3.3.2导数的恒能成立问题、零点问题、不等式证明问题（针对练习）-备战高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

这是一份3.3.2导数的恒能成立问题、零点问题、不等式证明问题（针对练习）-备战高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用），文件包含332导数的恒能成立问题零点问题不等式证明问题针对练习-备战高三数学一轮复习题型与战法精准训练新高考专用解析版docx、332导数的恒能成立问题零点问题不等式证明问题针对练习-备战高三数学一轮复习题型与战法精准训练新高考专用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共59页， 欢迎下载使用。
第三章 导数
3.3.2 导数的恒能成立问题、零点问题、不等式证明问题（针对练习）
针对练习
针对练习一 利用导数处理恒成立问题
1．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若在上恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）求导得，然后分情况讨论即可通过导函数的正负确定的单调性. （2）将问题先转化为在上恒成立.
，构造函数，，对 进行分情况讨论，求的最小值，即可求解.
(1)
的定义域是，.
①当时，恒成立，所以在上单调递增；
②当时，令，解得或（舍），令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
(2)
若在上恒成立，即在上恒成立.
令，，
则.
当时，，，不符合题意；
当时，在上恒成立，所以在上单调递减，又，所以，不符合题意；
当时，若，即，在上恒成立，所以在上单调递增，又，所以在上恒成立，符合题意.
若，即，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，不符合题意；
若，即，在上恒成立，所以在上单调递减，又，所以，不符合题意.综上所述，实数a的取值范围是.
2．已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)极大值为；极小值为.
(2).
【解析】
【分析】
（1）由可得极值点为或，代入即可求得极值；
（2）参变分离变形可得，令，只要即可.
(1)
根据题意，
由，
令 可得或，
或时，，
时，，
所以的递增区间为，
递减区间为，
所以极大值为，
极小值为，
(2)
，
可得，
由可得，
令，
由可得，
当时，，为增函数，
当，，为减函数，
，
所以，
所以实数的取值范围为.
3．已知函数．
(1)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(2)求函数的极值点．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意可得，令，将问题转化为，求出 在上的最小值即可；
（2）求导可得，分，，，讨论的正负，从而得到的单调性，进一步得到的极值点.
(1)
由可得：，即，
令，则问题转化为，
因为，
所以当时， ，单调递减；
当时，，单调递增．
所以，所以，
故的范围为：.
(2)
因为，
所以，
当时，，
当，，单调递减；
当时，，单调递增，此时的极值点为；
当时，令，得，，
当时，，
当和时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以此时的极值点为和；
当时，，此时，单调递增，无极值点；
当时，，
当和时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以此时的极值点为和；
综上所述：当时，极值点为；当时，无极值点；当或时，极值点为和.
4．已知函数．
(1)若在上仅有一个零点，求实数a的取值范围；
(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【解析】
【分析】
（1）求导，，分和讨论求解；
（2）对任意的，恒成立，转化为在上恒成立求解．
(1)
解：，，
当时，恒成立，所以在上单调递增．
又，，
所以此时在上仅有一个零点，符合题意；
当时，令，解得；令，解得，
所以在上单调递增，所以在上单调递减．
要使在上仅有一个零点，则必有，解得．
综上，当或时，在上仅有一个零点．
(2)
因为，所以对任意的，恒成立，
等价于在上恒成立．
令，则只需即可，
则，
再令，则，
所以在上单调递增．
因为，，所以有唯一的零点，且，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为，所以，
设，则，
所以函数在上单调递增．
因为，所以，即．
所以，
则有．
所以实数a的取值范围为．
5．已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与轴平行，求该切线的方程；
(2)若，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据导数的几何意义，结合平行线的性质进行求解即可；
（2）对已知不等式进行变形，构造函数，利用导数的性质分类讨论进行求解即可.
(1)
由题意得，则，得.
又，
所以该切线的方程为；
(2)
由，可得.
令，，则，即，
当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，，即当时，在不恒成立；
当时，，在上单调递减，恒有，所以，符合题意.
综上，的取值范围为.
【点睛】
关键点睛：构造新函数，利用导数的性质分类讨论是解题的关键.

