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9.1.1统计（题型战法）-备战高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）
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第九章 统计与统计模型
9.1.1统计（题型战法）
知识梳理
一 数据的收集
1.简单随机抽样
2.分层抽样
二 数据的数字特征
1.众数：出现次数最多的数据。
2.中位数：将数据按大小依次排列，处在最中间位置的数。
3.平均数：样本数据的算术平均值。
4.极差：数据的最大值与最小值之差
5.方差：s2=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+⋯+(xn-x)2]
6.标准差：s=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+⋯+(xn-x)2]
三 数据的直观表示
1．条形图
2．折线图
3．扇形图
4．频率分布表
5．频率分布直方图
6．频率分布折线图
7. 茎叶图
四 用样本估计总体
1.用样本数字特征估计总体数字特征
2.用样本的分布估计总体的分布
题型战法
题型战法一 随机抽样
典例1．某学校为了了解七年级、八年级、九年级这三个年级学生的阅读时间是否存在显著差异，拟从这三个年级中抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ）
A．抽签法 B．按性别分层抽样 C．按年级分层抽样 D．随机数法
【答案】C
【分析】根据抽签法，分层抽样，随机数法的特点做出选择.
【详解】由于是为了了解七年级、八年级、九年级这三个年级学生的阅读时间是否存在显著差异，
故应按年级分层抽样．
故选：C．
变式1-1．①某班数学期中考试有14人在120分以上，35人在90~119分，7人不及格，现从中抽出8人研讨进一步改进教与学；②高一某班级春节聚会，要产生两位“幸运者”．上述两件事，合适的抽样方法分别为（ ）
A．分层抽样，简单随机抽样 B．简单随机抽样，分层抽样
C．简单随机抽样，简单随机抽样 D．分层抽样，分层抽样
【答案】A
【分析】根据分层抽样和简单随机抽样的特征和使用条件即可作出判断.
【详解】①由于学生的成绩是差异比较大的几部分，应用分层抽样．②由于总体与样本容量较小，应用简单随机抽样．
故选：A
变式1-2．FRM（FinancialRiskManager）——金融风险管理师，是全球金融风险管理领域的一种资格认证.某研究机构用随机数表法抽取了2017年参加FRM考试的某市50名考生的成绩进行分析，先将50名考生按01，02，03，…，50进行编号，然后从随机数表第8行第11列的数开始向右读，则选出的第12个个体是（ ）
（注：下面为随机数表的第8行和第9行）
第8行：63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
第9行：33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
A．12 B．21 C．29 D．34
【答案】D
【分析】由随机数表的读法容易得出结论.
【详解】由随机数表的读法可得，所读的读数依次为16，19，10，50，12，07，44，39，38，33，21，34，29，…，
即选出的第12个个体是34.
故选：D
变式1-3．某电器城为应对即将到来的空调销售旺季，批发了一批新型号空调，其中甲品牌60台，乙品牌45台，丙品牌30台，为了确保产品质量，质检员要在这批空调中采用等比例分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行安全性能检验，若甲品牌空调抽取了12台，则( )
A．21 B．24 C．27 D．30
【答案】C
【分析】根据分层抽样的等比例特性计算即可．
【详解】总体容量为，则总体中，甲品牌占的比例为，
样本中甲品牌占的比例为，
∵是等比例抽样，故，解得．
故选：C．
变式1-4．一段高速公路有300个太阳能标志灯，其中进口的有30个，联合研制的有75个，国产的有195个，为了掌握每个标志灯的使用情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层抽样的方法，抽取的进口的标志灯的数量为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．13
【答案】A
【分析】由分层抽样的性质即可求解.
【详解】根据分层抽样的性质可知：
抽取的进口的标志灯的数量为：.
故选：A
题型战法二 条形图、折线图、扇形图
典例2．如图是民航部门统计的2017年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）
A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高
B．天津和重庆的春运期间往返机票价格同去年相比有所上升
C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京､深圳､广州
D．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津､西安､厦门
【答案】D
【分析】从折线图看涨幅，从条形图看高低，逐项判定即可.
【详解】从折线图看，深圳的涨幅最接近0%,从条形图看，北京的平均价格最高，故A正确；
从折线图看，天津和重庆的涨幅都在0%以上，都是正值，故B正确；
从条形图看，平均价格前三位的是北京、深圳、广州，故C正确；
从折线图看，涨幅前三位的是天津、西安、南京，厦门的涨幅接近-7.50%,故D错误；
故选：D.
变式2-1．若干年前，某老师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该老师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该老师的月退休金为（ ）
A．5000元 B．5500元 C．6000元 D．6500元
【答案】A
【分析】根据条形图计算出刚退休时就医费用，进而计算出现在的就医费用，结合目前就医费用所占退休金的比例可得出结果.
【详解】刚退休时就医费用为元，现在的就医费用为元，占退休金的，
因此，目前该教师的月退休金为元.
故选：A
变式2-2．改革开放40多年来，城乡居民生活从解决温饱的物质需求为主逐渐转变到更多元化的精神追求，消费结构明显优化.下图给出了1983~2017年部分年份我国农村居民人均生活消费支出与恩格尔系数（恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重）统计图.对所列年份进行分析，则下列结论错误的是（ ）
A．农村居民人均生活消费支出呈增长趋势
B．农村居民人均食品支出总额呈增长趋势
C．2011年至2015年农村居民人均生活消费支出增长最快
D．2015年到2017年农村居民人均生活消费支出增长比率大于人均食品支出总额增长比率
【答案】D
【解析】根据图表数据进行判断，求增长速度，增长率，进行判断．
【详解】从图中可以看出，农村居民人均生活消费支出呈增长趋势，故A正确；
根据“农村居民人均食品支出总额农村居民人均生活消费支出恩格尔系数”，
计算可得农村居民人均食品支出总额呈增长趋势，故B正确；
年 份
1983
1987
1991
1995
1999
2003
2007
2011
2015
2017
农村居民人均生活消费支出
212
283
492
736
895
942
2016
3408
7486
9050
恩格尔系数
67
61
61
56
52
50
52
49
42
43
农村居民人均食品支出总额
142.0
172.6
300.1
412.2
465.4
471
1048.3
1669.9
3144.1
3891.5
农村居民人均生活消费支出比较上一统计数据的增长量
71
209
244
159
47
1074
1392
4078
1564
2011年至2015年农村居民人均生活消费支出增长4078元，为最快；故C正确；
2015年到2017年农村居民人均生活消费支出增长比率为，
人均食品支出7486总额增长比率为，故D错误.
