2023届江西省重点中学协作体高三下学期第一次联考（月考）数学（文）试题含解析

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2023届江西省重点中学协作体高三下学期第一次联考数学（文）试题一、单选题1．设集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得，，根据集合的交集运算解决即可.【详解】由题知，，在中，，解得，所以，在中，，解得，所以，所以.故选：B2．已知复数z满足，则z的虚部是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数模的定义，结合复数加法、共轭复数的定义、虚部定义进行求解即可.【详解】设，由，由，故选：D3．已知实数x，y满足，则的最大值是（    ）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据线性规划的应用作出不等式组对应的平面，分析可得答案.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：令，则，则为与不等式组对应的平面区域相交的，斜率为1的直线的截距，如图中虚线上下平移，则与重合时最大，即最大，最大值为1，故选：B.4．已知，且，则“”是“”成立的（    ）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】D【分析】利用特例法，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.【详解】若，显然满足，，但不满足，当，显然满足，，但不满足，所以“”是“”成立的既不充分也不必要条件，故选：D5．如图，平行四边形中，M为中点，与相交于点P，若，则（    ）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】由题可得，进而可得，结合条件即得.【详解】因为平行四边形中，M为中点，与相交于点P，所以，所以，又， 所以，.故选：B.6．（    ）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】结合诱导公式和三角恒等变换公式即可求解.【详解】因为所以故选：C.7．若，则称为A的一组四平方和分解（该分解与a，b，c，d的顺序无关），为该分解因素和，例如，或，称和是2的同一组四平方和分解，，则从36的四平方和分解中任取一组分解，则因素和为10的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】列举出36的所有四平方和分解，然后利用古典概型的概率计算公式计算即可.【详解】，四种情形下，因素和分别为，所以因素和为10的概率是，故选：D8．已知抛物线，F为抛物线焦点，P为抛物线上一点，M为x轴上一点，若为等边三角形，则（    ）A． B．或 C． D．或【答案】D【分析】不妨设点，根据抛物线的定义得出等边三角形的长度，并写出点的坐标，利用所在直线的斜率即可求出等边三角形的边长，进而求解即可.【详解】不妨设点，由抛物线的定义可知：，所以等边的边长为，若点在焦点的右侧，如下图，由题意可知：点，则，所以，则的边长为所以的面积为；若点在焦点的左侧，如下图，由题意可知：点，则，所以，则的边长为所以的面积为；综上所述：的面积为或，故选：.9．已知函数，满是，有，且在单调递减，则下列说法正确的是（    ）A． B．图像向右平移个单位后关于y轴对称C． D．在单调递增【答案】D【分析】根据最大值的定义，结合正弦型函数的单调性、图象变换性质逐一判断即可.【详解】因为，所以是该函数的最大值，由，可知是该函数的一个零点，又因为在单调递减，所以函数的周期为，因为，所以，即，显然选项A不正确；由，可得，因为，所以令，得，即.图像向右平移个单位后得到的函数为，因为，所以不是偶函数，因此选项B不正确；，因此选项C不正确；由，所以由正弦函数性质可得在单调递增，因此选项D正确，故选：D10．执行如图的程序框图，输出的i是（    ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】依据题意，模拟程序框图的运行过程，计算当时的值并输出.【详解】第一步：；第二步：；第三步：；第四步：；第五步：，则输出.故选：B11．已知实数，则下列选项正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】关键在于构造函数判断函数值的大小关系，令，则即可得到在区间单调递减，即可得到，从而可比较的大小关系；令，则，即可得到在单调递减，在单调递增，即可得到，从而可比较的大小关系，即可求解.