针对练习二 利用导数处理能成立问题
6．已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)在内存在x，使不等式成立，求实数a的取值范围；
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)
【解析】
【分析】
（1）求导，利用导数讨论函数的单调性，由单调性判断极值情况，然后可得；
（2）将问题转化为，结合（1）可知.
(1)
∵，定义域为
∴
设，可得或（舍），
由，得；由，得，
所以的单调增区间为，单调减区间为；
当x变化时，，的变化情况如下表：


1


-
0
+

单调递减

单调递增

当时，有极小值，并且极小值为，无极大值.
(2)
在内存在x，使不等式成立
等价于，由（1）知
所以，即a的取值范围为
7．已知函数f(x)＝ax－2lnx．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设函数g(x)＝x－2，若存在，使得f(x)≤g(x)，求a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据实数a的正负性，结合导数的性质分类讨论求解即可；
（2）利用常变量分离法，通过构造函数，利用导数的性质进行求解即可.
(1)

当a≤0时，在(0，＋∞)上恒成立；
当a＞0时，令得；令得；
综上：a≤0时f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
a＞0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增；
(2)
由题意知 ax－2lnx≤x－2 在(0，＋∞)上有解
则ax≤x－2＋2lnx，．
令，
x



g'(x)
＋
0
－
g(x)
↗
极大值
↘
所以，因此有
所以a的取值范围为：
【点睛】
关键点睛：运用常变量分离法利用导数的性质是解题的关键.
8．已知函数
(1)当时，求曲线在点（0，f（0））处的切线方程；
(2)若存在，使得不等式成立，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用导数求出切线的斜率，即可求出切线方程；
（2）把题意转化为：存在，使得不等式成立，构造新函数，对m进行分类讨论，利用导数求
，解不等式，即可求出m的范围.
(1)
当时，,定义域为R，.
所以，.
所以曲线在点（0，f（0））处的切线方程为：，
即.
(2)
不等式可化为：，
即存在，使得不等式成立.
构造函数，则.
①当时，恒成立，故在上单调递增，故，解得：，故；
②当时，令，解得：令，解得：故在上单调递减，在上单调递增，又，故，解得：，这与相矛盾，舍去；
③当时，恒成立，故在上单调递减，故，不符合题意，应舍去.
综上所述：m的取值范围为：.
9．已知函数．
(1)证明：曲线在点处的切线l恒过定点；
(2)若存在使得，求k的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用的导数求出在点，的斜率，再求出其切线方程，最后证明过定点；
（2）构造函数，讨论的范围，结合切线放缩及三角放缩得到的取值．
(1)
证明：由得，则，故切线l为，即，恒过定点．
(2)
即，设，
令，则时，时，，
所以，即，故当时，不成立；
当时，对于，，，
单调递增，，故存在唯一．使得，
时，，符合题意；
当时，对于有，则对任意的，都有成立．
综上，k的取值范围是．
10．已知，在上是单调递增函数.
(1)求a的最小值；
(2)当实数a取最小值时，若存在实数x使不等式成立，求实数k的取值范围.
【答案】(1)2；(2).
【解析】
【分析】
(1)结合已知条件，利用在恒成立问题即可求解；(2)根据已知条件对不等式分离参数，然后构造新函数，利用导函数求最值的方法即可求解.
【详解】
(1)由题意可知，在恒成立，
故在恒成立，即，解得，
故的最小值为2；
(2)当时，存在实数x使不等式成立，
由可知，存在实数x使不等式成立，即成立，
不妨令，即，
由，；；
故在上单调递增，在单调递减，
从而的最大值为，即，
故实数k的取值范围为.

