初中北师大版1 函数综合训练题

正比例函数（基础）

【学习目标】

1. 理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数的图象；

2. 能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题．

【要点梳理】

要点一、正比例函数的定义

1、正比例函数的定义

一般的，形如 （为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数.

2、正比例函数的等价形式

（1）、是的正比例函数；

（2）、（为常数且≠0）；

（3）、若与成正比例；

（4）、（为常数且≠0）.

要点二、正比例函数的图象与性质

正比例函数（是常数，≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线.当＞0时，直线经过第一、三象限，从左向右上升，即随着的增大也增大；当＜0时，直线经过第二、四象限，从左向右下降，即随着的增大反而减小.

要点三、待定系数法求正比例函数的解析式

由于正比例函数（为常数，≠0 ）中只有一个待定系数，故只要有一对，的值或一个非原点的点，就可以求得值.

【典型例题】

类型一、正比例函数的定义 

1、已知，当为何值时，是的正比例函数？

【思路点拨】正比例函数的一般式为，要特别注意定义满足，的指数为1．

【答案与解析】

解：由题意得，  解得  ＝2

    ∴当＝2时，是的一次函数.

【总结升华】理解正比例函数的概念应抓住解析式中的两个主要特征：（1）不等于零；（2）的指数是1.

举一反三：

【变式】如果函数是正比例函数，那么的值是________．

【答案】

解：由定义得 解得   ∴ ＝2．

类型二、正比函数的图象和性质

2、（2020秋•灵武市校级期中）在同一直角坐标系上画出函数y=2x，y=﹣x，y=﹣0.6x的图象．

【思路点拨】分别在每个函数图象上找出两点，画出图象，根据函数图象的特点进行解答即可．

【答案与解析】

解：列表：

描点，连线：

【总结升华】本题考查的是用描点法画函数的图象，具体步骤是列表、描点、连线.

3、（2020春•马山县期末）已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（﹣6，2），那么函数值y随自变量x的值的增大而　    　．（填“增大”或“减小”）

【思路点拨】根据正比例函数的性质来判断.

【答案】减小；

【解析】解：把点（﹣6，2）代入y=kx，得到：2=﹣6k，

解得k=﹣＜0，

则函数值y随自变量x的值的增大而减小.

【总结升华】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是确定函数中k的值，当＞0时，随着的增大也增大；当＜0时，随着的增大反而减小.

举一反三：

【变式】（2020•伊宁市校级一模）下列关于正比例函数y=﹣5x的说法中，正确的是（　　）

　 A．当x=1时，y=5

　 B．它的图象是一条经过原点的直线

　 C．y随x的增大而增大

　 D．它的图象经过第一、三象限

【答案】B；

解：A、当x=1时，y=﹣5，错误；

B、正比例函数的图象是一条经过原点的直线，正确；

C、根据k＜0，得图象经过二、四象限，y随x的增大而减小，错误；

D、图象经过二四象限，错误；

故选B．

4、如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数、、、 的图象分别为、、、，则下列关系中正确的是（　　）

A．＜＜＜                             B．＜＜＜

C．＜＜＜                             D．＜＜＜

【答案】B；

【解析】首先根据直线经过的象限，知：＜0，＜0，＞0，＞0，再根据直线越陡，||越大，知：＞||，||＜||．则＜＜＜

【总结升华】此题主要考查了正比例函数图象的性质，首先根据直线经过的象限判断的符号，再进一步根据直线的平缓趋势判断的绝对值的大小，最后判断四个数的大小.

类型三、正比函数应用

5、如图所示，射线、分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程与时间的函数关系，则他们行进的速度关系是（    ）．

A．甲比乙快    B．乙比甲快    C．甲、乙同速    D．不一定

【思路点拨】观察图象，在t相同的情况下，有，故易判断甲乙的速度大小．

【答案】A；

【解析】由知，，观察图象，在相同的情况下，有，故有．

【总结升华】此问题中，、对应的解析式中，的绝对值越大，速度越快．

举一反三：

【变式】如图，OA，BA分别表示甲、乙两名学生运动的函数图象，图中和分别表示运动路程和时间，根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快（    ）

A.2.5米        B.2米       C.1.5米       D.1米

【答案】C；

提示：从图中可以看出甲用了8秒钟跑了64米，速度是8米/秒，乙用了8秒钟跑了52米，速度是米/秒，所以快者的速度比慢者的速度每秒快1.5米.