2023届广东省惠州市高三下学期第三次调研（月考）数学试题含答案

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惠州市2023届高三第三次调研考试试题数学全卷满分150分，时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。1．已知集合，，且，则实数（ ）A． B．1 C．或1 D．02．数列为等差数列，、是方程的两个根，则的前2022项和为（ ）A．1011 B．2022 C．4044 D．80883．“”是“方程表示双曲线”的（ ）条件A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知实数，则下列结论一定正确的是（ ）A． B． C． D．5．已知互不重合的三个平面α、β、γ，其中，，，且，则下列结论一定成立的是（ ）A．b与c是异面直线 B．a与c没有公共点C． D．6．若函数（且）在上为减函数，则函数的图象可以是（ ）A． B． C． D．7．在“2，3，5，7，11，13”这6个素数中，任取2个不同的数，这两数之和仍为素数的概率是（ ）A． B． C． D．8．已知，且恒成立，则的最小值为（ ）A．1 B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。9．已知复数，则下列选项正确的是（ ）A．z的虚部为1 B．C．为纯虚数 D．在复平面内对应的点位于第一象限10．在全市高三年级举行的一次数学达标测试中，共有20000人参加考试。为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n．按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示，其中成绩落在区间内的人数为16．则下列结论正确的是（ ）A．样本容量 B．频率分布直方图中C．估计该市全体学生成绩的平均分约为70.6分D．该市要对成绩由高到低前20%的学生授予“优秀学生”称号，则成绩为78分的学生肯定能得到此称号11．已知函数，，则下列结论正确的是（ ）A．函数在上单调递增 B．存在，使得函数为奇函数C．任意， D．函数有且仅有2个零点12．画法几何的创始人—法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：若椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，点A在椭圆上，直线，则下列结论正确的是（ ）A．直线l与蒙日圆相切B．椭圆C的蒙日圆的方程为C．记点A到直线l的距离为d，则的最小值为D．若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH的面积的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一个空2分，第二个空3分。13．已知平面向量，，若与垂直，则实数__________．14．在平面直角坐标系xOy中，角的终边经过点，则__________．15．在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为__________．16．用数学的眼光看世界就能发现数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为．则曲线在处的曲率为__________；正弦曲线曲率的平方的最大值为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）数列中，，．（1）求证：数列是等比数列；（2）若，求数列的前n项和．18．（本小题满分12分）条件①， 条件②，条件③．请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且满足________，（1）求A；（2）若AD是的角平分线，且，求的最小值．（注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．（1）证明：平面平面PBC；（2）若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为，求点P到平面AEF的距离．20．（本小题满分12分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山，为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：并计算得，，．（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数，．21．（本小题满分12分）已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数恒成立，求实数a的取值范围．22．（本小题满分12分）已知椭圆的右焦点为F，点在椭圆上且．（1）求椭圆C的方程；（2）点P、Q分别在椭圆C和直线上，，M为AP的中点，若T为直线OM与直线QF的交点．是否存在一个确定的曲线，使得T始终在该曲线上？若存在，求出该曲线的轨迹方程；若不存在，请说明理由．惠州市2023届高三第三次调研考试数学试题参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一个空2分，第二空3分。13．2； 14．1； 15．； 16．（2分），1（3分）四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分，其中第一小问4分，第二小问6分）【解析】（1）因为，所以，且 1分得 2分又 3分所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列 4分【注：无首项和公比的说明，本得分点不得分】（2）由（1）可知， 1分所以 2分又由题知所以 3分 5分【注：等差等比求和公式各1分】∴ 6分18．（本小题满分12分，其中第一小问6分，第二小问6分）【解析】（1）选②因为，由正弦定理所以 1分即， 2分由余弦定理 3分 4分因为， 5分【注：无此步骤，本得分点不得分】所以 6分选③因为，正弦定理且所以， 1分即 3分而，∴，cos≠0，．分【注：无此步骤，本得分点不得分】所以 5分因为，所以，即 6分选①因为，由正弦定理所以， 1分即， 2分所以， 3分而，∴， 4分故， 5分因为，所以 6分【备注：从3个条件的思维量及计算步骤数综合分析，从易到难排序为②<③<①】（2）【解法一】如图，过D分别作，由题意可知和都是边长为1的正三角形． 1分由得 2分所以，即同理，，所以由得，即 3分因此 4分， 5分当且仅当时取等号6分【注：无此步骤，本得分点不得分】所以的最小值为．