针对练习三 利用导数处理恒、能成立结合问题
11．已知，函数，.
（1）求在上的最小值；
（2）若对于任意，总存在，使得成立，求a的取值范围.（已知当时，函数在上单调递减，在上单调递增）
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数对称轴是否在区间内，分为，，三种情况讨论即得解；
（2）转化为，根据的单调性分，，三种情况求解，再分类讨论求解即可
【详解】
（1）因为，所以函数图象的对称轴方程.
若，即，则在上单调递增，；
若，即，则在上单调递减，在上单调递增，；
若，即，则在上单调递减，.
综上，
（2）由题意知，原不等式等价于在内，成立，
若，则在上单调递增，.
若，则在上单调递减，在上单调递增，.
若，则在上单调递减，.
故当时，则，解得；
当时，则，解得；
当时，则，不等式无解；
当时，则，因为，，所以不等式无解；
当时，则，因为，所以不等式无解.
综上，a的取值范围为.
12．已知函数．（注：是自然对数的底数）
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若只有一个极值点，求实数a的取值范围；
(3)若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据导数的几何意义，结合点斜式求切线方程；（2）讨论的符号，判断的单调性，进而确定的零点；（3）要使取到最小值，则，分析可得结合零点代换处理．
(1)
当时，，故，
故在点处的切线方程为，化简得．
(2)
由题意知有且只有一个根且有正有负．
构建，则
①当时，当时恒成立，在上单调递增，
因为，
所以有一个零点，即为的一个极值点；
②当时，当时恒成立，即无极值点；
③当时，当；当，
所以在单调递减，在上单调递增，
故，
若，则即.
当时，，
当时，,
设，故，
故在上为增函数，故，
故，
故当时，有两个零点，此时有两个极值点．
当时，当时恒成立，即无极值点；
综上所述：．
(3)
由题意知，对与任意的，使得恒成立，则，又要使取到最小值，则．
当时，，故，所以的最小值为e；
当时，当时，，
所以无最小值，即无最小值；
当时，由（2）得只有一个零点，即且
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
此时，因，所以代入得，
令，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，此时，
所以的最小值为．
13．设函数，函数．
（1）求证：方程仅有一个实根；
（2）若对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）结合函数的单调性即可判断函数零点个数.
（2）在上的最小值大于在上的最小值，计算函数的最小值并讨论函数的最大值即可.
【详解】
（1），
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，故，
又时时，，所以方程仅有一个实根；
（2）由题意可知，在上的最小值大于在上的最小值．
因为，当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增．，即函数在上的最小值为．
函数为直线，当时，，显然不符合题意；
当时，在上单调递增，的最小值为，则，与矛盾；
当时，在上单调递减，的最小值为，则，即，符合题意．
故实数的取值范围是．
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
14．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若对任意，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案不唯一，具体见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出函数的定义域与导函数，令，求出所对应的两根，再对两根的大小关系分类讨论，分别求出函数的单调区间；
（2）)先求得，转化为，对任意恒成立，再构造函数，求其最小值得解.
(1)
解：因为，，
所以，令，
解得，，
当时，，由得或，由得，
所以在区间和上函数单调递增，在区间上函数单调递减．
当时，，所以函数在单调递增，没有减区间．
当时，，由得或，由得，
所以在区间和上函数单调递增，在区间上函数单调递减．
(2)
解：由（1）知，当时，函数在上单调递增，故当时，，
因为对任意，存在，使得不等式成立，所以，得，对任意恒成立．
记，则，
当时，，
若，则，从而，所以函数在上单调递增，所以当时，，符合题意，
若，则存在，使得，则在上单调递减，在上单调递增，
从而当时，，说明当时，不恒成立，不符合题意，
若，则，在上单调递减，所以当时，，不符合题意．
综上，实数的取值范围是．
15．设为实数，函数，.
(1)若函数轴有三个不同交点，求的范围
(2)对于，，都有，试求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极大值和极小值；由条件，从而可得答案.
（2）分析可知，利用导数求得函数在上的最小值，求出函数在上的最大值，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
(1)

