北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系优秀同步训练题

课时把关练

§4  向量在立体几何中的应用

4.3  用向量方法研究立体几何中的度量关系（2）——空间中的距离问题

1.已知直线l过定点A（2，3，1），且方向向量为s＝（0，1，1），则点P（4，3，2）到l的距离为（　）

A.          B.            C.            D.

2.已知四边形ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角P-AD-C为60°，则P到AB的距离是（　）

A.          B.           C. 2            D.

3.如图，已知ABC­A1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，

点C1到平面AB1D的距离为(　　)

A．a          B．a         C．a        D．a

4.正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD＝G．则三棱锥B1­EFD1的体积V等于(　　)

A．           B．        C．           D．16

5.正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为(　　)

A．a          B．a         C．a          D．a

6.如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是（　）

A. 5             B. 8           C.             D.

7.如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1，点M是线段

DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值是(　　)

A．a          B．a         C．a           D．a

8.定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则异面直线AC与BC1之间的距离是（　）

A.            B.            C.           D.

9.如图，在四棱锥P-ABCD的平面展开图中，四边形ABCD是边长为2的正方形，三角形ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，∠HDC＝∠FAB＝90°，则四棱锥P-ABCD外接球的球心到平面PBC的距离为 （　）

A.         B.            C.           D.

10.［多选题］如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，E为边AB的中点，将△ADE沿DE折起，使点A到A′的位置，且平面A′DE⊥平面BCDE，连接A′B，A′C，则下列结论中正确的是（　）

A. BD⊥A′C                    B. BE到平面A′CD的距离为

C. BC与A′D所成角的余弦值为    D. 直线A′B与平面A′CD所成角的正弦值为

11.如图所示，在直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为　　　　.

12.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若BB1＝AB＝，则点C到直线AB1的距离为　　　　.

13.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为正三角形，且侧棱AA1⊥底面ABC，且底面边长与侧棱长都等于2，O，O1分别为AC，A1C1的中点，则平面AB1O1与平面BC1O间的距离为　　　　.

14.在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，现将△ACD沿对角线AC向上翻折，得到四面体D-ABC.设二面角D-AC-B的平面角为，当在内变化时，BD的取值范围为　　　　.

15.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱A1B1的中点，F为棱AB的中点.

（1）求点B到直线AC1的距离.

（2）判断直线FC与平面AEC1的位置关系.如果平行，求直线FC到平面AEC1的距离.

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§4  向量在立体几何中的应用

4.3  用向量方法研究立体几何中的度量关系（2）——空间中的距离问题

参考答案

1.A    2.D     3.A     4.C     5.D     6.C     7.A     8.D     9.C     10.BC

11.      12.      13.      14.

15. 解：以D1为原点，D1 A1，D1 C1，D1 D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（1，0，1），B（1，1，1），C（0，1，1），C1（0，1，0），，，

（1）取a＝＝（0，1，0），u＝＝（-1，1，-1），

则a2＝1，a·u＝，所以点B到直线AC1的距离为＝＝.

（2）因为＝＝，＝，所以FC∥EC1，所以FC∥平面AEC1.

所以点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离.

设平面AEC1的一个法向量为n＝（x，y，z），

则所以所以取z＝1，则n＝（1，2，1）.

又因为＝，所以点F到平面AEC1的距离d＝＝＝，

即直线FC到平面AEC1的距离为.