【期中备考】第三单元+因数与倍数解答能力（拔高卷）-2022-2023学年五年级下册数学重难点易错题专项突破（苏教版）

第三单元 因数与倍数解答能力（拔高卷）

2022-2023学年五年级下册数学重难点易错题专项突破

注意：请认真审题，做到书写端正，格式正确，卷面整洁。

一、解答题

1．36支笔、40本簿子，平均奖给几个成绩优良的学生，结果多出一支铅笔，簿子差两本，问成绩优良的学生最多有多少人？

2．一个两位数是3的倍数，它各位上数的和是9，写出所有可能的情况。这些数中，奇数有哪些？偶数有哪些？

3．甲乙两个工程队合开一条720米长的隧道，同时各从一端开凿，经过24天开通。甲队每天开凿14.5米，乙队每天开凿多少米？（列方程解答）

4．已知某小学五年级学生数大约在100名到140名之间。将他们每15名分一组，多3名；每10名分一组，少7名。这个学校五年级有多少名学生？

5．甲、乙、丙三人在周长360米的环形跑道赛跑，甲每秒跑6米，乙每秒跑7.5米，丙每秒跑9米，如果三人同时从同一地点同向出发，当三人又在原出发地相遇时各跑了几圈？

6．有两根铁丝，一根长36dm，一根长24dm，把它们截成长度相等的小段，没有剩余，每段最长是多少分米？一共可截成多少段？

7．有两根彩带，一根长36厘米，另一根长24厘米。现在要把它们剪成长度一样的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？至少共可以剪成多少段？

8．根据图中信息解决问题。

9．有两根绳子，一根长60厘米，另一根长45厘米。要将这两根绳子剪成长度一样长的短绳而且没有剩余，每根短绳最长是多少厘米？一共能剪成几根？

10．一条马路长120米，从一端起，在马路的两侧先每隔4米栽一棵树（两端都栽），后改为每隔6米栽一棵，不需要移栽的有多少棵？需要拔掉的有几棵？需要重栽的有几棵？

11．有一块三角形的花圃，三条边的长度分别是85米、102米和119米。现在在这三条边上等距离栽树（三角形的三个顶点都要栽），并且每两棵树之间的距离尽可能大。一共可以栽多少颗树？

12．在192米长的距离内挂红、绿、黄三种颜色的气球，绿气球每隔6米挂一个，黄气球每隔4米挂一个。如果绿气球和黄气球重复的地方就改挂一个红气球，那么，除两端外，中间挂多少个气球？

13．一种长方形砖长10厘米，宽6厘米、像图中这样铺，至少需要多少块才能铺成一个正方形？

14．把一堆萝卜平均分给兔子，不论分给9只兔子，还是分给12只兔子，都正好分完。这堆萝卜至少有多少个？

15．把30个苹果和35个梨分别平均分给一些小朋友，最后都正好分完。最多有多少个小朋友？

16．甲乙丙三人绕环形跑道竞走，甲走一圈要用1分钟，乙走一圈要用1分钟30秒，丙走一圈要用1分钟15秒。三人同时从起点出发，经过多少分钟又在起点相遇？相遇时他们各走了几圈？

17．两根绳子，一根长12厘米，一根长16厘米， 现在把他们剪成同样长的小段，不能有剩余，每小段的长度要尽可能长。

（1）每小段长多少厘米？

（2）一共可以剪成多少段？

18．五（1）班学生去烈士陵园植树，分成8人一组或7人一组都可以。这个班至少有

多少人参加植树？

19．某公共汽车站有两条不同路线，两路车在早上8点同时发车后，至少再到什么时候又可以同时发车？

20．童童和红红都在舞蹈馆培训舞蹈，童童每6天去一次，红红每8天去一次，如果4月1日她们在舞蹈馆相遇，那么下一次在舞蹈馆相遇是几月几日？

21．一张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米，现在要把它剪成一块块的正方形，而且正方形边长为整厘米，有多少种剪法？如果要使剪得的面积最大，可以剪多少块？

