6.1.1等差数列（题型战法）-备战高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

第六章 数列

6.1.1 等差数列（题型战法）

知识梳理

一 等差数列的通项公式

若等差数列首项为，公差为，则通项公式为

二 等差数列的前项和公式

三 等差数列的性质

(1)对于等差数列，若，则.

(2)若数列与为等差数列，则仍为等差数列

(3)是关于的一次式或常数函数，则也是一个等差数列

(4)，，分别为的前项和，前项和，前项和，则，，成等差数列

(5)

(6)若等差数列的前项的和为，等差数列的前项的和为 ，则.

题型战法

题型战法一 等差数列的基本量计算

典例1．已知在等差数列中，,，则=（       ）

A．8 B．10 C．14 D．16

变式1-1．记为等差数列的前n项和.若，，则（       ）

A．-54 B．-18 C．18 D．36

变式1-2．设为等差数列的前n项和，已知，，则（       ）

A．5 B．6 C．7 D．8

变式1-3．已知等差数列的前n项和为，，，则（       ）

A．-110 B．-115 C．110 D．115

变式1-4．已知等差数列的前n项和为，若，，则（       ）

A． B． C．6061 D．6065

题型战法二 等差中项的应用

典例2．已知数列是等差数列，且满足，则（       ）

A． B． C． D．

变式2-1．已知数列为等差数列，若，则的值为（       ）

A．4 B．6 C．8 D．10

变式2-2．已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（       ）

A． B． C．1 D．2

变式2-3．已知正项等比数列首项为1，且成等差数列，则前6项和为（       ）

A．31 B． C． D．63

变式2-4．等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为（       ）

A． B． C．3 D．

题型战法三 等差数列中的最大（小）项

典例3．设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，值为（       ）

A．8 B．7 C．6 D．9

变式3-1．设数列是等差数列，公差为，且为其前项和，若，则取最小值时，等（       ）

A． B． C．或 D．或

变式3-2．等差数列中，已知，，则的前项和的最小值为（       ）

A． B． C． D．

变式3-3．等差数列的前n项和为，公差为d，已知且．则使成立的最小正整数n的值为（       ）

A．4 B．5 C．8 D．9

变式3-4．已知等差数列的前项和为，若，且，使成立的最大值为（       ）

A． B． C． D．

题型战法四 等差数列片段和的性质及应用

典例4．等差数列的前n项和为，若，，则（       ）．

A．27 B．45 C．18 D．36

变式4-1．若为等差数列，其前n项和为，，，则（       ）

A．10 B．12 C．14 D．16

变式4-2．记等差数列的前项和为，已知，，则（       ）

A． B． C． D．

变式4-3．已知数列是等差数列，，则（       ）

A． B． C． D．

变式4-4．在等差数列中，其前项和为，若，则（       ）

A． B． C． D．

题型战法五 两个等差数列前n项和之比问题

典例5．设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（       ）

A． B． C． D．

变式5-1．等差数列，的前项和分别为，且，则（       ）

A． B． C． D．

变式5-2．若两等差数列，前项和分别为，，满足，则的值为.

A． B． C． D．

变式5-3．已知分别是等差数列前项和，且，则（       ）

A． B． C． D．

变式5-4．设等差数列与等差数列的前n项和分别为，.若对于任意的正整数n都有，则（       ）

A． B． C． D．

题型战法六 等差数列的简单应用

典例6．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲､乙､丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问甲应该分得白米为（       ）

A．石 B．石 C．石 D．石

变式6-1．在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至.从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（       ）

A．25.5尺 B．34.5尺 C．37.5尺 D．96尺

变式6-2．《张丘建算经》是我国古代的一部数学著作，现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算､各种等差数列问题的解决､某些不定方程问题求解等.书中记载如下问题：“今有女子善织，日增等尺，初日织五尺，三十日共织390尺，问日增几何？”那么此女子每日织布增长（       ）

A．尺 B．尺 C．尺 D．尺

变式6-3．中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：今有米二百四十石，令甲，乙，丙､丁，戊五人递差分之，要将甲､乙二人数与丙､丁，戊三人数同.问：各该若干？其大意是：现有大米二百四十石，甲，乙，丙，丁，戊五人分得的重量依次成等差数列，要使甲，乙两人所得大米重量与丙，丁，戊三人所得大米重量相等，问每个人各分得多少大米？在这个问题中，丁分得大米重量为（       ）

A．32石 B．40石 C．48石 D．56石

变式6-4．中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十二斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十六，要将第八数来言”.题意是：把992斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多16斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（       ）

A．174斤 B．184斤 C．180斤 D．181斤

题型战法七 由递推关系证明等差数列

典例7．数列满足.

(1)求证：数列是等差数列.

(2)若，求数列的通项公式

变式7-1．已知数列中，，.

(1)证明:数列是等差数列.

(2)求数列的通项公式.

变式7-2．已知数列中，，，设．

(1)求证：数列是等差数列；

(2)求的通项公式．

变式7-3．已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N*).

(1)证明：数列是等差数列；

(2)求数列{an}的通项公式.

变式7-4．设为数列的前n项和，且

(1)证明：数列是等差数列；

(2)求数列的通项公式．

题型战法八 含绝对值的等差数列前n项和

典例8．已知在前n项和为的等差数列中，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前20项和．

变式8-1．已知等差数列的前项和为，，.        

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

变式8-2．在等差数列中，，.

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前项和.

变式8-3．记数列中，，，.

(1)证明数列为等差数列，并求通项公式；

(2)记，求.

变式8-4．数列中，，且满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.