2.3.1函数的周期性与对称性（题型战法）-备战高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

第二章 函数

2.3.1函数的周期性与对称性（题型战法）

知识梳理

一 函数的周期性

函数满足定义域内的任一实数(其中为常数)

(1)，则是以为周期的周期函数；

(2), 则是以为周期的周期函数；

  (3)，则是以为周期的周期函数；

(4)，则是以为周期的周期函数； 

二 函数的对称性

轴对称：若‎         则f(x)关于对称.

中心对称：若  则f(x)关于(，m) 对称.

三 由对称性推周期性

(1) 函数满足（），

①若为奇函数，则函数周期为，②若为偶函数，则函数周期为.

(2) 函数的图象关于直线和都对称，则函数是以

为最小正周期的周期函数；

(3) 函数的图象关于两点,都对称，则函数是以为最小正周期的周期函数；

(4) 函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为最小正周期的周期函数；

题型战法

题型战法一 周期性与对称性的判断

典例1．下列函数是周期函数的有（       ）

①       ②       ③

A．①③ B．②③ C．①② D．①②③

【答案】C

【解析】

【分析】

根据三角函数和二次函数的性质可得.

【详解】

易得和是周期函数，不是周期函数.

故选：C.

变式1-1．下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

直接利用函数性质判断即可.

【详解】

选项A中不是周期函数,故排除A;

选项B,D中的函数均为奇函数,故排除B,D;

故选:C.

【点睛】

本题考查基本初等函数的周期性和奇偶性,属于基础题.

变式1-2．函数与的图象（       ）

A．关于轴对称 B．关于轴对称

C．关于原点对称 D．关于直线对称

【答案】B

【解析】

【分析】

设点在函数图象上，证明关于轴对称的点在函数的图象上.

【详解】

解：设点在函数图象上，则，

则关于轴对称的点满足，

所以点在函数的图象上.

故选：B

变式1-3．函数的图像（       ）

A．关于直线对称 B．关于轴对称

C．关于原点对称 D．关于轴对称

【答案】B

【解析】

【分析】

利用分离常数法化简函数式，可知函数为偶函数，进而判断对称性.

【详解】

解：因为，

易知为偶函数，

所以函数的图象关于轴对称.

故选：B.

变式1-4．函数的图象关于（       ）对称.

A．直线 B．原点 C．轴 D．轴

【答案】B

【解析】

根据函数的奇偶性判断.

【详解】

因为函数的定义域为，关于原点对称，

又，

所以是奇函数，图象关于原点对称，

故选：B

题型战法二 由函数周期性求函数值

典例2．已知函数为R上的偶函数，若对于时，都有，且当时，，则等于（       ）

A．1 B．-1 C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知确定函数的周期，利用周期性和奇偶性进行求解.

【详解】

∵为上的偶函数，∴，

又当时，，

∴，

当时，，

∴.

故选：A.

变式2-1．定义在R上的函数满足，当时，，则（     ）

A． B． C．2 D．1

【答案】B

【解析】

【分析】

由可知，函数的周期为2，利用周期性把所给的自变量转化到区间上，代入求值即可.

【详解】

由可知，函数的周期为2，当时，，

∴.

故选：B

变式2-2．已知函数是上的偶函数，若对于，都有.且当时，，则的值为（       ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【解析】

【分析】

由可得函数的周期为2，再结合函数为偶函数可得，然后由已知的解析式可求得答案

【详解】

∵函数是上的偶函数，

∴，

又∵对于都有，

∴，∵当时，，

∴

，

故选：C.

变式2-3．已知定义在上的偶函数，对，有成立，当时，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

求得的周期，结合奇偶性求得的值.

【详解】

依题意对，有成立，

令，则，

所以，故，

所以是周期为的周期函数，

故.

故选：C

变式2-4．已知函数是定义在上的奇函数，（1），且，则的值为（       ）

A．0 B． C．2 D．5

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，分析可得，即函数是周期为8的周期函数，则有，（1），由奇函数的性质求出与（1）的值，相加即可得答案.

【详解】

解：根据题意，函数满足，则有，

即函数是周期为8的周期函数，

函数是定义在上的奇函数，则，

(4)，

(5)（1），

则（1），

故选：B.

