呢？
一 用空间向量处理平行或垂直关系
三垂线定理:若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直，则它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理:若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直.
二 三垂线定理及三垂线定理的逆定理
思考 三垂线定理及其逆定理有何区别与联系?
联系:都是一面四线,三种垂直关系.区别:①从条件或结论上看,三垂线定理是“线与射影垂直⇒线与斜线垂直”,而逆定理恰好相反;②从作用上看,三垂线定理是“共面直线垂直⇒异面直线垂直”,而逆定理恰好相反.
(1)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则该直线与平面平行.(　　)(2)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时,直线与平面垂直.(　　)(3)两个平面的法向量平行,则这两个平面平行或重合;两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直.(　　)
2.已知直线l的方向向量为a＝(－1,2,0)，平面α的法向量为n＝(2,1，－1)，则（ ）A.l⊥α B.l∥α C.l⊂α D.l∥α或l⊂α
例1　如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点.求证：EF⊥BC.
证明　由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
反思感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.
证明　设AB的中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
例2　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：PB⊥平面EFD.
证明　由题意得，DA，DC，DP两两垂直，所以以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图，设DC＝PD＝1，
即x＋y －z＝0. ①
所以x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ. ②
因为PB⊥EF，又EF∩DE＝E，EF，DE⊂平面EFD.所以PB⊥平面EFD.
方法二　设n2＝(x2，y2，z2)为平面EFD的法向量，
反思感悟 用坐标法证明线面垂直的方法及步骤(1)利用线线垂直①将直线的方向向量用坐标表示.②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量.③ 判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直.(2)利用平面的法向量①将直线的方向向量用坐标表示.②求出平面的法向量.③判断直线的方向向量与平面的法向量平行.
跟踪训练　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.
证明　设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2).
设平面B1AC的法向量为n＝(x，y，z)，
∴EF⊥平面B1AC.
令x＝1得n＝(1,1，－1)，
例3　在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点.求证：平面BDE⊥平面ABCD.
证明　设AS＝AB＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，
方法一　连接AC，交BD于点O，连接OE，
所以OE∥AS.又AS⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD.又OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.
方法二　设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z).
令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1,1,0).
因为n1·n2＝0，所以平面BDE⊥平面ABCD.
反思感悟 证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.
跟踪训练　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点.求证：平面AED⊥平面A1FD1.
证明　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2，0,2)，D1(0,0,2)，
设平面AED的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1).
令y1＝1，得n1＝(0,1，－2).同理，平面A1FD1的一个法向量为n2＝(0,2,1).∵n1·n2＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴n1⊥n2，∴平面AED⊥平面A1FD1.
例4　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点.求证：MN∥RS.
证明　方法一　如图所示，建立空间直角坐标系，
因为M∉RS，所以MN∥RS.
反思感悟 利用向量证明线线平行的思路证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可.
又R∉MN，所以MN∥RS.
跟踪训练　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点.求证：四边形AEC1F是平行四边形.
证明　以点D为坐标原点，
不妨设正方体的棱长为1，
又∵F∉AE，F∉EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF，∴四边形AEC1F是平行四边形.
例5　在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB.
证明　如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PD＝DC＝a.连接AC，交BD于点G，连接EG，
方法一　设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，
又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB.
方法二　因为四边形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，
而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB.
反思感悟 证明线面平行问题的方法(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；(2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内；(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内.
跟踪训练　在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.
证明　∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，EF⊥BE.又∵AE⊥EB，∴EB，EF，EA两两垂直.以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2,2,0)，
设平面DEG的法向量为n＝(x，y，z)，
令y＝1，得z＝－1，x＝－1，则n＝(－1,1，－1)，
∵AB⊄平面DEG，∴AB∥平面DEG.
例6　已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：平面ADE∥平面B1C1F.
证明　建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，
设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，
令z1＝2，则y1＝－1，所以可取n1＝(0，－1,2).同理，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量.
令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2).因为n1＝n2，即n1∥n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.
反思感悟 证明面面平行问题的方法(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行.(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明.
跟踪训练　在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F是棱AB的中点.
试用向量的方法证明：平面AA1D1D∥平面FCC1.
