专题6-1 数列递推与通项公式22种归类-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

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专题6-1 数列递推与通项公式22种归类

目录
一、热点题型归纳
【题型一】归纳法求通项 2
【题型二】等差等比定义型 3
【题型三】累加法基础：等差等比与裂项求和型 4
【题型四】累加法拔高：换元累加型 5
【题型五】累加法拔高：构造 5
【题型六】累积法 6
【题型七】前n项和型 6
【题型八】二阶等比 7
【题型九】二阶等差数列 7
【题型十】sn与an型：消sn型 8
【题型十一】sn与an型：消an型 8
【题型十二】分式倒数递推 9
【题型十三】新数列前n项和型 9
【题型十四】高次幂取对数型 10
【题型十五】二阶含n等比数列型 10
【题型十六】二阶含n等差数列型 11
【题型十七】因式分解型 11
【题型十八】三阶递推 11
【题型十九】前n项积求通项 12
【题型二十】函数型递推 12
【题型二十一】周期数列 12
【题型二十二】奇偶讨论型 13
二、真题再现 14
三、模拟检测 14
综述：
数列求通项以及递推公式的方法和数学思想是学生学习数列思的比较好的切入点。数列大题第一问往往也考察递推公式为主的求通项。这也是第一轮复习的重点之一。


【题型一】归纳法求通项
【典例分析】
（2021·全国·高三课时练习）根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数.
（1）            __________
      1        6             11                   16              ( )
（2）             __________
     1        4          7            10           ( )
（3）             __________
         3            8             15              24              ( )


2.（2021·江苏·高三专题练习）数列的一个通项公式为________.


【提分秘籍】
基本规律
先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据与项数的关系，猜想数列的通项公式，最后再证明.
一般这类题，选择题很少，因为可以代特殊值求解。
【变式演练】
1.（2021·全国·高三课时练习）根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式__________．


2.（2018·全国·高三课时练习）若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是
A． B．
C． D．

3.（2018·上海市杨浦高级中学高三期末）已知数列、、、、，可猜想此数列的通项公式是（    ）.
A． B．
C． D．
【题型二】等差等比定义型
【典例分析】
（2022·全国·高三课时练习）在数列中，，，则数列的通项公式为________．


【提分秘籍】
基本规律

等差数列判定：
①定义法：“欲证等差，直接作差”，即证an＋1－an＝定值；
②等差中项法：即证2an＋1＝an＋an＋2；
③函数结论法：即an为一次函数或Sn为无常数项的二次函数.
等比数列的判定方法：
(1)定义法：“欲证等比，直接作比”，即证＝q(q≠0的常数)⇔数列{an}是等比数列；
(2)等比中项法：即证a＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列．


【变式演练】
1.（2022·河南·模拟预测（文））已知数列是单调递增的等差数列，若它的前5项的和为105，第2项､第4项､第8项成等比数列，则它的通项公式为（    ）
A．或 B．
C． D．

2.（2019北京·临川学校高三阶段练习（理））成等差数列的三个正数的和等于，并且这三个数分别加上、、后成为等比数列中的、、，则数列的通项公式为
A． B． C． D．

3.（2021·甘肃·静宁县第一中学高三阶段练习（文））数列的各项都是正数，，，那么此数列的通项公式为________．


【题型三】累加法基础：等差等比与裂项求和型
【典例分析】
（2022·全国·高三专题练习）已知是等差数列的前项和，其中，数列满足，且，则数列的通项公式为（    ）
A． B． C． D．


【提分秘籍】
基本规律
累加法：
若在已知数列中相邻两项存在：的关系，可用“累加法”求通项.
其中f（n）是常见可求和的数列通项，如等差，等比，和裂项型求和


【变式演练】
1.（2020·湖南·长郡中学三模（文））已知等比数列满足，且成等差数列．若数列满足（n∈N*），且，则数列的通项公式
A． B． C． D．

2.（2020·内蒙古·包头市第六中学高三期中）在数列{an}中,a1=3, ,则通项公式an = ______.
【题型四】累加法拔高：换元累加型
【典例分析】
在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．


【提分秘籍】
基本规律
通过换元，转化为累加求通项，最后再反解回去。

【变式演练】
1.已知数列满足：，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C．数列的最小项为和 D．数列的最大项为和


2.已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求满足的所有正整数的取值集合.




【题型五】累加法拔高：构造
【典例分析】
已知数列满足，，则数列的通项公式____．
人教A版（2019） 选择性必修第二册 过关斩将 第四章 数列 专题强化练3 数列的递推公式及通项公式

【变式演练】
1.已知数列满足，则______.
浙江省台州市2021届高三下学期4月二模数学试题

2.已知数列满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．2



【题型六】累积法
【典例分析】
（2023·全国·高三专题练习）数列满足：，，则的通项公式为_____________.


【提分秘籍】
基本规律
对于递推公式为，一般利用累乘法求出数列的通项公式，对于递推公式为，一般利用累加法求出数列的通项公式；

【变式演练】
1.（2020·上海黄浦·高三期末）已知数列（）满足，且，则通项公式________.