22．猪小弟要把长24分米，宽16分米的长方形菜地分割成相同的正方形菜地，要使菜地全部用上没有剩余，所分割的正方形菜地边长最大是多少米？能分割成多少块这样的正方形菜地？

23．爸爸买回30个苹果和42个梨，准备用保鲜袋装起来。如果要求每个保鲜袋中两种水果都有，并且同一种水果个数相同，那么爸爸最多需要多少个保鲜袋？此时每个保鲜袋中两种水果各放多少个？

24．有两根长度分别是24米和20米的木料，现在把它们锯成一样长的短木且没有剩余，每根短木料最长是多少米？一共可以锯成多少根？

25．下面是红星小学五年级各班的人数统计表。

哪几个班的人数可以平均分成人数相同的小组（每组至少有2人）？哪几个班的人数不可以？为什么？

参考答案

1．7人

【分析】根据题意，将练习本的本数加2，铅笔的支数减1，结果正好分完，利用求两个数的最大公因数的方法解决问题。

【详解】40＋2＝42（本）

36－1＝35（支）

将42和35分解质因数：42＝2×3×7，35＝5×7，它们的最大公因数是：7。

答：成绩优良的学生最多有7人。

此题属于求最大公因数问题，解答关键是得到练习本的本数加2，铅笔的支数减1的数，然后利用分解质因数的方法求两个数的最大公因数，以此解答问题。

2．所以符合条件的是：90、81、18、72、27、36；63、45、54；其中奇数：81、27、63、45；偶数有：18、72、36、54、90；

【分析】一个两位数是3的倍数，它各位上数的和是9，即个位上的数加十位上的数是9，一一列举即可，奇数是指不能被2整除的整数；偶数是指能被2整除的整数。

【详解】3＋6＝9

2＋7＝9

4＋5＝9

1＋8＝9

9＋0＝9

所以符合条件的是：90、81、18、72、27、36；63、45、、54；其中奇数：81、27、63、45；偶数有：18、72、36、54、90；

本题考查了3的倍数特征和奇数偶数的认识，注意不要漏写了。

3．15.5米

【分析】根据题意，设乙队每天开凿x米，根据等量关系：甲队24天开凿的隧道＋乙队24天开凿的隧道＝720米长的隧道，列方程解答即可。

【详解】解：设乙队每天开凿x米。

24x＋14.5×24＝720

24x＋348＝720

24x＝720－348

x＝372÷24

x＝15.5

答：乙队每天开凿15.5米。

本题考查了列方程解应用题，关键是根据等量关系：甲队24天开凿的隧道＋乙队24天开凿的隧道＝720米长的隧道。

4．123名

【分析】根据题意可知，“每10名分一组，少7名”也可以理解成“每10名分一组，多3名”，所以五年级学生人数应比15和10的公倍数多3；先分别找出15和10的公倍数，然后根据范围100到140，即可判断出公倍数，然后加3即可解答。

【详解】15和10的公倍数：30，60，90，120、150；

在100到140之间的公倍数是120；

120＋3＝123（名）

答：这个学校五年级有123名学生。

此题主要考查学生对最小公倍数的灵活应用，需要理解“每10名分一组，少7名”也可以理解成“每10名分一组，多3名”，所以五年级学生人数应比15和10的公倍数多3。

5．甲：4圈；乙：5圈；丙：6圈

【分析】根据路程、速度与时间的关系式，先求得甲乙丙三人跑1圈所用的时间分别是多少，然后再利用它们的最小公倍数即可求得经过多少时间三人又同时回到出发地。

【详解】360÷6＝60（秒）

360÷7.5＝48（秒）

360÷9＝40（秒）

60＝2×2×3×5

48＝2×2×2×2×3

40＝2×2×2×5

60，48和40的最小公倍数：

2×2×2×2×3×5＝240（秒）

240÷60＝4（圈）

240÷48＝5（圈）

240÷40＝6（圈）

答：三人又在原出发地相遇时，甲跑了4圈，乙跑了5圈，丙跑了6圈。

本题考查最小公倍数的实际应用，关键是理解题意，并会求多个数的最小公倍数，即把各个数分解质因数，然后把它们的公有质因数和各自独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。