故选：D.
【点睛】考查统计图的应用，考查学生“读图识图”的能力和从统计图中提取数据的能力.
变式2-3．为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平.某市抽调三所中学进行中学生体育达标测试，现简称为校、校、校.现对本次测试进行调查统计，得到测试成绩排在前200名学生层次分布的饼状图、校前200名学生的分布条形图，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．测试成绩前200名学生中校人数超过校人数的2倍
B．测试成绩前100名学生中校人数超过一半以上
C．测试成绩前151—200名学生中校人数最多33人
D．测试成绩前51—100名学生中校人数多于校人数
【答案】D
【分析】直接计算判定选项A、B一定正确；计算前1—150名学生中校人数和校最多可能的人数，得到校最少可能的人数，得前151—200名学生中校人数最多可能值，判定选项C一定正确；考虑到这200名学生中校学生总数为68人，至多有可能会有25人在151—200名之间，可以判定选项D不一定正确.
【详解】前200名学生中校人数人，校人数人，,故A一定正确；
前100名学生中校人数约为人，超过半数的50人，故B一定正确；
成绩前150名以内的学生中校人数约为人，校人数最多全在这个范围，有人,所以校至少有人，又∵成绩前200名学生中校人数为40人，所以校至多有=33人测试成绩前151—200名之间，故C一定正确；
测试成绩前51—100名学生中校人数约为25人，这200名学生中校学生总数为人，有可能也有25人在51—100名之间，故D不一定正确，
故选：D.
【点睛】本题考查饼图和条形图的应用，涉及最多可能与最少可能的极端思维策略，涉及频率与频数的计算，考查计算能力和逻辑推理能力，属中档题.
变式2-4．某保险公司销售某种保险产品，根据2021年该产品各季度销售额（单位：万元）和该产品的月销售额占年销售额的百分比，绘制出如图所示的统计图，则下列说法正确的是（ ）
A．2021年第四季度的销售额为380万元
B．2021年上半年的总销售额为500万元
C．2021年2月份的销售额为60万元
D．2021年有2个月的月销售额为50万元
【答案】D
【分析】结合饼图对选项分别进行分析，即可得到结果.
【详解】不妨设全年总销售额为x万元，则由第二季度的销售额，
可得，解得．
第四季度销售额为（万元）．故A错误
上半年总销售额为（万元）．故B错误.
1月份和3月份的销售额之和为（万元），故2月份的销售额为（万元）．故C错误.
1月份的销售额为（万元），2月份的销售额也为50万元．故D正确.
故选: D.
题型战法三 频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图
典例3．采用随机抽样法抽到一个容量为20的样本数据，分组后，各组的频数如下表：
分组
频数
2
3
5
2
已知样本数据在的频率为0.35，则样本数据在区间上的频率为
A．0.70 B．0.50 C．0.25 D．0.20
【答案】D
【解析】根据的频数，构造关于频率的方程，求得；可根据样本容量求解出，从而求得对应频率.
【详解】由题意得：，解得：
所求频率为：
本题正确选项：
【点睛】本题考查统计中频数和频率的计算问题，属于基础题.
变式3-1．天津中学为了调查该校学生对于新冠肺炎防控的了解情况，组织了一次新冠肺炎防控知识竞赛，并从该学校1500名参赛学生中随机抽取了100名学生，并统计了这100名学生成绩情况（满分100分，其中80分及以上为优秀），得到了样本频率分布直方图（如图），根据频率分布直方图推测，这1500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为（ ）
A．120 B．360 C．420 D．480
【答案】C
【分析】可得样本中优秀的频率为0.28，即可求出优秀的学生人数.
【详解】由频率分布直方图可得样本中优秀的频率为，
则这1500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为.
故选：C.
变式3-2．如图是某班50位学生期中考试数学成绩(单位：分)的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：，，则分数在的人数为（ ）
A．9 B．15 C．12 D．6
【答案】A
【分析】由频率分布直方图先求出成绩在内的频率，由此能求出成绩在内的频数．
【详解】解：由图得，
解得,
由频率分布直方图得成绩在内的频率为：
成绩在内的频数为：．
故选A.
变式3-3．如图给出的是某高校土木工程系大四年级55名学生期末考试专业成绩的频率分布折线图（连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点），其中组距为10，且本次考试中最低分为50分，最高分为100分.根据图中所提供的信息，则下列结论中正确的是
A．成绩是75分的人数有20人
B．成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多
C．成绩落在70-90分的人数有35人
D．成绩落在75-85分的人数有35人
【答案】C
【分析】结合频率分布折线图对每一个选项逐一分析得解.
【详解】对于选项A,成绩落在70-80分的人数为，不能说成绩是75分的人数有20人，所以该选项是错误的；
对于选项B, 频率分布折线图看不出成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多，只能看出成绩落在50-60的人数和成绩落在90-100的人数相等，所以该选项是错误的；
对于选项C, 成绩落在70-90分的人数有人，所以该选项是正确的；
对于选项D,由C得成绩落在70-90分的人数有35人，所以成绩落在75-85分的人数有35人是错误的,所以该选项是错误的.
故选C
【点睛】本题主要考查频率分布折线图，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
变式3-4．从甲､乙两种玉米苗中各抽6株，分别测得它们的株高如图所示(单位：).根据数据估计（ ）
A．甲种玉米比乙种玉米不仅长得高而且长得整齐
B．乙种玉米比甲种玉米不仅长得高而且长得整齐
C．甲种玉米比乙种玉米长得高但长势没有乙整齐
D．乙种玉米比甲种玉米长得高但长势没有甲整齐
【答案】D
【分析】根据茎叶图中的数据分布情况直接估计，即可得出正确的统计结论.
【详解】根据茎叶图中的数据分布情况，得乙种玉米的株高数据大部分分布在下方，所以平均数大；但甲种玉米数据的分布集中在中间位置，说明方差小，
∴乙种玉米比甲种玉米长得高但长势没有甲整齐，
故选:D．
题型战法四 众数、中位数、百分位数、平均数
典例4．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如图所示的样本数据的频率分布直方图，则（ ）
A．这种疾病患者的年龄小于等于30的概率为0.2
B．这种疾病患者的年龄的中位数小于45岁
C．这种疾病患者的年龄的众数为45岁
D．这种疾病患者的平均年龄为48岁
【答案】C
【分析】根据频率分布直方图中的数据逐一判断即可.
