3.3.1导数的恒能成立问题、零点问题、不等式证明问题（题型战法）-备战高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

第三章 导数

3.3.1导数的恒能成立问题、零点问题、不等式证明问题（题型战法）

题型战法

一 对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．

4、问题：对任意，均存在，使得成立，可转化为求参数的取值范围。

二 对于利用导数研究零点问题的求解策略：

1、研究函数零点问题，要通过数的计算(函数性质、特殊点的函数值等)和形的辅助，得出函数零点的可能情况；

2、函数可变零点(函数中含有参数)性质的研究，要抓住函数在不同零点处函数值均为零，建立不同零点之间的关系，结合零点的存在性定理，把多元问题转化为一元问题，再使用一元函数的方法进行研究．

三 对于利用导数证明不等式的求解策略：

1、     不含参的不等式证明过程：移项，构造新函数，求函数的最值。

2、含n的不等式证明：观察问题形式（或由前面的问题），得出所需构造的不等式，构造新函数，利用函数的最值证明所构造的不等式成立，从而证明原不等式成立。

题型战法

题型战法一 利用导数处理恒成立问题

典例1．设函数．

(1)求的单调区间；

(2)若对任意的，都有成立，求实数a的取值范围．

变式1-1．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围．

变式1-2．已知函数（是正常数）.

（1）当时，求的单调区间与极值；

（2）若，，求的取值范围；

变式1-3．已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，证明：时，当恒成立.

变式1-4．已知函数

（1）求的极值点；

（2）若对任意恒成立，求的取值范围．

题型战法二 利用导数处理能成立问题

典例2．已知函数，当时，的极小值为，当时，有极大值．

(1)求函数；

(2)存在，使得成立，求实数的取值范围．

变式2-1．已知函数．

(1)当时，求的单调区间；

(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．

变式2-2．已知函数，设在点处的切线为

（1）求直线的方程；

（2）求证：除切点之外，函数的图像在直线的下方；

（3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围

变式2-3．已知函数．

（1）若在点处的切线斜率为．

①求实数的值；

②求的单调区间和极值．

（2）若存在，使得成立，求的取值范围．

变式2-4．已知函数.

（1）当a=1时，求曲线在x=1处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）若存在，使得，求a的取值范围.

题型战法三 利用导数处理恒、能成立结合问题

典例3．已知函数．

(1)当时，求函数在区间上的最大值和最小值;

(2)若对任意的，均存在，使得，求a的取值范围．

变式3-1．已知函数．

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)设函数．若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围．

变式3-2．已知函数

(1)若曲线在和处的切线互相平行，求的值与函数的单调区间；

(2)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围．

变式3-3．已知函数，为的导函数．

(1)求的定义域和导函数；

(2)当时，求函数的单调区间；

(3)若对，都有成立，且存在，使成立，求实数a的取值范围．

变式3-4．已知函数，其中.

(1)求的单调区间；

(2)是否存在，使得对任意恒成立？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由.

题型战法四 利用导数讨论零点的个数

典例4．已知函数.

(1)当时，求的单调区间；

(2)当时，讨论的零点个数.

变式4-1．已知

(1)当时，求的单调性；

(2)讨论的零点个数．

变式4-2．已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)设函数，试讨论的零点个数.

变式4-3．已知函数

(1)求函数的单调区间.

(2)若，求函数在区间上的零点个数.

变式4-4．设函数.

(1)若函数在定义域上单调递减，求a的取值范围；

(2)当时，讨论函数零点的个数.

题型战法五 根据零点个数求参数

典例5．已知，函数．

(1)求函数的极值：

(2)若函数无零点，求的取值范围．

变式5-1．已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)若函数至多有两个零点，求实数a的取值范围.

变式5-2．设函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)若关于的方程有三个不等实根，求实数的取值范围.

变式5-3．已知函数（）

(1)求在处的切线方程；

(2)当有3个零点时，求的取值范围．

变式5-4．已知函数在处取得极值.

(1)求在上的最小值；

(2)若函数有且只有一个零点，求b的取值范围.

题型战法六 利用导数证明一般不等式

典例6．已知函数，，函数与函数的图象在交点处有公共切线.

（1）求、的值；

（2）证明：.

变式6-1．已知函数，．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)证明：．

变式6-2．已知，，．

(1)当时，求函数的极值；

(2)当时，求证：．

变式6-3．已知函数在处的极值为2，其中．

（1）求，的值；

（2）对任意的，证明恒有．

变式6-4．已知函数 ．

（1）若 ，求的极值；

（2）证明：当 时，．

题型战法七 利用导数证明含n的不等式

典例7．已知函数．

(1)若函数在处取得极值，求实数的值，并求函数的极值；

(2)①若当时，恒成立，求实数的取值范围；

②证明：当时，．

变式7-1．已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若函数的最大值为，求证：.

变式7-2．已知函数.

(1)若在处的切线与直线平行，求的极值；

(2)若函数的图象恒在直线的下方.

①求实数的取值范围；

②求证：对任意正整数，都有.

变式7-3．已知函数， .

(1)试讨论f（x）的单调性；

(2)若对任意 ， 均有 ，求a的取值范围；

(3)求证: .

变式7-4．已知函数.

(1)试判断函数在上单调性并证明你的结论；

(2)若对于恒成立，求正整数的最大值；

(3)求证：．