6．12分米；5段

【分析】根据题意可知，要求把它们截成相同的最长小段，就是求36和24的最大公因数；分别用铁丝的长度÷每段的长度＝分的段数，再相加即可解答。

【详解】因为36＝2×2×3×3，24＝2×2×2×3，所以36和24的最大公因数是12，每段最长是12分米；

36÷12＋24÷12

＝3＋2

＝5（段）

答：每段最长是12分米，一共可以截5段。

本题主要考查最大公因数的应用，理解“每段最长的值等于36和24的最大公因数”是解题的关键。

7．12；5段

【分析】根据题意，要把它们剪成长度一样的短彩带且没有剩余，则短彩带的长度是36和24的公因数，要求最长是多少厘米就是求它们的最大公因数是多少；最少可以剪成的段数＝彩带的总长度÷短彩带最长的厘米数，据此求解即可。

【详解】24＝2×2×2×3

36＝2×2×3×3

24和36的最大公因数是2×2×3＝12，即每根短彩带最长是12厘米；

（24＋36）÷12

＝60÷12

＝5（段）

答：每根短彩带最长是12厘米；至少共可以剪成5段。

考察了最大公因数在实际生活中的应用。掌握最大公因数的求法是解题关键。

8．6个；小气球5个，大气球7个

【分析】根据题意，把42个大气球和30个小气球分别平均分给几个组正好分完，说明小组数是42和30的公因数，要求最多可以分给几个小组，就是求42和30的最大公因数；求出组数后，用气球数量÷组数就是每组分得的气球数量。

【详解】42＝2×3×7

30＝2×3×5

42和30的最大公因数是：2×3＝6，即最多可以分给6个小组；

42÷6＝7（个）

30÷6＝5（个）

答：最多可以分给6个小组；每个小组分得大气球7个，小气球5个。

考察了最大公因数在实际生活中的应用。掌握最大公因数的求法是解题关键。

9．15厘米；7根

【分析】根据题意，求每根短绳最长是多少米，也就是求60和45的最大公因数，根据求两个数的最大公因数的方法解答即可。求一共能剪成几根，用绳子的总长度除以每一根短绳的长度即可。

【详解】60＝2×2×3×5

45＝3×3×5

所以60和45的最大公因数是3×5＝15

即每根短绳最长是15厘米；

（60＋45）÷15

＝105÷15

＝7（根）

答：每根短绳最长是15厘米，一共能剪成7根。

此题考查的目的是理解掌握求两个数的最大公因数的方法及应用。

10．22棵；40棵；20棵

【分析】（1）因为4和6的最小公倍数是12，所以在距离是12米的倍数的位置上的树不用移栽，用全长除以间距再加上1，再乘以2即可得出两侧不用移栽的树的棵数。（2）120米除以4米得数加上1就是原来一侧栽的棵树，减去不用移栽的棵树，就是需要拔掉的棵树，再乘以2就是两侧共拔掉的棵树。（3）用全长除以6米再加上1就是一侧重新栽后的棵树，减去不用移栽的棵树后就是需要重新栽的棵树，两侧再乘以2。

【详解】4＝2×2

6＝2×3

所以4和6的最小公倍数是2×2×3＝12，

120÷12＝10（棵）

10＋1＝11（棵）

11×2＝22（棵）

答：不用移栽的树有22棵。

120÷4＋1＝31（棵）

31－11＝20（棵）

20×2＝40（棵）

答：需要拔掉40棵。

120÷6＋1＝21（棵）

21－11＝10（棵）

10×2＝20（棵）

答：需要重新栽上20棵。

这是植树问题，考查了公倍数应用题，利用4和6的最小公倍数和基本的数量关系求出一边栽树的棵数是解答此题的关键，注意道路两旁首尾都栽，根据株数＝段数＋1＝全长÷株距＋1。