【详解】小于等于30的概率为，故A不对；
小于等于45的概率为，
所以中位数大于45，故B错误；
（岁），故D错误；
而众数为最高矩形的中点，所以众数为45，
故选：C.
变式4-1．某滑冰馆统计了2021年11月1日到30日某小区居民在该滑冰馆的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是（ ）
A．该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间内的最少
B．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16
C．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值大于14
D．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.456
【答案】C
【分析】由频率分布直方图比较各区间的频率大小，由此确定各区间的频数大小，由此判断A，再计算样本数据的中位数和平均数，判断B，C，再求锻炼天数超过15天的频率，由此估计概率，判断D.
【详解】频率分布直方图中，面积最小的矩形条所在的区间为，即样本中区间内的数据频率最小，频数也最小，故选项错误，
由频率分布直方图可得，前三个小矩形的面积之和为，所以估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数小于15，故选项错误；
由频率分布直方图可得，，故选项C正确；
由频率分布直方图可得，该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的频率为，故锻炼天数超过15天的概率为，
故选项错误.
故选：C.
变式4-2．新冠肺炎疫情防控中，测量体温是最简便、最快捷，也是筛查成本比较低、性价比很高的筛查方式，是更适用于大众的普通筛查手段．某班级体温检测员对某一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A．甲同学的体温的极差为0.5℃
B．甲同学的体温的众数为36.3℃
C．乙同学的体温的中位数与平均数不相等
D．乙同学的体温比甲同学的体温稳定
【答案】C
【分析】根据折线图，进行数据分析，直接计算极差判断A，由众数概念判断B，由中位数和平均数确定C，由折线图直接判断D.
【详解】对于A：甲同学的体温的极差为℃，故A选项正确；
对于B：甲同学的体温从低到高依次为36.1℃，36.1℃，36.3℃，36.3℃，36.3℃，36.5℃，36.6℃，故众数为36.3℃，故B选项正确；
对于C：乙同学的体温从低到高依次为36.2℃，36.3℃，36.3℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，36.6℃，故中位数为36.4℃，而平均数也是36.4℃，故C选项错误；
对于D：从折线图上可以看出，乙同学的体温比甲同学的体温稳定，故D选项正确.
故选：C
变式4-3．德州市政府部门为了解本市的“全国文明城市”创建情况，在本市县（市､区）中随机抽查了甲､乙两县，考核组对他们的创建工作进行量化考核.在两个县的量化考核中再各随机抽取20个单位的量化考核成绩，得到下图数据.以此为依据对甲乙两县的创城工作进行分析，关于甲乙两县的考核成绩，下列结论正确的是（ ）
A．甲县样本数据的平均数是80 B．甲县样本数据众数小于乙县样本数据众数
C．甲县样本数据的75%分位数是83 D．不低于80的数据个数，甲县多于乙县
【答案】C
【分析】根据平均数的定义、众数的定义、75%分位数的定义逐一判断即可.
【详解】甲县样本数据的平均数是：
，所以A选项结论不正确；
因为甲县样本数据众数为，乙县样本数据众数，
所以B选项结论不正确；
因为，所以甲县样本数据的75%分位数是，
因此C选项结论正确；
因为不低于80的数据个数，甲县为，乙县为，
所以D选项说法不正确，
故选：C
变式4-4．下表记录了苏州某个月连续8天的空气质量指数（AQI）.
时间
1
2
3
4
5
6
7
8
空气质量指数（AQI）
20
28
24
33
31
35
36
38
则这些空气质量指数的分位数为（ ）A．24 B．26 C．28 D．31
【答案】B
【分析】把空气指数按从小到大顺序排列后，计算出，然后求出第2个数和第3个数的平均值即得．
【详解】空气指数的8个数从小到大排列为：20，24，28，31，33，35，36，38，
又，
所以分位数是．
故选：B．
题型战法五 极差、方差、标准差
典例5．为庆祝中国共产党成立100周年，安康市某学校开展“唱红色歌曲，诵红色经典”歌咏比赛活动，甲、乙两位选手经历了7场初赛后进入决赛，他们的7场初赛成绩如茎叶图所示．下列结论正确的是（ ）
A．甲成绩的极差比乙成绩的极差大
B．甲成绩的众数比乙成绩的中位数大
C．甲成绩的方差比乙成绩的方差大
D．甲成绩的平均数比乙成绩的平均数小
【答案】D
【分析】对于A，分别求出极差判断，对于B，求出甲的众数和乙成绩的中位数判断，对于C，根据数据的离散程度判断，对于D，分别求出平均数判断即可.
【详解】甲成绩的极差为，乙成绩的极差为，故A错误；
甲成绩的众数为85分，乙成绩的中位数为87分，故B错误；
由茎叶图的数据的分布规律，可判定甲成绩的数据更集中，乙成绩的数据更分散，所以甲成绩的方差比乙成绩的方差小，故C错误；
甲成绩的平均数为分，乙成绩的平均数为分，故D正确．
故选：D
变式5-1．甲､乙两名射击运动员在某次测试中各射击20次，两人测试成绩条形图如图所示，则（ ）
A．甲运动员测试成绩的极差大于乙运动员测试成绩的极差
B．甲运动员测试成绩的众数大于乙运动员测试成绩的众数
C．甲运动员测试成绩的平均数大于乙运动员测试成绩的平均数
D．甲运动员测试成绩的标准差小于乙运动员测试成绩的标准差
【答案】D
【分析】由图可得甲、乙运动员测试成绩的极差、众数，计算平均数和标准差，比较即可
【详解】由图可得甲运动员测试成绩的极差为3，众数为8，平均数为，
标准差为；
乙运动员测试成绩的极差为3，众数为8，平均数为，
标准差为.
甲运动员测试成绩的极差等于乙运动员测试成绩的极差，A错误；
甲运动员测试成绩的众数等于乙运动员测试成绩的众数，B错误；
甲运动员测试成绩的平均数等于乙运动员测试成绩的平均数，C错误；
甲运动员测试成绩的标准差小于乙运动员测试成绩的标准差，D正确．
故选：D
变式5-2．甲、乙两名同学8次考试的成绩统计如图所示，记甲、乙两人成绩的平均数分别为，，标准差分别为，，则（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】由平均数的定义及标准差的性质即可判断
【详解】设甲、乙分数分别为，由题图可知，，，且有，即，故甲总成绩比乙总成绩要高，则，又甲成绩的分布比乙平稳，故．
故选：A
变式5-3．已知一组数据的平均数是3，方差是2，则由这5个数据组成的新的一组数据的方差是（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件利用方差公式求解即可
【详解】因为一组数据的平均数是3，方差是2，
所以，，
所以，，
所以的平均数为
，
所以的方差为
，
故选：C
变式5-4．已知一组数据的平均数为，标准差为，则数据的平均数和方差分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据数据的平均数与方差的性质求解即可.
