中考数学一轮综合复习导学案（3）分式与二次根式

中考一轮综合复习导学案（3）

模块三：分式与二次根式

【教材涉及章节：   初二上第15章 分式与分式方程  初二下第16章  二次根式  】

涉及到2021大连中考题题：

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、分式的有关概念及性质

1．分式

一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.

❤重点讲解❤：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义.

2.分式的基本性质（M为不等于0的整式）.
3．最简分式

分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.

要点二、分式的运算

1．约分　

利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.

2．通分

利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　　

3．基本运算法则

　 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:

（1）加减运算 

 ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.

；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.

（2）乘法运算   ，其中是整式，.

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.

（3）除法运算  ，其中是整式，.

两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.

（4）乘方运算              

分式的乘方，把分子、分母分别乘方.
4．零指数   .
5.负整数指数  　
6.分式的混合运算顺序

　先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.

要点三、分式方程

1．分式方程的概念

分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

2．分式方程的解法

解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．

3．分式方程的增根问题

增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.

❤重点讲解❤：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.

要点四、分式方程的应用
　　列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.

要点五、二次根式的相关概念和性质

1. 二次根式

 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.

❤重点讲解❤：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.

2.二次根式的性质

（1）；
（2）；
（3）.

❤重点讲解❤：（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.

（2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.

（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.

（4）与的异同

不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；

=，=（）.

相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.

3. 最简二次根式

（1）被开方数是整数或整式；

（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.

满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.

❤重点讲解❤：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.

4.同类二次根式

  几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.

 ❤重点讲解❤：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.

要点六、二次根式的运算

1. 乘除法

（1）乘除法法则：

❤重点讲解❤：

（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.

    （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.

2.加减法

 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.

❤重点讲解❤：

二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.

【2021中考汇编】

一、选择题

1. （2021•江苏省苏州市）已知两个不等于0的实数a、b满足a+b＝0，则+等于（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

2. （2021•江西省）计算的结果为（　　）

A．1 B．﹣1 C． D．

3. （2021•山东省临沂市）计算（a﹣）÷（﹣b）的结果是（　　）

A．﹣ B． C．﹣ D．

4. （2021•四川省眉山市）化简（1+）÷的结果是（　　）

A．a+1 B． C． D．

5. （2021•四川省南充市）下列运算正确的是（　　）

A．•＝ B．÷＝  C．+＝ D．﹣＝

6. （2021•天津市）计算的结果是（    ）

A. 3 B.  C. 1 D.

7. （2021•贵州省铜仁市）下列等式正确的是（      ）

A.  B.

C.  D.

8. （2021•浙江省宁波市）要使分式有意义，x的取值应满足（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 2021•黑龙江省大庆市）已知b＞a＞0，则分式与的大小关系是（   ）

A． ＜    B． ＝      C． ＞     D． 不能确定

10. （2021•山东省济宁市）计算÷（a+1﹣）的结果是（　　）

A．   B．   C． D．

11. （2021•甘肃省定西市）下列运算正确的是（　　）

A．+＝3 B．4﹣＝4 C．×＝ D．÷＝4

12. （2021•湖南省常德市）计算：（    ）

A. 0 B. 1 C. D.

13. （2021•湖南省衡阳市）下列计算正确的是（　　）

A．＝±4 B．（﹣2）0＝1 C．+＝ D．＝3

14. （2021•株洲市） 计算：（    ）

A.  B. －2 C.  D.

15. （2021•江苏省苏州市）计算（）2的结果是（　　）

A． B．3 C．2 D．9

16. （2021•河北省）与结果相同的是（　　）

A．3﹣2+1 B．3+2﹣1 C．3+2+1 D．3﹣2﹣1

17. （2021•广东省）若，则（   ）

A．    B．    C．    D．

18. （2021•广东省）设的整数部分为，小数部分为，则的值是（   ）

A．　　　 　   B．   C．　　 　　 D．

19（2021•湖北省恩施州）从，﹣，﹣这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（　　）个．

A．0 B．1 C．2 D．3

20. （2021•青海省）已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足+（2a+3b﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为（　　）