由，解得 或；由解得
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
又时，；时，
函数轴有三个不同交点，则 解得
所以函数轴有三个不同交点，实数的取值范围
(2)
对于，，都有，则.
由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，，
因为，且，则且不恒为零，
故函数在上单调递增，故，
由题意可得，故.
所以实数a的取值范围为

针对练习四 利用导数讨论零点的个数
16．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)讨论在上的零点个数．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）求得，对参数进行分类讨论，根据不同情况下导数的正负即可判断对应的单调性；
（2）根据（1）中所求函数的单调性，结合零点存在定理，逐一分析每种情况下函数零点的个数即可.
(1)
因为，则，
当时，，此时在上单调递减；
当时，令，可得，
则当时，，单调递增，
当时，，单调递减.
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在单调递增，在上单调递减.
(2)
当时，在上单调递减，又，
故当时，，故此时在无零点；
当时，，故在单调递减，
同时，此时在无零点；
当时，，故在单调递增，在单调递减，
，
若，即时，，故在无零点；
若，即时，，此时在有一个零点；
若，即时，，
又因为，故在上一定存在一个零点；
又因为，且，故在上也一定存在一个零点；
下证：
，
令，则，即在单调递减，
故，即
故.
故当时，有两个零点.
综上所述：当时，在无零点；
时，在有一个零点；
时，有两个零点.
【点睛】
本题考察利用导数研究含参函数的单调性，以及函数的零点个数，涉及零点存在定理，属综合中档题.
17．已知，函数.
(1)证明：在上有唯一的极值点；
(2)当时，求在上的零点个数.
【答案】(1)证明见解析
(2)2个
【解析】
【分析】
(1)对函数求导，记，，利用导数讨论的单调性，进而得到的单调性，结合零点的存在性定理即可得出结论；
(2)利用导数讨论函数的单调性，结合零点的存在性定理对区间分类讨论即可.
(1)
证明：，
记，，
则.
由得在上恒成立，从而在上为增函数，
并且，.
根据零点存在性定理可知，存在唯一的使得，
并且当时，，当时，.
由于，因此当时，，
当时，，当时，，
所以是在上唯一的极值点.
(2)
当时，，并且根据（1）知
存在使得在上为减函数，在上为增函数.
由于，从而.
由于，，
根据零点存在性定理可知，在上存在唯一的零点，在上无零点；
当时，，
因此函数在上无零点；
当时，记，则，
所以在上为减函数，所以，
即对恒成立.
因此当时有，
因此，结合知函数在上存在唯一的零点，
在上无零点.
综上所述，函数在上共有2个零点.
18．已知函数.
（1）当时，求的单调性及零点的个数；
（2）当时，求的零点的个数.
【答案】（1）单调递减；一个零点；（2）有且仅有一个零点.
【解析】
【分析】
(1)利用二次求导讨论函数的单调性，进而得出零点的个数；
(2)利用三次求导讨论函数的单调性，进而得出函数零点的个数.
【详解】
解：（1），，
当时，，所以单调递减.
又因为，，
所以，有，所以存在一个零点
（2）当时，，，
所以单调递增，
又，，
所以，有，
且有时，，单调递减；
时，，单调递增，
又因为，，
所以，有.
又当时，，，所以.
所以当时，，单调递减；
时，，单调递增，
又，，
所以存在，有，
当时，，，所以有，
当，有.
所以，当时，函数有且仅有一个零点
19．已知函数[1，.
（1）若，求的最大值；
（2）讨论y=f(x)零点的个数.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用导数定义得到，然后利用导数求导公式求出a，再根据导数求最值；
（2）通过变量分离，问题转化为根的情况，令，根据导数研究函数的单调性，即可求解..
【详解】
（1），
,
则，，
，
，在上为增函数，
.
（2），即，

