初中数学北师大版八年级上册2 平方根复习练习题

平方根和开平方（提高）

【学习目标】

1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．

2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．

【要点梳理】

要点一、平方根和算术平方根的概念

1.平方根的定义

如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方. 叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算.

2.算术平方根的定义

正数的两个平方根可以用“”表示，其中表示的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号”；表示的负平方根，读作“负根号”.

要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.

要点二、平方根和算术平方根的区别与联系

1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和

2．联系：（1）平方根包含算术平方根；

（2）被开方数都是非负数；

        （3）0的平方根和算术平方根均为0．

要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．

（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.

要点三、平方根的性质

要点四、平方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.

【典型例题】

类型一、平方根和算术平方根的概念

1、（2020•饶平县期末）已知x-1的平方根为±2，3x+y-1的平方根为±4，求，3x+5y的算术平方根．

【思路点拨】根据平方根的平方等于被开方数即可求解．

【答案与解析】

解：由x-1的平方根为±2，得x-1=4，x=5

由3x+y-1的平方根为±4，得3x+y-1=16，

∵x=5

∴3×5+y-1=16，

解得y＝2，

∴3x+5y=25

25的算是平方根为5.

【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的那个叫做这个数的算术平方根．

举一反三：

【变式】已知2－1与－＋2是的平方根，求的值.

【答案】2－1与－＋2是的平方根，所以2－1与－＋2相等或互为相反数.

解：①当2－1＝－＋2时，＝1，所以＝

②当2－1＋（－＋2）＝0时，＝－1，所以

2、为何值时，下列各式有意义？

(1)；  (2)；  (3)；  (4)．

【答案与解析】

解：(1)因为，所以当取任何值时，都有意义．

(2)由题意可知：，所以时，有意义．

(3)由题意可知：解得：．所以时有意义．

(4)由题意可知：，解得且．

所以当且时有意义．

【总结升华】方法总结：(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．

举一反三：

【变式】已知，求的算术平方根．

【答案】

解：根据题意，得则，所以＝2，∴，

∴的算术平方根为．

类型二、平方根的运算

3、求下列各式的值．

(1)；(2)．

【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.

【答案与解析】

解：(1)；

(2)．

【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据来解．

类型三、利用平方根解方程

4、求下列各式中的.

（1）              （2）；

（3）

【答案与解析】

解：（1）∵

        ∴

        ∴

（2）∵

    ∴

    ∴＋1＝±17

   ＝16或＝－18.

 （3）∵

     ∴

     ∴

     ∴

【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.

举一反三：

【变式】（2020春•乌兰察布校级期中）求x的值：（x﹣2）2=4．

【答案】解：∵，

∴（x﹣2）2=36，

∴x﹣2=6或x﹣2=﹣6，

解得：x1=8，x2=﹣4．

类型四、平方根的综合应用

5、（2020秋•沙坪坝区校级期末）若x，y为实数，且满足．求的值．

【答案与解析】

解：∵+|y﹣|=0，

∴x=，y=，

则原式==1．

【总结升华】本题是非负数的性质与算术平方根的综合题，先由非负性解出x，y，然后代入求值即可.

举一反三：

【变式】若，求的值．

【答案】

解：由，得，，即，．

①当＝1，＝－1时，．

②当＝－1，＝－1时，．

6、小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 的长方形纸片，使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.

【答案与解析】

解：设长方形纸片的长为3 (＞0) ，则宽为2，依题意得

      .     

       .

       .

∵ ＞0，

    ∴ .        

    ∴ 长方形纸片的长为.

    ∵ 50＞49,

∴.

    ∴ , 即长方形纸片的长大于20.

      由正方形纸片的面积为400 , 可知其边长为20,

    ∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.

答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片. 

【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20的正方形纸片裁出长方形纸片.