【详解】令，当时，，即在区间单调递减，∴令∴在单调递减，在单调递增．恒成立，．∴故选：A.【点睛】本题考查构造函数判断函数值的大小关系，属于难题，需要在函数值比较之间建立起函数构造来求解.12．已知三棱锥满足：，二面角为，且M为棱上一点，，O为三棱锥外接球的球心，则直线与直线夹角的正弦值是（    ）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根据等边三角形的性质，结合二面角的定义，通过建立坐标系进行求解即可.【详解】∵，∴与均为等边三角形．取的中点记为N，则，是二面角的平面角，二面角即，且．设P为的外心，Q为的外心，外接球球心O与P，Q，，C五点共面，建立如图坐标系，可得，∴．，∵，∴，∴平行与x轴，∴与的夹角．∴．故选：A【点睛】关键点睛：运用坐标法，结合正三角形的性质进行求解是解题的关键,二、填空题13．已知函数，则在处的切线方程是__________．【答案】【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由直线方程点斜式得到答案.【详解】由，得，，又，在处的切线方程为，即.故答案为：.14．已知双曲线的渐近线方程为，且点在上，则双曲线的方程为__________．【答案】【分析】由题知双曲线中，设双曲线的方程为，因为点在上，代点求解即可；【详解】由题知，双曲线的一条渐近线方程为，即，设双曲线的方程为，因为点在上，所以，即，所以，即，所以双曲线的方程为，故答案为：15．已知数列满足：，则__________．【答案】【分析】分析可知当为正奇数时，，利用分组求和法结合等比数列的求和公式可求得的值.【详解】由已知可得，当为正奇数时，，即，所以，.故答案为：.16．已知三角形中，，D是边上一点，且满足，则的最大值是__________．【答案】【分析】根据题意，得到，则有，再由余弦的定理，得到，进而得到，利用判别式法或者换元法，进行化简和计算，可得答案.【详解】∵，．由余弦定理得，则，方法一：判别式法：令，有解，，解得．∴方法二：换元法．令上式令，则有，，∴故答案为：三、解答题17．2022年11月江西省第十六届运动会在江西省九江市举行，本届省运会为全省人民呈现了一场精彩纷呈、令人难忘的“视听盛宴”和“文体大餐”，也极大地激发了九江市民运动的热情．为了更好的宣传省运会，九江市某高校决定举办主题为“圆梦浔阳城拼搏向未来”的体育知识竞赛活动，现从参加体育知识竞赛活动的学生中随机抽取了200名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分），分为6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求a的值；(2)在抽取的200名学生中，规定比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为比赛成绩是否优秀与性别有关？附：（其中）【答案】(1)(2)表格见解析，有99.9%的把握【分析】（1）由频率分布直方图各小矩形面积之和为1列式即可求解的值.（2）结合题意和频率分布直方图即可完成列联表，进而结合公式计算，即可判断是否有99.9%的把握认为比赛成绩是否优秀与性别有关.【详解】（1）由频率分布直方图各小矩形面积之和为1可知：，解得：（2）低于80分的频率为：，所以非优秀的人数为：人，据此可知列联表如下所以所以有99.9%的把握认为比赛成绩是否优秀与性别有关．18．已知等差数列，正项等比数列满足：，(1)求数列与的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列以及等比数列的通项公式列出方程组，求得等差数列的公差和等比数列的公比，即可求得答案；（2）利用（1）的结论，求得的表达式，结合裂项求和法，即可求得答案.【详解】（1）依题意可得是等差数列，是正项等比数列，设等差数列的公差为d,等比数列的公比为，则，消去d可得：，解得或，因为，所以，可得，所以.（2）由（1）可知，所以.19．如图，直四棱柱中，底面为菱形，P为的中点，M为的中点，(1)求证：平面；(2)若，求M到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）方法一：取的中点N，连接，先证明四边形为平行四边形，得，再证明平面平面，利用面面平行的性质即可证明；方法二：连接，交于点O，连接，证明四边形为平行四边形，得，再利用线面平行的判定定理即可证明.