设，
则，
时，，
在上递增，
当时，，
在上递减，
当时，，且
或时，无零点，
当或 时一个零点，当时有两个零点.
20．已知函数
(1)判断函数的单调性，并求出的极值；
(2)设，讨论函数的零点个数．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案不唯一，具体见解析
【解析】
【分析】
（1）根据导数研究函数单调性，求解极值即可；
（2）将问题转化为直线与函数的图像公共点问题，进而数形结合求解即可；
(1)
解：函数的定义域为． ，解得
所以，当时，单调递减；
当时，单调递增．
所以，当时，取得极小值，没有极大值．
(2)
解：根据题意，函数的零点问题转化为直线与函数的图像公共点问题．
由（1）知，时，单调递减；时，单调递增．
当趋近于时，趋近于，趋近于时，趋近于，
所以，的大致图像如图，

情形1． 或时，直线与函数的图象有一个公共点，函数的零点个数为1．
情形2： 时，直线与函数的图象有两个公共点，函数的零点个数为2．
情形3：时，直线与函数的图象没有公共点，函数的零点个数为0．

针对练习五 根据零点个数求参数
21．已知函数.
(1)当时，求f（x）的极值；
(2)若函数f（x）至少有两个不同的零点，求a的最大值.
【答案】(1)极大值，极小值
(2)-3
【解析】
【分析】
（1）先求出单调区间再分别求出极值；
（2）通过参变分离转化为研究的单调性和图像，进而求出参数范围.
(1)
解：f（x）的定义域是（0，+∞），当时，
.
或.
或，故f（x）在区间（0，）与（1，+∞）单调递增，
，故f（x）在区间单调递减
所以当时，f（x）有极大值
当时，f（x）有极小值
(2)
f（x）至少有两个不同的零点，
则等价于方程至少有两个相异实数根，
由，得
设，则，
令，则，
令，可得或（舍）.
所以在（0，）上，，h（x）单调递减，
在（，+∞）上，，h（x）单调递增，
所以函数h（x）的最小值为，
又，所以当时，
又，
因此必存在唯一，使得.
当x变化时，h（x），，F（x）的变化情况如下表
x



1

h（x）
+
0
-
0
+

+
0
-
0
+
F（x）
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增

当时，F（x）有极大值，当时，F（x）有极小值F（1）
又，，且时，
所以可得时，
直线与函数的图象至少有两个公共点，
所以a的最大值为-3.
22．已知函数.
(1)若在处取得极值，求在区间上的值域；
(2)若函数有1个零点，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）求导，利用导数判断在区间上的单调性，然后由单调性可得值域；
（2）当时，将问题转化为两个函数的交点问题可得；当时，直接判断可知；当时，利用导数求极值，通过极值结合问题分析可解.
(1)

因为在处取得极值
所以，得
则时，，在区间上单调递增，
所以
所以在区间上的值域为
(2)
的定义域为
函数有一个零点有一个实数根与有一个交点.
当时，由图可知满足题意；