证明　因为AB＝4，BC＝CD＝2，F是棱AB的中点，所以BF＝BC＝CF，所以△BCF为正三角形.因为ABCD为等腰梯形，AB＝4，BC＝CD＝2，所以∠BAD＝∠ABC＝60°.取AF的中点M，连接DM，则DM⊥AB，所以DM⊥CD.以D为原点，DM为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系Dxyz，
所以DD1∥CC1，DA∥CF，又DD1∩DA＝D，CC1∩CF＝C，DD1，DA⊂平面AA1D1D，CC1，CF⊂平面FCC1，所以平面AA1D1D∥平面FCC1.
例7 如图,空间四边形ABCD中,点A在平面BCD内的射影O1是△BCD的垂心,求证:B在平面ACD内的射影O2必是△ACD的垂心.
七、三垂线定理及逆定理的应用
反思感悟1.三垂线定理及其逆定理常用于判定空间直线互相垂直,在引用时要清楚以下问题:(1)从条件上看,三垂线定理的条件是“和射影垂直”;其逆定理的条件是“和斜线垂直”.显然本例中三垂线定理和三垂线定理的逆定理都充分利用了.(2)从功能上看,三垂线定理用于解决已知共面垂直,证明异面垂直的问题;逆定理正好相反.解决垂心问题需要两次垂直的证明,都能用上定理和其逆定理的框架结构.2.三垂线定理及其逆定理应用中的三个环节用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直的关键在于构造三垂线定理的基本图形,创设应用定理的环境.构造三垂线定理基本图形时要抓住下面三个环节:(1)确定投影面;(2)作出垂线;(3)确定射影.
跟踪训练 如图,BC是Rt△ABC的斜边,过点A作△ABC所在平面α的垂线AP,连接PB,PC,过点A作AD⊥BC于点D,连接PD,那么图中的直角三角形共有(　　)A.4个　　 B.6个 C.7个 D.8个
1.已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于（ ）A.4 B.－4 C.5 D.－5
解析　∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0.∴k＝－5.
2.已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则（ ）
3.已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为（ ）A.(1,0，－2) B.(1,0,2) C.(－1,0,2) D.(2,0，－1)
得－x＋1－z＝0. ①
联立①②得x＝－1，z＝2，故点P的坐标为(－1,0,2).
解析　方法一　以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示.
设M(a，a，1)，平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，
方法二　设AC与BD相交于O点，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，所以AM∥EO，又O是正方形ABCD对角线交点，所以M为线段EF的中点.
5.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是（ ）
A.当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BDB.当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BDC.在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BDD.不存在DQ与平面A1BD垂直
解析　以A1为坐标原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则由已知得A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，
取z＝－2，则x＝2，y＝1，所以平面A1BD的一个法向量为n＝(2,1，－2).
但此方程关于λ无解.故不存在DQ与平面A1BD垂直.
6.已知平面ABC，且A(1,2，－1)，B(2,0，－1)，C(3，－2,1)，则平面ABC的一个法向量为__________________.
(2,1,0)(答案不唯一)
令y＝1，得x＝2，z＝0，故平面ABC的一个法向量为n＝(2,1,0).
∵a是平面α的一个法向量，
∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确.
9.如图，已知点E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E，C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有________条.
解析　假设存在满足条件的直线MN，建立空间直角坐标系如图所示，不妨设正方体的棱长为2，则D1(2,0,2)，E(1,2,0)，
所以(x－2，y，z－2)＝m(－1,2，－2)，x＝2－m，y＝2m，z＝2－2m，所以M(2－m，2m，2－2m)，
即存在满足条件的直线MN，有且只有一条.
10.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是________.
解析　建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A(2,2,2)，A1(2,2,0)，C(0,0,2)，B(2,0,2)，∴M(2,1,1)，N(1,1,2)，
又平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0,1,0)，∵－1×0＋0×1＋1×0＝0，
∴MN∥平面BB1C1C.
11.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点.(1)求证：A1E⊥BD；
证明　以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a，则A(a，0,0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a).设E(0，a，b)(0≤b≤a)，
(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置.
解　设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2).
由平面A1BD⊥平面EBD，得n1⊥n2，
∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD.
解　分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图.则P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0), 设E(0，y，z)，则
∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝2(y－1)＝0，
∴E是PD的中点，即存在点E为PD中点时，CE∥平面PAB.