A．8 B．6或8 C．7 D．7或8

21. （2021•浙江省杭州）下列计算正确的是（　　）

A．＝2 B．＝﹣2 C．＝±2 D．＝±2

22. （2021•浙江省湖州市）化简的正确结果是．

   A．4              B．±4            C．          D．

23. （2021•浙江省嘉兴市）能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（　　）

A．x＝﹣1 B．x＝+1 C．x＝3 D．x＝﹣

24. （2021•湖北省荆门市）下列运算正确的是（　　）

A．（﹣x3）2＝x5 B．＝x 

C．（﹣x）2+x＝x3 D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1

25. （2021•重庆市B）下列计算中，正确的是（　　）

A．5﹣2＝21 B．2+＝2 C．×＝3 D．÷＝3

26. （2021•重庆市A）计算的结果是（    ）

A. 7 B.  C.  D.

27. （2021•襄阳市）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

28. （2021•绥化市）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ）

A.  B. 且 C. 且 D.

29. （2021•湖南省娄底市）是某三角形三边的长，则等于（    ）

A.  B.  C. 10 D. 4

二．填空题

1. （2021•湖南省衡阳市）计算：＝　　．

2. （2021•岳阳市）要使分式有意义，则x的取值范围为_________．

3. （2021•四川省南充市）若＝3，则+＝　　．

4. (2021•四川省自贡市)化简： _________．

5. （2021•福建省）已知非零实数x，y满足y＝，则的值等于 　 　．

6. (2021•内蒙古包头市)化简：_____．

7.(2021·安徽省)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数和之间，则的值是______．

8. （2021•湖北省黄冈市）式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是 　   　．

9. （2021•江苏省连云港） 计算__________．

10. （2021•江苏省南京市） 计算的结果是________．

11. （2021•宿迁市）若代数式有意义，则的取值范围是____________．

12. （2021•山东省聊城市）计算：＝_______．

13. （2021•上海市）已知，则___________．

14. （2021•湖北省随州市）2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率精确到小数点后第七位的人，他给出的两个分数形式：（约率）和（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数……现已知，则使用两次“调日法”可得到的近似分数为______．

15. （2021•四川省达州市）已知a，b满足等式a2+6a+9+＝0，则a2021b2020＝　　．

16. （2021•四川省眉山市）观察下列等式：x1＝＝＝1+；x2＝＝＝1+；

x3＝＝＝1+；…

根据以上规律，计算x1+x2+x3+…+x2020﹣2021＝　　．

17. （2021•遂宁市）若，则_____．

18. （2021•天津市）计算的结果等于_____．

19. （2021•青海省）观察下列各等式：

①； ②；③；…

根据以上规律，请写出第5个等式：　           　    ．

20. （2021•山东省威海市）计算的结果是____________________．

21. （2021•贵州省铜仁市）计算______________；

三、解答题

1. （2021•湖南省常德市）化简：

2. （2021•怀化市）先化简，再求值：，其中x＝．

3. （2021•湖南省邵阳市）先化简，再从﹣1，0，1，2，+1中选择一个合适的x的值代入求值．（1﹣）÷．

4. （2021•株洲市）先化简，再求值：，其中．

5. （2021•江苏省南京市）计算．

6. （2021•山东省聊城市） 先化简，再求值：，其中a＝﹣．

7. （2021•四川省达州市）化简求值：（1﹣）÷()，其中a与2，3构成三角形的三边

8. （2021•四川省乐山市）已知，求、的值．

9. （2021•遂宁市） 先化简，再求值：，其中m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且m是整数．

10. （2021•重庆市A）

11. （2021•湖南省张家界市）先化简÷＋，然后从0,1,2,3中选一个合适的值代入求解.

12. （2021•内蒙古通辽市）先化简，再求值：（+x﹣1）÷，其中x满足x2﹣x﹣2＝0．

13. （2021•湖北省江汉油田）计算：

14. （2021•海南省）计算：23+|﹣3|÷3﹣×5﹣1；

15. （2021•内蒙古通辽市）计算：（）﹣1+（π﹣3）0﹣2cos30°+|3﹣|．