当时，在上无零点；
当时，令，得
令，得
所以，当时，有最大值
因为函数有一个零点，
所以，解得
综上，a的取值范围为.
23．已知函数.
(1)求的极值；
(2)若有两个零点，求实数m的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题知，进而分和两种情况讨论求解；
（2）结合（1）得当时，不可能有两个零点；当时，只需的极小值，进而令函数，，再根据单调性和解不等式即可.
(1)
解：，
所以，当时， 恒成立，函数在上单调递增，无极值；
当时，令得，令得，
此时函数在上单调递增，在上单调递减；
所以当时，取得极小值，无极大值.
综上，当时，无极值；当时，时取得极小值，无极大值.
(2)
解：由，
所以，当时，由（1）知，函数在上单调递增，不可能有两个零点；
当时，由（1）知在上递减，上递增，
的极小值为，
又，趋向正无穷时趋于正无穷大，
所以只需，即可保证有两个零点.
故令且，则，
所以递减，又，
所以，
所以时，有两个零点.即m的取值范围是.
24．函数．
(1)若函数有2个零点，求实数a的取值范围；
(2)若在上的值域为，求实数a的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用导数求出函数的单调性和最小值，由最小值小于即可解得结果；
（2）根据得到，得到函数在上为减函数，进而求出最小值和最大值，结合已知的值域列式可求出的值.
(1)
的定义域为，
，
当时，，当时，，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以当时，取得最小值，为，
因为当趋近于时，趋近于，当趋近于正无穷时，也趋近于正无穷，
所以若函数有2个零点，则，解得.
(2)
由（1）可知，函数在上为减函数，在上为增函数，且的最小值，为，
若在上的值域为，则，即，所以，
所以函数在上为减函数，
所以，，解得符合题意；
综上所述：
【点睛】
关键点点睛：第二问中，利用函数在上的最小值小于等于在上的最小值，求出的范围，这样避免分类讨论是解题关键.
25．已知函数．
(1)若，求曲线在点（0，f（0））处的切线方程；
(2)若方程有三个不同的根，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）当时，求出函数的导数，再利用导数的几何意义直接求出切线方程作答；
（2）求出函数的导数，构造函数，再探讨其性质，利用直线与曲线有三个公共点求解作答.
(1)
当时，函数定义域为，
求导得：，
则，而，则有，即，
所以所求切线方程为：．
(2)
函数定义域为，
求导得：，
而方程，
则有三个不同的根，即直线与曲线有三个公共点，
令，则，
当时，，当或时，，
即函数在上单调递增，在和上单调递减，
因为，，
，
在同一坐标系内作出直线及函数的图象，

观察图象得，直线与曲线有三个公共点时，，
所以a的取值范围是．

针对练习六 利用导数证明一般不等式
26．已知函数，.
(1)若在定义域上单调递减，求的取值范围；
(2)若，，证明：当时，.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）分析可知对任意的，恒成立，可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
（2）将所证不等式变形为，令，其中，利用导数求得，即可证得结论成立.
(1)
解：函数的定义域为，，
由题意可知，对任意的，恒成立，
则，解得.
因此，实数的取值范围是.
(2)
证明：当时，，要证，即证，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，则，
因此，当时，，对任意的，.
27．已知．
(1)当时，判断函数零点的个数；
(2)求证：.
【答案】(1)1；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）把代入，求导得函数的单调性，再由作答.
（2）构造函数，利用导数借助单调性证明作答.
(1)
当时，，，当且仅当时取“=”，
所以在R上单调递增，而，即0是的唯一零点，
所以函数零点的个数是1.
(2)
，令，则，因，则，
因此，函数在上单调递增，，，
所以当时，成立.
28．已知函数．
(1)求的最大值；
(2)证明：．
【答案】(1)-1
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）设，利用导数判断单调性，求出的最大值为；
（2）先由（1）可得，证明出；再设，利用导数证明出得到，即证.
(1)
设，∴，
令，解得
当，函数单调递增，
当时，函数单调递减，
∴当时，函数有最大值，最大值为，
(2)
由（1）可得，所以.
再设，∴，
∵，在上恒成立，所以在上单调递增，
∴，∴，
综上可得．
29．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求导可得，再分和两种情况讨论即可；
（2）当根据函数的正负证明，当时，转证，构造函数求导分析单调性与最值即可
(1)
依题意知，，
令得，
当时，在上，单调递减，在单调递增；
当时，在上，单调递增，在单调递减.
(2)
依题意，要证，
①当时，，，故原不等式成立，
②当时，要证：，即证：，
令，则，，
∴在单调递减，∴，∴在单调递减，∴，即，
故原不等式成立.
30．已知函数.
(1)求的最小值；
(2)若，证明：.
【答案】(1)0；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用导数求出函数的单调区间即得解；
（2）即证，设，求出函数的最小值即得证.
(1)
解：由题意可得.
由，得；由，得.
则在上单调递减，在上单调递增，
故.
(2)
证明：要证，即证，
即证.
设，则.
由（1）可知当时，.
由，得，由，得，
则，当且仅当时，等号成立.
即.