11．18棵

【分析】根据题意可计算出85、102和119的最大公因数，它们的最大公因数就是每相邻两棵树之间的最大距离，因为三角形是封闭图形，所以间隔数等于栽树的棵树，据此解答。

【详解】85的因数有：1、5、17、85

102的因数有：1、2、3、6、17、34、51、102

119的因数有/1、7、17、119

85、102和119的最大公因数是17

（85＋102＋119）÷17

＝306÷17

＝18（米）

答：一共可以栽18棵树。

此题考查的是最大公因数，解答此题关键是三角形是封闭图形，所以间隔数等于栽树的棵树。

12．15个

【分析】根据题意可知，先求出4和6的最小公倍数，用192米除以最小公倍数得出间隔数，即可解答。

【详解】4和6的最小公倍数是12；

192÷12＝16，16个间隔可以挂17个红气球；

16＋1－2＝15（个）

答：除两端外，中间挂15个气球。

此题需要理解16个间隔可以挂17个红气球，还应减去两端的两个红气球，这是解题的关键。

13．15块

【分析】由题意可知求出10厘米与6厘米的最小公倍数即可求出拼成的正方形的边长，因为是密铺，所以用拼成的正方形的面积除以长方形的地砖的面积，即可求出需要的块数。

【详解】10＝2×5，6＝2×3；

所以10和6的最小公倍数是：2×3×5＝30；

30×30÷（10×6）

＝900÷60

＝15（块）

答：至少需要15块才能铺成一个正方形。

解答此题的关键是明白，正方形的边长，是长方形砖长和宽的最小公倍数，从而可以逐步求解。

14．36个

【分析】即求9和12的最小公倍数，根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；进行解答即可。

【详解】9＝3×3，

12＝2×2×3，

所以9和12的最小公倍数是2×2×3×3＝36，即这堆萝卜至少36个；

答：这堆萝卜至少有36个。

此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答。

15．5个

【分析】由题意可知，小朋友的人数是30和35的公因数，要求小朋友最多有多少人，就是求这两个数的最大公因数。

【详解】30＝2×3×5

35＝5×7

30和35的最大公因数是5；

答：小朋友最多有5人。

考查了公因数和最大公因数在实际生活中的运用。掌握两个数最大公因数的求法是关键。

16．15分钟；甲走15圈；乙走10圈；丙走12圈

【分析】由题意可知，经过的分钟数应该是三人所用时间的最小公倍数，再根据总时间除以走一周用的时间即可得到各走的周数。再根据据此解答即可。

【详解】1分钟＝60秒

1分30秒＝90秒

1分15秒＝75秒

60＝2×2×3×5

90＝2×3×3×5

75＝3×5×5

60、90、75的最小公倍数是：2×2×3×3×5×5＝900

900秒＝15分钟

甲：900÷60＝15（圈）

乙：900÷90＝10（圈）

丙：900÷75＝12（圈）

答：三人同时从起点出发，经过15分钟又在起点相遇.相遇时甲走了15圈，乙走了10圈，丙走了12圈。

考查了最小公倍数在实际生活中的应用；注意单位的换算和统一。

17．（1）4厘米

（2）7段

【分析】根据题意可知，12和16的最大公因数即为每小段的长度；用两根绳子的长度和÷每小段的长度即为一共可以剪成的段数。

【详解】（1）12＝2×2×3

16＝2×2×2×2

12和16的最小公倍数是2×2＝4。

答：每小段长4厘米。

（2）（12＋16）÷4

＝28÷4

＝7（段）

答：一共可以剪成7段。

此题主要考查求两个数的最大公因数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数。

18．56人

【分析】五（1）班学生去烈士陵园植树，分成8人一组或7人一组都可以，那么这个班的人数是8和7的最小公倍数，据此解答。

【详解】因为8和7是互质数，所以8和7的最小公倍数是8×7＝56，即这个班至少有56人。

答：这个班至少有56人参加植树。

如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。