【解法二】由题意可知，， 1分由角平分线性质和三角形面积公式得， 2分【注：面积公式正确可得1分】化简得，即， 3分因此 4分， 5分当且仅当时取等号 6分【注：无此步骤，本得分点不得分】所以的最小值为．19．（本小题满分12分，其中第一小问6分，第二小问6分）【解析】（1）【解法一】因为底面ABCD，平面ABCD，所以． 1分因为ABCD为正方形，所以，又因为，平面PAB，平面PAB【见注1】所以平面PAB． 2分因为平面PAB，所以． 3分因为，E为线段PB的中点，所以， 4分又因为，平面PBC，平面PBC【见注1】所以平面PBC． 5分又因为平面AEF，所以平面平面PBC． 6分【注1：证明线面垂直过程中，无写出三个辅助条件，扣1分】【解法二】因为底面ABCD，平面PAB，所以平面底面ABCD 1分又平面底面，，平面ABCD，【见注1】所以平面PAB． 2分因为平面PAB，所以． 3分因为，E为线段PB的中点，所以． 4分因为，平面PBC，平面PBC【见注1】所以平面PBC 5分又因为平面AEF，所以平面平面PBC 6分【解法三】因为底面ABCD，，以A为坐标原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz， 1分则，设，则所以，，， 2分设为平面AEF的法向量，则所以取，则，，则 3分设为平面PBC的法向量，则所以取，则， ，则 4分因为，所以 5分所以平面平面PBC 6分（2）【解法一】（基于（1）解法一、二）因为底面ABCD，，以A为坐标原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz， 1分则，易知是平面PAB的法向量 2分设，则，所以，，所以即，，得，所以， 3分设为平面AEF的法向量，则所以平面AEF的法向量， 4分又因为所以点P到平面AEF的距离为， 5分所以点P到平面AEF的距离为． 6分由（1）可知，是直线AF与平面PAB所成的角，所以 1分解得，故F是BC的中点． 2分所以，，的面积为 3分因为，的面积为 4分设点P到平面AEF的距离为h，则有 5分解得所以点P到平面AEF的距离为． 6分【解法三】（基于（1）解法三）易知是平面PAB的法向量 1分所以，即，解得 2分所以， 4分又因为所以点P到平面AEF的距离为， 5分所以点P到平面AEF的距离为． 6分20．（本小题满分12分，其中第一小问3分，第二小问5分，第三小问4分）【解析】（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值 1分样本中10棵这种树木的材积量的平均值 2分据此可估计：该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为 3分【注：最终结果无单位扣1分】（2） 1分 2分 3分 4分则 5分【备注：运用参考公式计算过程可通过下面的列表进行分步】：【备注：运用变形公式计算过程可通过下面的列表进行分步】：（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为 1分又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得 2分解得 3分则估计该林区这种树木的总材积量为 4分21．（本小题满分12分，其中第一小问4分，第二小问8分）【解析】（1）函数的定义域是 1分当时， 2分令得，所以函数在上单递递增； 3分令得，所以函数在上单调递减． 4分所以函数的单调递增区间为，单调递区间为．（2）【解法一】恒成立等价于恒成立， 1分令，因为恒成立，所以在上单调递增，所以，即， 2分所以恒成立，等价于恒成立令，问题等价于恒成立 3分①若时，恒成立，满足题意； 4分②若时，则，所以，不满足题意； 5分③若时，因为，令，得，，，单调递减，，，单调递增，所以在处取得最小值， 6分要使得，恒成立，只需，解得 7分综上： 8分【解法二】恒成立，等价于， 1分令 2分①若时，，所以在上单调递增，，即，满足， 3分②若时，则， ，所以在上单调递增，当x趋近于0*时，趋近于负无穷，不成立，故不满足题意． 4分③若时，令，∴，令，因为在上单调递增，且当时，，当时，，所以，，， 5分，，单调递减，，，单调递增，只需即可，∴，∴， 6分令，，∴在上单调递增，，∴时，，，，所以在上单调递增，∴，即， 7分综上： 8分22．（本小题满分12分，其中第一小问4分，第二小问8分）【解析】（1）因为椭圆C过点，所以， 1分因为，所以，得． 2分故，从而椭圆C的方程为． 4分（2）【解法一】设，则直线AP的斜率为 1分因为，所以直线OQ的方程为，令可得，所以， 2分又M是AP的中点，所以， 3分从而，所以① 5分因为点P在椭圆C上，所以，故， 6分代入式①可得，从而， 7分所以，点T始终在以OF为直径的圆上，且该圆方程为 8分【解法二】由直线AP不与y轴垂直，故可设其方程为 1分联立消去x整理得：，解得：或，所以， 2分从而，故 3分因为M是线段AP的中点，所以 4分因为，所以直线OQ的方程为，联立解得：，所以， 5分故，从而， 6分从而， 7分所以，点T始终在以OF为直径的圆上，且该圆方程为 8分样本号i12345678910总和根部横截面积0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9题号12345678答案ACBADCAD题号9101112答案ACBCABCAC12345678910合计平均值0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.60.060.250.40.220.540.510.340.360.460.420.43.90.3900.020.02 0.010.0100.010.150.12  0.070.030.010.002800.00340.0030.00240.00050.00030.00070.000300.0134分子0.000400.00040.00040.00040.00010.00010.00010.000100.0020.01960.00010.02890.02250.01440.00250.00090.00490.00090.00010.09480.0001896分母的平方12345678910合计平均值0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.60.030.250.40.220.540.510.340.360.460.420.43.90.390.010.0240.00880.04320.04080.0170.0180.03220.02940.0240.2474部分分子0.00160.00360.00160.00640.00640.00250.00250.00490.00490.00360.038部分分母0.06250.160.04840.29160.26010.11560.12960.21160.17640.161.6158部分分母