针对练习七 利用导数证明含n的不等式
31．已知函数.
(1)当时，求函数的最大值；
(2)证明：对任意正整数n，
【答案】(1)0
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）对函数求导，然后通过导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的最值，
（2）当时，可判断出函数在上递减，从而可得，则，，累加可得答案
(1)
由，得，（）
令，则或，
因为，所以，
所以舍去，
所以当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以当时，取得最大值，
(2)
当时，，则，
所以当时，，
所以在上递减，
所以，所以，
因为，
所以，，
所以，，，……，，
所以，
所以
【点睛】
关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的最值，考查利用导数证明不等式，解题的关键是当时，利用导数可得，在上递减，从而可得，转化为，，然后累加可证得结论，考查数学转化思想，属于较难题
32．已知函数，其中
(1)若有两个极值点，记为
①求的取值范围；
②求证：；
(2)求证：对任意恒有
【答案】(1)①；② 证明见解析；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）① 由题得有两个变号零点，设求出函数的单调性即得解；② 利用极值点偏移的方法证明；
（2）证明，再利用裂项相消求和即得证.
(1)
解：（1）由题得有两个变号零点，
所以有两个变号零点，
设
当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，
当时，，当时，，，
所以.
(2)设，
所以，
所以在单调递增，又，
所以 又，
所以
所以 因为，所以.
(2)
证明：由（1）知， 所以
所以对任意恒有，
所以
所以.
33．已知函数．
(1)若曲线在处的切线与y轴垂直，求零点的个数；
(2)若，且，求证：．
【答案】(1)有且仅有1个零点
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）结合题意得，进而得，进而研究函数的单调性得其在上单调递增，再结合，即可得其零点个数；
（2）结合（1）得，进而得，（当且仅当时，取等号），故令，由得，进而，最后累加求和即可证明.
(1)
解：由得，
∵曲线在处的切线与y轴垂直
∴，即，∴．
∴，．令，
则，由可得，当时，，
当时，．∴在上单调递减，
在上单调递增，∴在处取得最小值，
∴，即恒成立，
∴在上单调递增，
又，，
∴有且仅有1个零点．
(2)
证明：由（1）可知，当时，在上单调递增．
∴当时，，即，
即当时，（当且仅当时，取等号）．
∴，即，（当且仅当时，取等号），
令，由得，
则，
∴，，
，…，，
把以上各式相加可得
，即．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数零点，证明不等式问题，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题第二问解题的关键在于结合第一问得不等式，进而等价变形得，（当且仅当时，取等号），最后令，得，再求和即可.
34．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：；
(3)若且，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由导数的几何意义得出切线方程；
（2）由导数得出单调性，进而得出；
（3）由（2）可得，结合对数的运算证明即可.
(1)
，，
则曲线在点处的切线方程为.
(2)
由（1）可得

即函数上单调递减，在上单调递增，故
(3)
由（2）可得在上恒成立
令，则
则
故
【点睛】
关键点睛：解决第三问时，关键是由导数得出，进而由对数的运算证明不等式.
35．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)证明：.
【答案】(1)当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由函数的定义域为，，分类讨论即能求出函数的单调区间．
（2）由题知，当时，有在恒成立，且在上是减函数，进而可得在，上恒成立，可得，由此能够证明．
(1)
因为（），
所以的定义域为，.
若，则，在上为增函数；
若，则，
当时，，当时，.
综上，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)
当时，由上可知的单调递增区间为，单调递减区间为，有在恒成立，
且在上是减函数，
即在上恒成立，
令，则，
即，
且，
，
即：（，）成立．