【详解】解：由题知，，，
所以，的平均数为，
的方差分别.
故选：D
题型战法六 用样本估计总体
典例6．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名，将其数学成绩（均为整数）分成六段：，得到如图所示的不完整的频率直方图．
(1)求分数在内的频率，并补全这个频率直方图；
(2)估计该校高一年级的及格率（60分及以上为及格）．
【答案】(1)，图见解析
(2)0.75
【分析】（1）根据频率和为1，可求出分数在内的频率，从而可补全频率分布直方图.
（2）由频率分布直方图计算60分以上的频率即可.
（1）
设分数在内的频率为x，根据频率直方图有，解得，
故频率直方图如图所示．
（2）
及格率约为．
变式6-1．某校为了提高学生的阅读能力，准备出台一项计划，为使计划更具针对性，对全校九年级学生进行了“1分钟默读速度”测试，现随机抽取20名学生的成绩进行分析，过程如下：
收集数据 20名学生的“1分钟默读速度”成绩如下（单位：个）：
210 225 234 235 315 246 248 324 253 316
258 260 262 262 305 318 272 228 327 230
整理数据 请你按如下表格分组整理、描述样本数据，并把下列表格补充完整．（说明：1分钟默读字数达到300个及以上者为达标）
成绩x（个）
等级
A
B
C
D
E
F
人数
分析数据 请将下列表格补充完整：
平均数
众数
中位数
266.4
得出结论
(1)用样本中的统计量估计全校九年级学生“1分钟默读速度”等级为________；
(2)估计该校九年级300名学生中测试“1分钟默读速度”达标的人数．
【答案】(1)表格见解析，C
(2)90人
【分析】（1）数据分析，补充完整表格，并根据中位数的定义得到样本的中位数落在C组，从而得到答案；
（2）求出样本中“1分钟默读速度”达标的人数的比例，从而计算出九年级300名学生中测试“1分钟默读速度”达标的人数.
（1）
补充表格如下：
成绩x（个）
等级
A
B
C
D
E
F
人数
3
5
5
1
1
5
平均数
众数
中位数
266.4
262
259
其中从小到大排列，第10和第11位学生均落在第三组，即等级为C的组.
用样本中的统计量估计全校九年级学生“1分钟默读速度”等级为C
（2）
∵“1分钟默读速度”达到300个及以上的人数为6人，
，
∴达标率为30%，．
∴估计该校九年级300名学生中测试“1分钟默读速度”达标的人数为90人．
变式6-2．为了了解某学校高一年级的712名学生身高的情况，现从该学校386名女生中抽取一个样本容量为27的样本，其观测数据（单位：cm）如下：
163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0 162.5
154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0 155.0 148.0
172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0
(1)计算女生身高的样本平均数；
(2)若该学校男生平均身高为170.6cm，试估计该校高一年级学生的平均身高；
(3)根据女生的样本数据估计该学校高一年级女生身高的第75百分位数．
【答案】(1) cm
(2) cm
(3) cm
【分析】（1）（2）根据平均数公式计算可得；
（3）首先将数据从小到大排列，再按照百分位数计算规则计算可得；
(1)
解：依题意可得
所以平均数为（cm），
即样本中女生身高的平均数为 cm.
(2)
解：依题意可得高一年级学生的平均身高约为（cm）.
(3)
解：依题意将样本数据从小到大排列为：148、149、154、154、155、155、155.5、157、157、158、158、159、
161、161、162、162.5、162.5、163、163、164、164、164、165、170、171、172、172
因为，所以第百分位数为第个数据，为，
即由样本数据估计该学校高一年级女生身高的第75百分位数为 cm.
变式6-3．某校高三年级共有学生1000名．该校为调查高三学生的某项体育技能水平，从中随机抽取了100名学生进行测试，记录他们的成绩，并将数据分成6组：，整理得到频率分布直方图，如图．
(1)若，估计该校高三学生这项体育技能的平均成绩；
(2)如果所抽取的100名学生中成绩分布在区间内的有8人，估计该校高三学生这项体育技能成绩低于60分的人数．
【答案】(1)80.4
(2)20
【分析】（1）根据直方图所给出的数据求平均数即可；
（2）根据直方图面积等于1，求出a，再将频率作为概率计算即可.
（1）
由直方图可知：平均成绩 ，
即平均成绩为80.4；
（2）
由于在 内有8人， ，∴a=0.001，
低于60分的人数约为 人；
综上，平均成绩约为80.4分，低于60分的人数约为20人.
变式6-4．对某高校学生参加“走进敬老院送温暖”的活动次数进行统计，随机抽取N名学生，得到这N名学生参加此活动的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图.
分组
频数
频率
10
0.20
24
n
14
0.28
m
p
合计
N
1
(1)求出表中N，p及图中a的值：
(2)若该校有学生3000人，试估计该校学生参加此活动的次数在区间内的人数；
(3)估计该校学生参加此活动次数的众数､中位数及平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，所有结果保留一位小数）
【答案】(1)，，
(2)
(3)众数是，中位数的为18.1，平均数是18.3
【分析】（1）根据频率、频数和样本容量之间的关系即可求解；
（2）根据区间内频率，可估计该校学生参加“走进敬老院送温暖”活动的次数在区间内的人数；
（3）众数即最高矩形的底边中点的横坐标，中位数利用左右两侧直方图的面积相等计算即可，平均数是每个小矩形的面积与小矩形底边中点横坐标乘积的和.
(1)
由分组对应的频数是10，频率是0.20，可知，所以，
所以，解得，
所以，；
(2)
估计该校学生参加此活动的次数在区间内的人数为人；
(3)
估计该校学生参加此活动次数的众数是.
因为，
所以估计该校学生参加此活动次数的中位数x满足，
解得，所以该校学生参加此活动次数的中位数的为18.1，
由，
所以估计该校学生参加此活动次数的平均数是18.3.
