北师大版数学八年级上册二元一次方程组的相关概念(提高)知识讲解 (含答案)
展开二元一次方程（组）的相关概念（提高）知识讲解
【学习目标】
1.理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的含义；
2.会检验一组数是不是某个二元一次方程（组）的解.
【要点梳理】
要点一、二元一次方程
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1．像这样的方程叫做二元一次方程．
要点诠释：二元一次方程满足的三个条件：
（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
要点二、二元一次方程的解
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解．
要点诠释：
(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来如：
(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．
要点三、二元一次方程组
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
要点诠释：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数.例如 也是二元一次方程组.
要点四、二元一次方程组的解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
要点诠释：
（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式．
(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个．
【典型例题】
类型一、二元一次方程
1．已知方程（m﹣2）xn﹣1+2y|m﹣1|=m是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值．
【思路点拨】根据二元一次方程的定义作答．
【答案与解析】
解：∵（m﹣2）xn﹣1+2y|m﹣1|=m是关于x、y的二元一次方程，
∴n﹣1=1，|m﹣1|=1，
解得：n=2，m=0或2，
若m=2，方程为2y=2，不合题意，舍去，
则m=0，n=2．
【总结升华】二元一次方程和二元一次方程组中系数的求解，要同时考虑两个未知数的系数与次数，不管方程的形式如何变化，必须满足含有两个未知数，含未知数的项的次数是一次且方程左右两边都是整式这三个条件．
举一反三：
【变式1】已知方程是二元一次方程，则m= ，n= .
【答案】-2，
【变式2】方程，当时，它是一元一次方程．
【答案】；
类型二、二元一次方程的解
2.（2020春•新华区期中）已知是方程2x﹣6my+8=0的一组解，求m的值．
【思路点拨】把方程的解代入方程可得到关于m的方程，可求得m的值．
【答案与解析】
解：∵是方程2x﹣6my+8=0的一组解，
∴2×2﹣6m×（﹣1）+8=0，
解得m=﹣2．
【总结升华】本题主要考查二元一次方程解的定义，掌握方程的解满足方程是解题的关键．
举一反三：
【变式】已知方程2x-y+m-3=0的一个解是，求m的值.
【答案】
解：将代入方程2x-y+m-3=0得，解得.
答：m的值为3.
3.写出二元一次方程的所有正整数解.
【思路点拨】可以把二元一次方程中的一个未知数看成已知数，先解关于另一个未知数的一元一次方程，当两个未知数的取值均为正整数才是方程的解，写时注意按一定规律写，做到不重、不漏.
【答案与解析】
解：由原方程得，因为都是正整数，
所以当时，.
所以方程的所有正整数解为：， ， ， .
【总结升华】对题意理解，要注意两点：①要正确；②不重、不漏. 两个未知数的取值均为正整数才是符合题意的解.
举一反三：
【变式1】（2020春•孟津县期中）已知是关于x、y的二元一次方程ax﹣（2a﹣3）y=7的解，求a的值．
【答案】
解：把代入方程ax﹣（2a﹣3）y=7，可得：
2a+3（2a﹣3）=7，
解得：a=2．
【变式2】在方程中，若分别取2、、0、－1、－4，求相应的的值.
【答案】将变形得.
把已知值依次代入方程的右边，计算相应值，如下表：
2 | 0 | －1 | －4 | ||
－2 | 2 | 6 |
类型三、二元一次方程组及解
4.甲、乙两人共同解方程组 由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为．乙看错了方程②中的b．得到方程组的解为．试计算：的值．
【思路点拨】把x、y的值代入正确的方程，就可以求出字母的值．
【答案与解析】
解：把代入②，得-12+b＝-2，所以b＝10．
把代入①，得5a+20＝15，所以a＝-1，
所以．
【总结升华】一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，利用方程解的定义可以求出方程中其他字母的值，所以在今后的学习中要会灵活运用它．
举一反三：
【变式】已知关于的二元一次方程组 ，求．
【答案】
解：将代入原方程组得： ，解得 ， 所以．
