2023届甘肃省武威市高三下学期第一次联考（月考）数学（理）试题含答案

2023届甘肃省武威市高三下学期第一次联考

数学（理科）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．设复数在复平面内对应的点的坐标为，则（    ）

A． B． C． D．

3．在中，，，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4．某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（    ）

A．计算 B．计算

C．计算 D．计算

5．若，则（    ）

A． B． C． D．

6．若，满足约束条件则下列目标函数中最大值为0的是（    ）

A． B． C． D．

7．在正四棱柱中，是的中点，，，则与平面所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

8．随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机．某新能源汽车加工厂生产某款新能源汽车每年需要固定投入100万元，此外每生产辆该汽车另需增加投资万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年产量不低于400辆时，，该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为（    ）

A．1500万元 B．2100万元 C．2200万元 D．3800万元

9．将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的（），纵坐标不变，得到函数的图象，若在上恰有2个零点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

10．已知正三角形的边长为6， ，，且，则点到直线距离的最大值为（    ）

A． B．3 C． D．

11．已知是离心率为2的双曲线：（）的右支上一点，则到直线0的距离与到点的距离之和的最小值为（    ）

A． B． C． D．

12．若函数有两个极值点，，且，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13．已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为，，该圆台的体积为，则该圆台的高为______．

14．将8个人分成三组，其中一组由2人组成，另外两组都由3人组成，则不同的分组方法种数为______．

15．定义在上的奇函数满足，当时，，则______．

16．为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点为，，，，若，则到轴的距离为______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

设等比数列的前项和为，已知，且．

（1）求的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，证明：当时，．

18．（12分）

为了丰富大学生的课外生活，某高校团委组织了有奖猜谜知识竞赛，共有500名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将其整理后分成4组，各组区间为，，，，并画出如图所示的频率分布直方图．

（1）估计所有参赛学生的平均成绩（各组的数据以该组区间的中间值作代表）；

（2）若团委决定对所有参赛学生中成绩排在前50名的学生进行表彰，估计获得表彰的学生的最低分数线；

（3）以这100名学生成绩不低于80分的频率为概率，从参赛的500名学生中随机选20名，其中参赛学生成绩不低于80分的人数记为，求的方差．

19．（12分）

如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，，，，是棱的中点．

（1）证明：平面．

（2）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值的最大值．

20．（12分）

已知直线与抛物线：（）交于，两点，且．

（1）求的方程．

（2）若直线（）与交于，两点，点与点关于轴对称，试问直线是否过定点?若过定点，求定点的坐标；若不过定点，说明理由．

21．（12分）

已知函数．

（1）求在上的极值；

（2）若，，求的最小值．

（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）过曲线上任意一点作与直线的夹角为45°的直线，且与交于点，求的最小值．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）设函数的最大值为，若正数，满足，求的最小值．

2023届甘肃省武威市高三下学期第一次联考

数学参考答案（理科）

1．B 

2．D

3．B 

4．A

5．C 

6．B 

7．A

8．C 

9．B

11．A 

12．A 

13．3

14．280 

15．

16．

17．（1）解：设数列的公比为，因为，所以．

又，所以，所以，解得．

故．

（2）证明：由（1）知，

所以．

易知在上单调递增，

当时，，即．

18．解：（1）由，得．

这100名参赛学生的平均成绩约为分，故估计所有参赛学生的平均成绩为82分．

（2）获得表彰的学生人数的频率为，

设获得表彰的学生的最低分数线为，

由分数在区间的频率为，可知，

由，得，

故估计获得表彰的学生的最低分数线为95分．

（3）这100名学生成绩不低于80分的频率为，则，

故．

19．（1）证明：连接．

因为，且，所以．

因为，所以．

因为是棱的中点，所以．

因为，，平面，且，

所以平面．

因为平面，所以．

由题意可得，则，故．

因为，平面，且，所以平面．

因为平面，所以．

因为，，所以，所以．

因为，平面，且，所以平面．

（2）解：以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，，，从而，，，．

因为，所以，所以．

设平面的法向量为，则

令，得．

平面的一个法向量为，

设平面与平面所成的锐二面角为，

则．

因为，所以．

20．解：（1）将代入，得，

则，，

则，解得，

故的方程为．

（2）设，，则，

联立方程组整理得，，

则，所以，

因此直线的方程为，

整理得，即，

当时，，故直线过定点．

21．解：（1），令，得，

在上，，单调递减，

在上，，单调递增，

所以当时，取得极小值，无极大值．

（2）由题知，设，

则，．

令，则，

设，则，

当时，，即单调递增，当时，，即单调递减，所以在处取得极大值，且极大值为．

①若，即，

此时，则即单调递减，

又，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，可知在处取得极大值，且极大值为，

所以，则当时，符合条件．

②若，即，此时，

所以存在，使在区间上，，故即单调递增，

又，则在区间上，，

所以在区间上，单调递减，则，不满足条件．

综上所述，的最小值为．

22．解：（1）由，消去参数，得到曲线的普通方程为．

由得直线的直角坐标方程为．

（2）设，则点到的距离．

因为过点的直线与的夹角为45°，所以，故的最小值为．

23．解：（1）当时，不等式转化为，解得．

当时，不等式转化为，解得．

当时，不等式转化为，解得．

综上所述，不等式的解集为．

（2），所以，

则，

当且仅当，时，等号成立，故的最小值为．