第九章 统计与统计模型
9.1.1统计（题型战法）
知识梳理
一 数据的收集
1.简单随机抽样
2.分层抽样
二 数据的数字特征
1.众数：出现次数最多的数据。
2.中位数：将数据按大小依次排列，处在最中间位置的数。
3.平均数：样本数据的算术平均值。
4.极差：数据的最大值与最小值之差
5.方差：s2=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+⋯+(xn-x)2]
6.标准差：s=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+⋯+(xn-x)2]
三 数据的直观表示
1．条形图
2．折线图
3．扇形图
4．频率分布表
5．频率分布直方图
6．频率分布折线图
7. 茎叶图
四 用样本估计总体
1.用样本数字特征估计总体数字特征
2.用样本的分布估计总体的分布
题型战法
题型战法一 随机抽样
典例1．某学校为了了解七年级、八年级、九年级这三个年级学生的阅读时间是否存在显著差异，拟从这三个年级中抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ）
A．抽签法 B．按性别分层抽样 C．按年级分层抽样 D．随机数法
【答案】C
【分析】根据抽签法，分层抽样，随机数法的特点做出选择.
【详解】由于是为了了解七年级、八年级、九年级这三个年级学生的阅读时间是否存在显著差异，
故应按年级分层抽样．
故选：C．
变式1-1．①某班数学期中考试有14人在120分以上，35人在90~119分，7人不及格，现从中抽出8人研讨进一步改进教与学；②高一某班级春节聚会，要产生两位“幸运者”．上述两件事，合适的抽样方法分别为（ ）
A．分层抽样，简单随机抽样 B．简单随机抽样，分层抽样
C．简单随机抽样，简单随机抽样 D．分层抽样，分层抽样
【答案】A
【分析】根据分层抽样和简单随机抽样的特征和使用条件即可作出判断.
【详解】①由于学生的成绩是差异比较大的几部分，应用分层抽样．②由于总体与样本容量较小，应用简单随机抽样．
故选：A
变式1-2．FRM（FinancialRiskManager）——金融风险管理师，是全球金融风险管理领域的一种资格认证.某研究机构用随机数表法抽取了2017年参加FRM考试的某市50名考生的成绩进行分析，先将50名考生按01，02，03，…，50进行编号，然后从随机数表第8行第11列的数开始向右读，则选出的第12个个体是（ ）
（注：下面为随机数表的第8行和第9行）
第8行：63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
第9行：33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
A．12 B．21 C．29 D．34
【答案】D
【分析】由随机数表的读法容易得出结论.
【详解】由随机数表的读法可得，所读的读数依次为16，19，10，50，12，07，44，39，38，33，21，34，29，…，
即选出的第12个个体是34.
故选：D
变式1-3．某电器城为应对即将到来的空调销售旺季，批发了一批新型号空调，其中甲品牌60台，乙品牌45台，丙品牌30台，为了确保产品质量，质检员要在这批空调中采用等比例分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行安全性能检验，若甲品牌空调抽取了12台，则( )
A．21 B．24 C．27 D．30
【答案】C
【分析】根据分层抽样的等比例特性计算即可．
【详解】总体容量为，则总体中，甲品牌占的比例为，
样本中甲品牌占的比例为，
∵是等比例抽样，故，解得．
故选：C．
变式1-4．一段高速公路有300个太阳能标志灯，其中进口的有30个，联合研制的有75个，国产的有195个，为了掌握每个标志灯的使用情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层抽样的方法，抽取的进口的标志灯的数量为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．13
【答案】A
【分析】由分层抽样的性质即可求解.
【详解】根据分层抽样的性质可知：
抽取的进口的标志灯的数量为：.
故选：A
题型战法二 条形图、折线图、扇形图
典例2．如图是民航部门统计的2017年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）
A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高
B．天津和重庆的春运期间往返机票价格同去年相比有所上升
C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京､深圳､广州
D．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津､西安､厦门
【答案】D
【分析】从折线图看涨幅，从条形图看高低，逐项判定即可.
【详解】从折线图看，深圳的涨幅最接近0%,从条形图看，北京的平均价格最高，故A正确；
从折线图看，天津和重庆的涨幅都在0%以上，都是正值，故B正确；
从条形图看，平均价格前三位的是北京、深圳、广州，故C正确；
从折线图看，涨幅前三位的是天津、西安、南京，厦门的涨幅接近-7.50%,故D错误；
故选：D.
变式2-1．若干年前，某老师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该老师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该老师的月退休金为（ ）
A．5000元 B．5500元 C．6000元 D．6500元
【答案】A
【分析】根据条形图计算出刚退休时就医费用，进而计算出现在的就医费用，结合目前就医费用所占退休金的比例可得出结果.
【详解】刚退休时就医费用为元，现在的就医费用为元，占退休金的，
因此，目前该教师的月退休金为元.
故选：A
变式2-2．改革开放40多年来，城乡居民生活从解决温饱的物质需求为主逐渐转变到更多元化的精神追求，消费结构明显优化.下图给出了1983~2017年部分年份我国农村居民人均生活消费支出与恩格尔系数（恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重）统计图.对所列年份进行分析，则下列结论错误的是（ ）
A．农村居民人均生活消费支出呈增长趋势
B．农村居民人均食品支出总额呈增长趋势
C．2011年至2015年农村居民人均生活消费支出增长最快
D．2015年到2017年农村居民人均生活消费支出增长比率大于人均食品支出总额增长比率
【答案】D
【解析】根据图表数据进行判断，求增长速度，增长率，进行判断．
【详解】从图中可以看出，农村居民人均生活消费支出呈增长趋势，故A正确；
根据“农村居民人均食品支出总额农村居民人均生活消费支出恩格尔系数”，
计算可得农村居民人均食品支出总额呈增长趋势，故B正确；
年 份
1983
1987
1991
1995
1999
2003
2007
2011
2015
2017
农村居民人均生活消费支出
212
283
492
736
895
942
2016
3408
7486
9050
恩格尔系数
67
61
61
56
52
50
52
49
42
43
农村居民人均食品支出总额
142.0
172.6
300.1
412.2
465.4
471
1048.3
1669.9
3144.1
3891.5
农村居民人均生活消费支出比较上一统计数据的增长量
71
209
244
159
47
1074
1392
4078
1564
2011年至2015年农村居民人均生活消费支出增长4078元，为最快；故C正确；
2015年到2017年农村居民人均生活消费支出增长比率为，
人均食品支出7486总额增长比率为，故D错误.