19．8：30

【分析】根据题意，先找出6和10的最小公倍数，然后用8点加最小公倍数即可解答。

【详解】，6和10的最小公倍数是2×3×5＝30；

8：00＋0：30＝8：30

答：故1路车和2路车至少再到8：30又可以同时发车。

此题主要考查的是学生对最小公倍数的实际应用解题能力。

20．4月25日

【分析】6和8的最小公倍数就是他们相遇两次之间间隔的时间；从4月1日向后推算这个天数即可。

【详解】6＝2×3，8＝2×2×2，

6和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24；

所以他们每相隔24天见一次面；

4月1日再过24天是4月25日。

答：下一次在舞蹈馆相遇是4月25日。

考查了日期和时间的推算，求几个数的最小公倍数的方法。解答本题的关键是找出他们每两次相遇之间相隔的天数。

21．4种；20块

【分析】根据题意，7分米5厘米＝75厘米，6分米＝60厘米，剪成的正方形边长有多少种剪法，就是求75和60的公因数的个数；剪成的正方形最大是多少，就是求75和60的最大公因数，求可以剪成多少个这样的正方形，用这张纸的面积除以正方形的面积，由此解答。

【详解】7分米5厘米＝75厘米，6分米＝60厘米，

75和60的公因数有：1、3、5、15，所以有4种剪法。

75和60的最大公因数是15；

75×60÷（15×15）

＝4500÷225

＝20（块）

答：有4种剪法；如果要使剪得的面积最大，可以剪20块。

本题主要考查求两个数的最大公因数，能根据求最大公因数的方法解决有关的实际问题。

22．8米；6块

【分析】将一个长方形分割成大小相等的正方形，且没有剩余，就是求长方形的长和宽的最大公因数；最大公因数就是可以分割成的正方形的边长，然后再根据面积就可以算出可以分成了几块了。

【详解】24＝2×2×2×3；

16＝2×2×2×2；

24和16的最大公因数是2×2×2＝8；

答：所分割的正方形菜地边长最大是8米。

24×16÷（8×8）

＝384÷64

＝6（块）

答：能分割成6块这样的正方形菜地。

此题是典型的求两个数的最大公因数的应用。求两个数的最大公因数，可以将两个数分别分解质因数，然后将它们公有的因数相乘就是最大公因数。

23．6个；苹果5个，梨7个

【分析】要求最多需要多少个保鲜袋，也就是求30和42的最大公因数，因为两个数的最大公因数是这两个数公有质因数的乘积；进而求出每个塑料袋中有苹果和梨的个数。

【详解】把30和42分解质因数：

30＝2×3×5

42＝2×3×7

30和42的最大公因数是2×3＝6；

每个袋子中苹果有：30÷6＝5（个）

梨有：42÷6＝7（个）

答：爸爸最多需要6个保鲜袋；每个保鲜袋中有苹果5个，梨7个。

此题属于最大公因数问题，根据求两个数的最大公因数的方法解决问题。

24．4米；11根

【分析】依题意根据最大公因数的意义进行解题：要把两根长度分别是24米和20米的木料锯成同样长短的木料没有剩余，说明每段木料最长的长度是24和20的最大公因数，然后再求出一共可以锯成的根数即可。

【详解】，24和20的最大公因数是4；

答：每根短木料最长是4米。

6＋5＝11（根）

答：一共可以锯成11根。

仔细读题，认真分析，弄清题中的数量关系，熟练掌握最大公因数的意义和求法，并且能够根据最大公因数的意义和求法解决实际问题。

25．五（2）班，五（3）班可以；五（1）班、五（4）班不可以，因为47和43是质数，48和49是合数。

【分析】根据质数和合数的特点，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数，如果班级人数是质数，因数只有1和它本身，不可以平均分成人数相同的小组；如果班级人数是合数，则可平均分成人数相同的小组。

【详解】班级人数是质数的有47、43；班级人数是合数的有：48、49。

答：五（2）班，五（3）班可以平均分成人数相同的小组，五（1）班、五（4）班不可以，因为47和43是质数，48和49是合数。

本题考查了质数和合数，质数和合数是根据因数的个数进行分类的。