（2）利用等体积法即可求解.【详解】（1）方法一：取的中点N，连接，因为M为的中点，所以，而，所以，又,所以平面，又因为P为中点，所以，则四边形为平行四边形，则，又所以平面，且，所以平面平面，则平面．方法二：连接，交于点O，连接，因为M为中点，所以，又因为，所以，所以四边形为平行四边形，则，又,平面所以平面（2）由（1）可知，M到平面的距离等于到平面的距离，设为h，因为，所以，而，所以20．已知函数（且）(1)讨论函数的单调性；(2)若有两个零点，求a的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求出，分、、、讨论可得答案；（2）分、、、讨论，结合单调性和零点情况可得答案．【详解】（1）因为，当时，时，所以在单调递减；时，，所以在单调递增；当时，时，，所以在和单调递增，时，在单调递减；当时，，所以在单调递增；当时，，所以在和上单调递增，时，在单调递减；（2）当时，由（1）可知是唯一的极小值点，且，，所以在有唯一零点；，所以在上有唯一零点，符合题意；当时，由（1）可知为极大值点，且，所以不符题意；当时，在单调，不符题意；当时，由（1）可知，为函数极大值点，且，不符题意．综上所述，.【点睛】方法点睛：函数有零点（方程有根）求参数取值范围的三种常用的方法：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法（参数和自变量全分离）：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法（参数和自变量半分离）：把原函数拆解为两个部分（拆解为熟悉的函数类型，一边含参数，一边不含参数，含参的往往为一次函数、指数函数、对数函数等单调的函数，含参部分一定要搞清参数对函数图象的影响），在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，分析参数对函数图象的控制来满足题目的要求，进而得出参数的范围.21．已知椭圆，离心率，P为椭圆上一点，分别为椭圆的左、右焦点，若的周长为，(1)求椭圆E的方程；(2)若，M，N为椭圆上不同的两点，且，证明椭圆上存在定点Q使得四边形为平行四边形．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）的周长为，结合离心率求出，即可求出，写出椭圆方程；（2）设，因为过点，可写出直线的方程，设而要求法解出点，同理求出点，利用、两点坐标求出所在直线过原点，根据对称性求出点坐标.【详解】（1）因为，所以，依题意，所以，联立解得，所以椭圆E方程为（2）当直线斜率存在时，设方程为，则直线的方程为，设点，联立方程，可得：，则，即，所以，同理，所以，即为方程的两个根，方程可化为，所以，所以，当直线斜率不存在时，方程与椭圆相交于，此时，所以直线过原点，若四边形为平行四边形，则取对称点时成立.22．有一种灯泡截面类似“梨形”曲线，如图所示，它是由圆弧、圆弧和线段四部分组成，在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已知，弧、弧所在圆的圆心分别是、，曲线是弧，曲线是弧．(1)分别写出的极坐标方程；(2)直线的参数方程为（为参数），若与曲线有且仅有两个公共点，求的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用圆的极坐标方程的求法求解；（2）直线恒过定点，且斜率为，点的直角坐标，得，根据数形结合解决即可.【详解】（1）由题意知，弧、弧所在的圆的直角坐标方程分别为，所以弧、弧所在的圆的极坐标方程分别为，，所以；（2）依题意直线恒过定点，且斜率为．因为平面直角标系下，所以．因为直线与曲线有且仅有两个公共点，由图知，所以，即，所以的取值范围为.23．已知函数，(1)求的最小值m；(2)若a，b为正实数，且，证明：【答案】(1)4(2)证明见解析【分析】（1）分类讨论把转化为分段函数，结合对应函数的性质即可求解最值.（2）由（1）知，，结合，即可得到的最值，进而得证.【详解】（1）因为，当时，，当时，，当时，，所以的最小值是4，即．（2）由（1）知，，因为，所以，所以当且仅当时，等号成立．        成绩性别优秀非优秀总计男生80女生100总计2000.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828            成绩性别优秀非优秀总计男生2080100女生5050100总计70130200