故选：D.
【点睛】考查统计图的应用，考查学生“读图识图”的能力和从统计图中提取数据的能力.
变式2-3．为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平.某市抽调三所中学进行中学生体育达标测试，现简称为校、校、校.现对本次测试进行调查统计，得到测试成绩排在前200名学生层次分布的饼状图、校前200名学生的分布条形图，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．测试成绩前200名学生中校人数超过校人数的2倍
B．测试成绩前100名学生中校人数超过一半以上
C．测试成绩前151—200名学生中校人数最多33人
D．测试成绩前51—100名学生中校人数多于校人数
【答案】D
【分析】直接计算判定选项A、B一定正确；计算前1—150名学生中校人数和校最多可能的人数，得到校最少可能的人数，得前151—200名学生中校人数最多可能值，判定选项C一定正确；考虑到这200名学生中校学生总数为68人，至多有可能会有25人在151—200名之间，可以判定选项D不一定正确.
【详解】前200名学生中校人数人，校人数人，,故A一定正确；
前100名学生中校人数约为人，超过半数的50人，故B一定正确；
成绩前150名以内的学生中校人数约为人，校人数最多全在这个范围，有人,所以校至少有人，又∵成绩前200名学生中校人数为40人，所以校至多有=33人测试成绩前151—200名之间，故C一定正确；
测试成绩前51—100名学生中校人数约为25人，这200名学生中校学生总数为人，有可能也有25人在51—100名之间，故D不一定正确，
故选：D.
【点睛】本题考查饼图和条形图的应用，涉及最多可能与最少可能的极端思维策略，涉及频率与频数的计算，考查计算能力和逻辑推理能力，属中档题.
变式2-4．某保险公司销售某种保险产品，根据2021年该产品各季度销售额（单位：万元）和该产品的月销售额占年销售额的百分比，绘制出如图所示的统计图，则下列说法正确的是（ ）
A．2021年第四季度的销售额为380万元
B．2021年上半年的总销售额为500万元
C．2021年2月份的销售额为60万元
D．2021年有2个月的月销售额为50万元
【答案】D
【分析】结合饼图对选项分别进行分析，即可得到结果.
【详解】不妨设全年总销售额为x万元，则由第二季度的销售额，
可得，解得．
第四季度销售额为（万元）．故A错误
上半年总销售额为（万元）．故B错误.
1月份和3月份的销售额之和为（万元），故2月份的销售额为（万元）．故C错误.
1月份的销售额为（万元），2月份的销售额也为50万元．故D正确.
故选: D.
题型战法三 频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图
典例3．采用随机抽样法抽到一个容量为20的样本数据，分组后，各组的频数如下表：
分组
频数
2
3
5
2
已知样本数据在的频率为0.35，则样本数据在区间上的频率为
A．0.70 B．0.50 C．0.25 D．0.20
【答案】D
【解析】根据的频数，构造关于频率的方程，求得；可根据样本容量求解出，从而求得对应频率.
【详解】由题意得：，解得：
所求频率为：
本题正确选项：
【点睛】本题考查统计中频数和频率的计算问题，属于基础题.
变式3-1．天津中学为了调查该校学生对于新冠肺炎防控的了解情况，组织了一次新冠肺炎防控知识竞赛，并从该学校1500名参赛学生中随机抽取了100名学生，并统计了这100名学生成绩情况（满分100分，其中80分及以上为优秀），得到了样本频率分布直方图（如图），根据频率分布直方图推测，这1500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为（ ）
A．120 B．360 C．420 D．480
【答案】C
【分析】可得样本中优秀的频率为0.28，即可求出优秀的学生人数.
【详解】由频率分布直方图可得样本中优秀的频率为，
则这1500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为.
故选：C.
变式3-2．如图是某班50位学生期中考试数学成绩(单位：分)的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：，，则分数在的人数为（ ）
A．9 B．15 C．12 D．6
【答案】A
【分析】由频率分布直方图先求出成绩在内的频率，由此能求出成绩在内的频数．
【详解】解：由图得，
解得,
由频率分布直方图得成绩在内的频率为：
成绩在内的频数为：．
故选A.
变式3-3．如图给出的是某高校土木工程系大四年级55名学生期末考试专业成绩的频率分布折线图（连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点），其中组距为10，且本次考试中最低分为50分，最高分为100分.根据图中所提供的信息，则下列结论中正确的是
A．成绩是75分的人数有20人
B．成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多
C．成绩落在70-90分的人数有35人
D．成绩落在75-85分的人数有35人
【答案】C
【分析】结合频率分布折线图对每一个选项逐一分析得解.
【详解】对于选项A,成绩落在70-80分的人数为，不能说成绩是75分的人数有20人，所以该选项是错误的；
对于选项B, 频率分布折线图看不出成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多，只能看出成绩落在50-60的人数和成绩落在90-100的人数相等，所以该选项是错误的；
对于选项C, 成绩落在70-90分的人数有人，所以该选项是正确的；
对于选项D,由C得成绩落在70-90分的人数有35人，所以成绩落在75-85分的人数有35人是错误的,所以该选项是错误的.
故选C
【点睛】本题主要考查频率分布折线图，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
变式3-4．从甲､乙两种玉米苗中各抽6株，分别测得它们的株高如图所示(单位：).根据数据估计（ ）
A．甲种玉米比乙种玉米不仅长得高而且长得整齐
B．乙种玉米比甲种玉米不仅长得高而且长得整齐
C．甲种玉米比乙种玉米长得高但长势没有乙整齐
D．乙种玉米比甲种玉米长得高但长势没有甲整齐
【答案】D
【分析】根据茎叶图中的数据分布情况直接估计，即可得出正确的统计结论.
【详解】根据茎叶图中的数据分布情况，得乙种玉米的株高数据大部分分布在下方，所以平均数大；但甲种玉米数据的分布集中在中间位置，说明方差小，
∴乙种玉米比甲种玉米长得高但长势没有甲整齐，
故选:D．
题型战法四 众数、中位数、百分位数、平均数
典例4．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如图所示的样本数据的频率分布直方图，则（ ）
A．这种疾病患者的年龄小于等于30的概率为0.2
B．这种疾病患者的年龄的中位数小于45岁
C．这种疾病患者的年龄的众数为45岁
D．这种疾病患者的平均年龄为48岁
【答案】C
【分析】根据频率分布直方图中的数据逐一判断即可.