2.（2020·广东·广州市天河外国语学校高三期中）若数列满足则数列的通项公式____________.
【题型七】前n项和型
【典例分析】
（2021·全国·高三专题练习（文））数列的前项和为，若，且，，成等比数列，则该数列的通项公式为（    ）
A． B． C． D．



【提分秘籍】
基本规律
若在已知数列中存在：的关系，可以利用项和公式，求数列的通项.
【变式演练】
1.（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，则的通项公式为______

2.（2021·天津市红桥区教师发展中心高三期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式是______.
【题型八】二阶等比
【典例分析】
（2019·浙江·余姚中学高三阶段练习）已知数列满足，，则通项公式_______.

【提分秘籍】
基本规律
二阶等比构造法有两种方法：
1.形如 为常数）,构造等比数列。特殊情况下，
当q为2时，=p，
2.形如，变形为，新数列累加法即可
【变式演练】
1.（2021·贵州·遵义市第五中学高三阶段练习）设数列满足，，则的通项公式___________.

2.（2021·宁夏六盘山高级中学高三期中（理））已知数列{an}中，a1=1，an=3an﹣1+4（n∈N*且n≥2），，则数列{an}通项公式an为
A．3n﹣1 B．3n+1﹣8 C．3n﹣2 D．3n
【题型九】二阶等差数列
【典例分析】
已知数列an,bn满足a1=1，an+1=1-14an，bn=22an-1，其中n∈N+．
(1)求证：数列bn是等差数列，并求出数列an的通项公式；
(2)略．

【变式演练】
1.已知数列有，是它的前项和，且．（1）求证：数列为等差数列.
（2）略.

2.在数列中，，.
（1）求，；（2）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
【题型十】sn与an型：消sn型
【典例分析】
（2022·云南·二模（文））已知数列的前n项和为.若，则数列的通项公式为___________.


【提分秘籍】
基本规律
与的递推关系求，常用思路是：利用转化为的递推关系，再求其通项公式；时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.

【变式演练】
1.（2021·江西赣州·一模（理））记为数列的前n项和．若，，则数列的通项公式为______．

2.（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列的前项和为，若，且，则数列的通项公式为___________.
【题型十一】sn与an型：消an型
【典例分析】
（2021·江苏·高三课时练习）已知数列的前n项和为，且满足，，则的通项公式为_________．

【提分秘籍】
基本规律
与的递推关系求，也可以结合式子结构与数据，利用转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式
【变式演练】
1.（2020·辽宁·高三阶段练习）已知数列的各项均为正数，其前项和为，若，且，则数列的通项公式为______．

2.（2021·全国·高三课时练习）已知各项为正数的数列的前项和为，且，，则数列的通项公式为_________.
【题型十二】分式倒数递推
【典例分析】
（2020·山西·怀仁市大地学校高中部高三阶段练习（文））在数列中，，且，则其通项公式为（    ）
A． B．
C． D．

【提分秘籍】
基本规律
形如，可以取倒数变形为
【变式演练】
1.（2021·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式为（    ）
A． B． C． D．

2.（2022·全国·高三专题练习）已知在数列中，，，则数列的通项公式为______.
【题型十三】新数列前n项和型
【典例分析】
.（2023·全国·高三专题练习）数列满足：，，则数列的通项公式___________.

【提分秘籍】
基本规律

形如，可以设

【变式演练】
1.（2020·四川·宁南中学高三开学考试（理））数列满足， ，写出数列的通项公式__________.

2.（2019·江苏·高三专题练习）已知，则数列的通项公式________．
【题型十四】高次幂取对数型
【典例分析】
（2021·全国·高三课时练习）已知数列，，，则数列的通项公式为______.


【提分秘籍】
基本规律
形如，可以 通过取对数构造等比数列求通项公式
【变式演练】
1.（2021·全国·高三课时练习）设正项数列满足，，则数列的通项公式是______．

2.（2020·上海市进才中学高三期末）数列中，若，，则的通项公式为________.
【题型十五】二阶含n等比数列型
【典例分析】
（2021·全国·高三课时练习）已知数列满足，则数列的通项公式_________.

【提分秘籍】
基本规律
形如，可以构造等比数列求通项。通过配凑构造等比，如果配凑不容易观察，可以待定系数来构造
【变式演练】
1.（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，．数列满足，则数列的通项公式为________．

2.（2021·江西·高三阶段练习（理））已知首项为的数列的前项和为，若，则的通项公式为________．
【题型十六】二阶含n等差数列型
【典例分析】
（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}中，a1＝1，，则数列{an}的通项公式an＝________.