【点睛】

本题考查函数的奇偶性与周期性的性质以及应用，注意分析函数的周期性，属于基础题.

题型战法三 由函数对称性求函数值

典例3．如果函数对任意的实数，都有，且当时，，那么函数在上的最大值与最小值之和为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．－1

【答案】C

【解析】

根据，可知：关于对称，根据对称性，要求函数在上的最大值与最小值之和，即求函数在上的最大值与最小值之和，代入即可得解.

【详解】

根据，可知：关于对称，

那么要求函数在上的最大值与最小值之和，

即求函数在上的最大值与最小值之和，

因为递增，所以最小值与最大值分别为：

，，

，

故答案为：C.

【点睛】

本题考查了函数的对称性，考查了转化思想，计算量较小，思路要求较高，属于中档题.

变式3-1．已知，若，则（       ）

A．－14 B．14 C．6 D．10

【答案】A

【解析】

【分析】

先计算，再代入数值得结果.

【详解】

,又，所以

故选A

【点睛】

本题考查函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.

变式3-2．已知函数的图象与指数函数的图象关于轴对称，则实数的值是

A．1 B．2

C．4 D．8

【答案】C

【解析】

【分析】

指数函数关于轴对称的函数为，由此得到与的关系，即可求解出的值.

【详解】

因为两函数的图象关于轴对称，所以与互为倒数，

所以，解得．

故选C.

【点睛】

本题考查指数函数图象对称与底数之间关系，难度较易.关于轴对称的指数函数的底数互为倒数.

变式3-3．设函数的图象关于直线对称，则的值为

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【详解】

试题分析：因为函数的图象关于直线对称，所以点与点，关于直线对称，，故选D.

考点： 函数的图象与性质.

变式3-4．已知函数的图象关于直线对称，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

先由对称性求得，再将代入函数解析式即可求得答案.

【详解】

因为的图象关于直线对称，所以，即，

解得，则．

故选：B

题型战法四 由周期性与对称性求函数解析式

典例4．设是定义在R上的周期为2的偶函数，已知时，，则x∈[-2，0]时，f（x）的解析式为f（x）=（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合时，，可得答案．

【详解】

解：∵是定义在R上的周期为2的偶函数，时，，

∴时，

，，

此时，

时，

，，

此时，

综上可得：时，

故选：C．

【点睛】

本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档．

变式4-1．已知函数满足，当时，有，则当x∈（-3，-2）时，等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

令，则，根据时，f（x）＝2x，可求得f（x+2）的解析式，再根据f（x+2）＝f（x），即可求得f（x）解析式．

【详解】

令，则，

∵当时，有，

∴f（x+2）＝2x+2，

∵f（x+2）＝f（x），

∴f（x+2）＝f（x）＝2x+2，．

故选：C．

【点睛】

本题考查函数解析式的求法，求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等，考查学生的计算能力，属于基础题．

变式4-2．已知是定义在上周期为2的函数，当时，，那么当时（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

利用周期函数的定义求解即可.

【详解】

设,则,

由题意知,,

因为函数是定义在上周期为2的函数,

所以,即.

故选: C

【点睛】

本题考查周期函数的性质;熟练掌握周期函数的定义是求解本题的关键;属于常考题.

变式4-3．若函数与的图象关于直线对称，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

先设出函数图像上任意点的坐标，再求出关于直线对称的点，代入函数的解析式即可求解．

【详解】

解：设函数图像上的点为，关于直线对称的点为，

将点代入函数的解析式可得：，

故，

故选：D．

变式4-4．下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

设所求函数图象上任意一点为，由其关于直线的对称点在函数的图象上可解得结果.

【详解】

设所求函数图象上任意一点为，则其关于直线的对称点在函数的图象上，所以.

故选：B.

题型战法五 由周期性与对称性比较大小

典例5．定义在上的函数满足：成立且在上单调递增，设，，，则，，的大小关系是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由，得到是周期为4的周期函数，得到，，结合在上单调递增，得到，即可求解.

【详解】

由题意，函数满足，即函数是周期为4的周期函数，

则，

又由函数在区间上单调递增，可得，

即，所以.