【详解】小于等于30的概率为，故A不对；
小于等于45的概率为，
所以中位数大于45，故B错误；
（岁），故D错误；
而众数为最高矩形的中点，所以众数为45，
故选：C.
变式4-1．某滑冰馆统计了2021年11月1日到30日某小区居民在该滑冰馆的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是（ ）
A．该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间内的最少
B．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16
C．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值大于14
D．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.456
【答案】C
【分析】由频率分布直方图比较各区间的频率大小，由此确定各区间的频数大小，由此判断A，再计算样本数据的中位数和平均数，判断B，C，再求锻炼天数超过15天的频率，由此估计概率，判断D.
【详解】频率分布直方图中，面积最小的矩形条所在的区间为，即样本中区间内的数据频率最小，频数也最小，故选项错误，
由频率分布直方图可得，前三个小矩形的面积之和为，所以估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数小于15，故选项错误；
由频率分布直方图可得，，故选项C正确；
由频率分布直方图可得，该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的频率为，故锻炼天数超过15天的概率为，
故选项错误.
故选：C.
变式4-2．新冠肺炎疫情防控中，测量体温是最简便、最快捷，也是筛查成本比较低、性价比很高的筛查方式，是更适用于大众的普通筛查手段．某班级体温检测员对某一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A．甲同学的体温的极差为0.5℃
B．甲同学的体温的众数为36.3℃
C．乙同学的体温的中位数与平均数不相等
D．乙同学的体温比甲同学的体温稳定
【答案】C
【分析】根据折线图，进行数据分析，直接计算极差判断A，由众数概念判断B，由中位数和平均数确定C，由折线图直接判断D.
【详解】对于A：甲同学的体温的极差为℃，故A选项正确；
对于B：甲同学的体温从低到高依次为36.1℃，36.1℃，36.3℃，36.3℃，36.3℃，36.5℃，36.6℃，故众数为36.3℃，故B选项正确；
对于C：乙同学的体温从低到高依次为36.2℃，36.3℃，36.3℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，36.6℃，故中位数为36.4℃，而平均数也是36.4℃，故C选项错误；
对于D：从折线图上可以看出，乙同学的体温比甲同学的体温稳定，故D选项正确.
故选：C
变式4-3．德州市政府部门为了解本市的“全国文明城市”创建情况，在本市县（市､区）中随机抽查了甲､乙两县，考核组对他们的创建工作进行量化考核.在两个县的量化考核中再各随机抽取20个单位的量化考核成绩，得到下图数据.以此为依据对甲乙两县的创城工作进行分析，关于甲乙两县的考核成绩，下列结论正确的是（ ）
A．甲县样本数据的平均数是80 B．甲县样本数据众数小于乙县样本数据众数
C．甲县样本数据的75%分位数是83 D．不低于80的数据个数，甲县多于乙县
【答案】C
【分析】根据平均数的定义、众数的定义、75%分位数的定义逐一判断即可.
【详解】甲县样本数据的平均数是：
，所以A选项结论不正确；
因为甲县样本数据众数为，乙县样本数据众数，
所以B选项结论不正确；
因为，所以甲县样本数据的75%分位数是，
因此C选项结论正确；
因为不低于80的数据个数，甲县为，乙县为，
所以D选项说法不正确，
故选：C
变式4-4．下表记录了苏州某个月连续8天的空气质量指数（AQI）.
时间
1
2
3
4
5
6
7
8
空气质量指数（AQI）
20
28
24
33
31
35
36
38
则这些空气质量指数的分位数为（ ）A．24 B．26 C．28 D．31
【答案】B
【分析】把空气指数按从小到大顺序排列后，计算出，然后求出第2个数和第3个数的平均值即得．
【详解】空气指数的8个数从小到大排列为：20，24，28，31，33，35，36，38，
又，
所以分位数是．
故选：B．
题型战法五 极差、方差、标准差
典例5．为庆祝中国共产党成立100周年，安康市某学校开展“唱红色歌曲，诵红色经典”歌咏比赛活动，甲、乙两位选手经历了7场初赛后进入决赛，他们的7场初赛成绩如茎叶图所示．下列结论正确的是（ ）
A．甲成绩的极差比乙成绩的极差大
B．甲成绩的众数比乙成绩的中位数大
C．甲成绩的方差比乙成绩的方差大
D．甲成绩的平均数比乙成绩的平均数小
【答案】D
【分析】对于A，分别求出极差判断，对于B，求出甲的众数和乙成绩的中位数判断，对于C，根据数据的离散程度判断，对于D，分别求出平均数判断即可.
【详解】甲成绩的极差为，乙成绩的极差为，故A错误；
甲成绩的众数为85分，乙成绩的中位数为87分，故B错误；
由茎叶图的数据的分布规律，可判定甲成绩的数据更集中，乙成绩的数据更分散，所以甲成绩的方差比乙成绩的方差小，故C错误；
甲成绩的平均数为分，乙成绩的平均数为分，故D正确．
故选：D
变式5-1．甲､乙两名射击运动员在某次测试中各射击20次，两人测试成绩条形图如图所示，则（ ）
A．甲运动员测试成绩的极差大于乙运动员测试成绩的极差
B．甲运动员测试成绩的众数大于乙运动员测试成绩的众数
C．甲运动员测试成绩的平均数大于乙运动员测试成绩的平均数
D．甲运动员测试成绩的标准差小于乙运动员测试成绩的标准差
【答案】D
【分析】由图可得甲、乙运动员测试成绩的极差、众数，计算平均数和标准差，比较即可
【详解】由图可得甲运动员测试成绩的极差为3，众数为8，平均数为，
标准差为；
乙运动员测试成绩的极差为3，众数为8，平均数为，
标准差为.
甲运动员测试成绩的极差等于乙运动员测试成绩的极差，A错误；
甲运动员测试成绩的众数等于乙运动员测试成绩的众数，B错误；
甲运动员测试成绩的平均数等于乙运动员测试成绩的平均数，C错误；
甲运动员测试成绩的标准差小于乙运动员测试成绩的标准差，D正确．
故选：D
变式5-2．甲、乙两名同学8次考试的成绩统计如图所示，记甲、乙两人成绩的平均数分别为，，标准差分别为，，则（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】由平均数的定义及标准差的性质即可判断
【详解】设甲、乙分数分别为，由题图可知，，，且有，即，故甲总成绩比乙总成绩要高，则，又甲成绩的分布比乙平稳，故．
故选：A
变式5-3．已知一组数据的平均数是3，方差是2，则由这5个数据组成的新的一组数据的方差是（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件利用方差公式求解即可
【详解】因为一组数据的平均数是3，方差是2，
所以，，
所以，，
所以的平均数为
，
所以的方差为
，
故选：C
变式5-4．已知一组数据的平均数为，标准差为，则数据的平均数和方差分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据数据的平均数与方差的性质求解即可.