【提分秘籍】
基本规律
形如，可以同除来构造等差数列求通项。，
【变式演练】
1.（2017·四川泸州·一模（理））已知数列的前项和（），则数列的通项公式__________．

2.（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，求数列的通项公式___________
【题型十七】因式分解型
【典例分析】
（2023·全国·高三专题练习）设是首项为1的正项数列，且 ，求通项公式=___________

【变式演练】
1.（2023·全国·高三专题练习）设是首项为1的正项数列且，且，求数列的通项公式_________

2..（2023·全国·高三专题练习）设数列是首项为1的正项数列，且，则它的通项公式______.
【题型十八】三阶递推
【典例分析】
（2022·全国·高三课时练习）已知数列满足，，且（，），则数列的通项公式为______．


【提分秘籍】
基本规律
形如，常凑配系数构等比数列。
【变式演练】
1.（2021·江苏·泰兴市第一高级中学高三期中）已知是数列的前项和，，，，求数列的通项公式___________.

2.（2021·江苏·高三单元测试）在数列中，，，且对任意的，都有，则数列的通项公式为______．
【题型十九】前n项积求通项
【典例分析】
（2022·宁夏石嘴山·一模（理））已知为数列的前n项积，若，则数列的通项公式
A． B． C． D．

【变式演练】
1.（2022·全国·高三专题练习）设正项数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项之积为Tn，且Sn＋Tn＝1，则数列{an}的通项公式是__________.
2.（2021·河南·一模（理））设正数数列的前项和为，数列的前项之积为，且，则数列的通项公式是______．
【题型二十】函数型递推
【典例分析】
（2021·全国·高三专题练习（理））已知是上的奇函数，,,则数列的通项公式为（    ）
A． B． C． D．

【变式演练】
1.（2023·全国·高三专题练习）已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为（    ）
A． B． C． D．

2.（2022·全国·高三单元测试）若()，则数列的通项公式是___________.
【题型二十一】周期数列
【典例分析】
已知数列满足，，，则_________．
江苏省涟水中学2019-20120学年高三下学期第一次模拟考试数学试题

【提分秘籍】
基本规律
周期数列
1.若数列{an}满足
2.若数列{an}满足
3.若数列{an}满足
4.若数列{an}满足
5.若数列{an}满足
6.
【变式演练】
1.已知数列中，，则___________.

2.数列中，，()，表示数列的前项之积，________.

【题型二十二】奇偶讨论型
【典例分析】
（2021·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为______．

【提分秘籍】
基本规律
讨论型：
1.分段数列
2.奇偶各自是等差，等比或者其他数列
【变式演练】
1.（2021·全国·高三阶段练习（理））已知数列满足，，数列的奇数项单调递增，偶数项单调递减，若，在数列的通项公式为______．

2.已知数列满足，则的前40项和为__________．


1.（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；(2)证明：．

2.（2021·浙江·高考真题）已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.

3.（2020·全国·高考真题（理））设数列{an}满足a1=3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．


4.（2017·全国·高考真题（文））设数列满足.
（1）求的通项公式；（2）求数列 的前项和．

5.（2019·全国·高考真题（理））已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.


1.（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校高三期中）数列的一个通项公式是（    ）
A． B． C． D．

2.（2022·浙江省杭州学军中学高三阶段练习）在等差数列中，，且，，成等比数列，则的通项公式为（    ）
A． B．
C．或 D．或

3..（2020·云南省楚雄天人中学高三阶段练习）已知数列满足，则的通项公式为（    ）
A． B． C． D．

4.已知数列满足，，则__________．

5.已知数列中，，，，则的取值范围是_____________．


6.（2022·全国·高三课时练习）已知，，则数列的通项公式是（    ）
A． B． C． D．n

7.（2020·福建·厦门一中高三阶段练习）已知函数的前n项和满足，则数列的通项公式为（    ）
A． B． C． D．

8.（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知首项为1的数列的前项和为，且，则数列的通项公式为___________.

9.（2023·全国·高三专题练习）设数列的前项和为，若，，则的通项公式为__________．

10.（2020·黑龙江·哈尔滨市第一中学校高三期末）各项均不为零的数列的前n项和为，且，，则数列的通项公式为_________．

11.（2019·江西吉安一中高考模拟（理））设数列满足
（1）求证：数列是等差数列；（2）略.

12.（2021·全国·高三专题练习）数列满足，则数列通项公式为=________.

13.（2021·甘肃·武威第六中学模拟预测（理））已知数列满足，．数列的通项公式是______．

14.（2022·全国·高三课时练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为（    ）
A． B． C． D．

15..（2021·全国·高三专题练习）若数列满足，，则数列的通项公式________.

16.（2016·辽宁沈阳·高三期末）已知数列中，,,则数列的通项公式______．
17.已知正项数列的前项和满足=,
(1)求数列的通项公式;
(2)设=是数列的前项和,证明:对于任意都有.



18.（2022·全国·高三课时练习）已知数列满足，数列的通项公式是______．

19.（2021·河北省唐县第一中学高三期中）已知函数，把函数的零点按照从小到大的顺序排成一个数列，则该数列的通项公式为 ．
A． B．
C． D．


20.在数列中，若，并有对且恒成立；则_______________．



21.已知数列的前项和为，且，，则
A．200 B．210 C．400 D．410