故选：D.

变式5-1．已知定义域为的函数是奇函数，且，若在区间是减函数，则，，的大小关系是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

根据已知等式判断出函数的周期性，再根据奇函数的性质和单调性进行判断即可.

【详解】

，

由此可知函数的周期为4，函数是奇函数，，所以有：

，

，

因为在区间是减函数，，

所以，即，

故选：B

变式5-2．已知函数的定义域为 R，且满足下列三个条件：

①对任意的 ，且 ，都有 ；

② ；

③ 是偶函数；

若，，则的大小关系正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由已知条件可知在上单调递增，周期为，对称轴为.则，，，再结合函数的单调性即可判断大小.

【详解】

解：由①知，在上单调递增；由②知，的周期为；

由③知，的对称轴为；则，

，，

因为，由函数的单调性可知，.

故选:D.

【点睛】

本题考查了函数的对称性，考查了函数的周期，考查了函数的单调性.本题的关键是由已知条件分析出函数的性质.

变式5-3．定义在R上的函数满足以下三个条件：①对于任意的实数，都有成立；②函数的图象关于y轴对称；③对任意的，，，都有成立.则，，的大小关系为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由①②可得函数是周期为4的函数，且是奇函数，由③可得函数在上单调递增，进而可得函数在上单调递增，从而利用周期性和单调性即可求解.

【详解】

解：由题意，因为函数的图象关于y轴对称，所以，

所以，所以函数的图象关于对称，

又，所以，即，

因为，所以函数是周期为4的函数，

所以，，，

因为，且，所以，

所以函数为奇函数，

又因为对任意的，，，都有成立，即，

所以函数在上单调递增，

所以函数在上单调递增，

因为，所以，

故选：B.

变式5-4．已知定义在上的函数满足，①，② 为奇函数，③当时，恒成立.则、、的大小关系正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据单调性的定义可得在上单调递增，根据已知条件可得是周期为的奇函数，根据周期性和单调性即可求解.

【详解】

由可得的周期为，

因为为奇函数，所以为奇函数，

因为时，，所以在上单调递增，

因为为奇函数，所以在上单调递增，

所以在上单调递增，

因为，，

，

所以，即.

故选：C.

题型战法六 由抽象函数周期性与对称性求函数值

典例6．已知是定义域为R的偶函数，，，.若是偶函数，则（       ）

A．－3 B．－2 C．2 D．3

【答案】D

【解析】

【分析】

根据得到关于对称，得到，结合和为偶函数即可得周期为4，进而即得.

【详解】

因为为偶函数，则关于对称，即.

即，即，也满足.

又是定义域为R偶函数，关于y轴对称，

∴，，

∴周期为4，

∴，

∴.

故选：D.

变式6-1．已知函数满足对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且 则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

首先利用赋值法求出，代入等式赋值得到，即对称轴为，再根据函数图象的平移规律判断函数为奇函数，进一步求得函数周期，进而得到，则可求出结果.

【详解】

因为对任意，都有

令 得 解得

则 即

所以函数的图象关于直线对称.

又函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称，

即函数为奇函数，所以

所以 所以8是函数的一个周期，

所以

 故选：D.

变式6-2．若定义在实数集R上的偶函数满足，，对任意的恒成立，则（       ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题干条件得到为周期函数，最小正周期为4，进而得到，利用是偶函数得到，进而得到，结合，得到.

【详解】

，则，所以，即，为周期函数，最小正周期为4，则，令得：，即，又因为为偶函数，所以，故，即，因为，所以.

故选：D

变式6-3．已知定义在上的函数，满足，，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意可知函数是奇函数，进而推导的周期，然后求出函数值即可.

【详解】

,,是奇函数，,.

,,

由,，的周期为.

..

故选：C

变式6-4．函数定义域为R，且，若函数的图象关于对称，且，则=（       ）

A．3 B．-3 C．6 D．-6

【答案】A

【解析】

【分析】

由题设可知为偶函数且，即可得，易知是周期为4的函数，利用周期性求即可.

【详解】

∵的图象关于对称，

∴关于轴对称，即为偶函数，

又，即，而，

∴，故，

∴是周期为4的函数，

综上，.

故选：A