【详解】解：由题知，，，
所以，的平均数为，
的方差分别.
故选：D
题型战法六 用样本估计总体
典例6．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名，将其数学成绩（均为整数）分成六段：，得到如图所示的不完整的频率直方图．
(1)求分数在内的频率，并补全这个频率直方图；
(2)估计该校高一年级的及格率（60分及以上为及格）．
【答案】(1)，图见解析
(2)0.75
【分析】（1）根据频率和为1，可求出分数在内的频率，从而可补全频率分布直方图.
（2）由频率分布直方图计算60分以上的频率即可.
（1）
设分数在内的频率为x，根据频率直方图有，解得，
故频率直方图如图所示．
（2）
及格率约为．
变式6-1．某校为了提高学生的阅读能力，准备出台一项计划，为使计划更具针对性，对全校九年级学生进行了“1分钟默读速度”测试，现随机抽取20名学生的成绩进行分析，过程如下：
收集数据 20名学生的“1分钟默读速度”成绩如下（单位：个）：
210 225 234 235 315 246 248 324 253 316
258 260 262 262 305 318 272 228 327 230
整理数据 请你按如下表格分组整理、描述样本数据，并把下列表格补充完整．（说明：1分钟默读字数达到300个及以上者为达标）
成绩x（个）
等级
A
B
C
D
E
F
人数
分析数据 请将下列表格补充完整：
平均数
众数
中位数
266.4
得出结论
(1)用样本中的统计量估计全校九年级学生“1分钟默读速度”等级为________；
(2)估计该校九年级300名学生中测试“1分钟默读速度”达标的人数．
【答案】(1)表格见解析，C
(2)90人
【分析】（1）数据分析，补充完整表格，并根据中位数的定义得到样本的中位数落在C组，从而得到答案；
（2）求出样本中“1分钟默读速度”达标的人数的比例，从而计算出九年级300名学生中测试“1分钟默读速度”达标的人数.
（1）
补充表格如下：
成绩x（个）
等级
A
B
C
D
E
F
人数
3
5
5
1
1
5
平均数
众数
中位数
266.4
262
259
其中从小到大排列，第10和第11位学生均落在第三组，即等级为C的组.
用样本中的统计量估计全校九年级学生“1分钟默读速度”等级为C
（2）
∵“1分钟默读速度”达到300个及以上的人数为6人，
，
∴达标率为30%，．
∴估计该校九年级300名学生中测试“1分钟默读速度”达标的人数为90人．
变式6-2．为了了解某学校高一年级的712名学生身高的情况，现从该学校386名女生中抽取一个样本容量为27的样本，其观测数据（单位：cm）如下：
163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0 162.5
154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0 155.0 148.0
172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0
(1)计算女生身高的样本平均数；
(2)若该学校男生平均身高为170.6cm，试估计该校高一年级学生的平均身高；
(3)根据女生的样本数据估计该学校高一年级女生身高的第75百分位数．
【答案】(1) cm
(2) cm
(3) cm
【分析】（1）（2）根据平均数公式计算可得；
（3）首先将数据从小到大排列，再按照百分位数计算规则计算可得；
(1)
解：依题意可得
所以平均数为（cm），
即样本中女生身高的平均数为 cm.
(2)
解：依题意可得高一年级学生的平均身高约为（cm）.
(3)
解：依题意将样本数据从小到大排列为：148、149、154、154、155、155、155.5、157、157、158、158、159、
161、161、162、162.5、162.5、163、163、164、164、164、165、170、171、172、172
因为，所以第百分位数为第个数据，为，
即由样本数据估计该学校高一年级女生身高的第75百分位数为 cm.
变式6-3．某校高三年级共有学生1000名．该校为调查高三学生的某项体育技能水平，从中随机抽取了100名学生进行测试，记录他们的成绩，并将数据分成6组：，整理得到频率分布直方图，如图．
(1)若，估计该校高三学生这项体育技能的平均成绩；
(2)如果所抽取的100名学生中成绩分布在区间内的有8人，估计该校高三学生这项体育技能成绩低于60分的人数．
【答案】(1)80.4
(2)20
【分析】（1）根据直方图所给出的数据求平均数即可；
（2）根据直方图面积等于1，求出a，再将频率作为概率计算即可.
（1）
由直方图可知：平均成绩 ，
即平均成绩为80.4；
（2）
由于在 内有8人， ，∴a=0.001，
低于60分的人数约为 人；
综上，平均成绩约为80.4分，低于60分的人数约为20人.
变式6-4．对某高校学生参加“走进敬老院送温暖”的活动次数进行统计，随机抽取N名学生，得到这N名学生参加此活动的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图.
分组
频数
频率
10
0.20
24
n
14
0.28
m
p
合计
N
1
(1)求出表中N，p及图中a的值：
(2)若该校有学生3000人，试估计该校学生参加此活动的次数在区间内的人数；
(3)估计该校学生参加此活动次数的众数､中位数及平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，所有结果保留一位小数）
【答案】(1)，，
(2)
(3)众数是，中位数的为18.1，平均数是18.3
【分析】（1）根据频率、频数和样本容量之间的关系即可求解；
（2）根据区间内频率，可估计该校学生参加“走进敬老院送温暖”活动的次数在区间内的人数；
（3）众数即最高矩形的底边中点的横坐标，中位数利用左右两侧直方图的面积相等计算即可，平均数是每个小矩形的面积与小矩形底边中点横坐标乘积的和.
(1)
由分组对应的频数是10，频率是0.20，可知，所以，
所以，解得，
所以，；
(2)
估计该校学生参加此活动的次数在区间内的人数为人；
(3)
估计该校学生参加此活动次数的众数是.
因为，
所以估计该校学生参加此活动次数的中位数x满足，
解得，所以该校学生参加此活动次数的中位数的为18.1，
由，
所以估计该校学生参加此活动次数的平均数是18.3.
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