中考一轮综合复习导学案（14）三角形中的线段与角及其证明

这是一份中考一轮综合复习导学案（14）三角形中的线段与角及其证明，共10页。学案主要包含了思考探究，拓展延伸等内容，欢迎下载使用。
中考一轮综合复习导学案（14）
模块十四（专项）：三角形中的线段与角及其证明
【教材涉及章节： 初二上册第11章 三角形】
涉及到2021大连中考题题：
一、选择题
1. (2021·安徽省)两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
2. （2021•怀化市）如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（　　）
A．AD+BD＜AB B．AD一定经过△ABC的重心
C．∠BAD＝∠CAD D．AD一定经过△ABC的外心
3. （2021•岳阳市）将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线，则的大小为（ ）

A. B. C. D.
4. （2021•宿迁市）如图，在△ABC中，∠A=70°，∠C=30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是（ ）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
5. （2021•陕西省）如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE．若∠A＝35°，∠C＝50°，则∠1的大小为（　　）
A．60° B．70° C．75° D．85°
6. （2021•河北省）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B．
证法1：如图，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理），
又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义），
∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代换）．
∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）．
证法2：如图，
∵∠A＝76°，∠B＝59°，
且∠ACD＝135°（量角器测量所得）
又∵135°＝76°+59°（计算所得）
∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）．
下列说法正确的是（　　）
A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B．证法1用严谨的推理证明了该定理
C．证法2用特殊到一般法证明了该定理 D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理

7. （2021•湖北省宜昌市）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE，则∠AFD的度数是（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
8. （2021•四川省广元市）观察下列作图痕迹，所作线段为的角平分线的是（ ）

A. B. C. D.
9. （2021•四川省乐山市）如图，已知直线、、两两相交，且．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
10. （2021•湖南省娄底市）如图，，点在边上，已知，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
11. （2021•辽宁省本溪市） 一副三角板如图所示摆放，若，则的度数是（ ）
A. 80° B. 95° C. 100° D. 110°
12. （2021•青海省）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　）
A．8 B．7.5 C．15 D．无法确定
13. (2021•浙江省湖州市）如图，已知点O是△ABC的外心，∠A＝40°，连结BO，CO，则∠BOC的度数是
A．60° B．70° C．80° D．90°
14. （2021•浙江省湖州市）如图，已知在△ABC中，∠ABC＜90°，AB≠BC，BE是AC边上的中线，按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N；②过点M，N作直线MN，分别交BC，BE于点D，O；③连结CO，DE．则下列结论错误的是( )
15. （2021•江苏省盐城市）将一副三角板按如图方式重叠，则∠1的度数为（　　）
A．45° B．60° C．75° D．105°
16. （2021•湖南省永州市）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若∠B＝50°，则∠CAD的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
17. （2021•广西玉林市） 如图，底边上的高为，底边上的高为，则有（ ）
A. B. C. D. 以上都有可能
18. ．（2021•江苏省无锡市）如图，D、E、F分别是△ABC各边中点，则以下说法错误的是（　　）

A．△BDE和△DCF的面积相等 B．四边形AEDF是平行四边形
C．若AB＝BC，则四边形AEDF是菱形 D．若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形
19. (2021·安徽省)在中，，分别过点B，C作平分线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME．则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
二．填空题
1. （2021•湖南省邵阳市）如图，点D，E，F分别为△ABC三边的中点．若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为 　 　．

2. （2021•江苏省南京市）如图，在平面直角坐标系中，的边的中点C，D的横坐标分别是1，4，则点B的横坐标是_______．
3. （2021•山东省聊城市）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE：AD：BF值为____________．
4. （2021•河北省）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应 　 　（填“增加”或“减少”） 　 　度．
5. （2021•新疆）如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD，则__________．
6. （2021•浙江省台州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝3，则△AFH的周长为_____．


7.（2021•福建省）如图，AD是△ABC的角平分线．若∠B＝90°，BD＝，则点D到AC的距离是 　 　．
8. （2021•长春市）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，，则的大小为 度.
9. （2021•黑龙江省大庆市）三个数3，1－a，1－2a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取值范围为 ；
10. （2021•内蒙古通辽市）一副三角板如图所示摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为 　　
11. （2021•遂宁市） 如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是 _____ ．
12. （2021•江苏省苏州市）如图，射线OM，ON互相垂直，点B位于射线OM的上方，且在线段OA的垂直平分线l上，AB＝5．将线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，若点B′恰好落在射线ON上，则点A′到射线ON的距离为　 ．


三、解答题
1. (2021·安徽省)如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF．
（1）求证：；
（2）如图2，若，，，求BE的长；
（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值．



2. （2021•湖北省武汉市）问题提出
如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，EC＝DC，点E在△ABC内部，BF，CF之间存在怎样的数量关系？
问题探究
（1）先将问题特殊化如图（2），当点D，F重合时，表示AF，BF；
（2）再探究一般情形如图（1），当点D，F不重合时（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，EC＝kDC（k是常数），点E在△ABC内部，表示线段AF，BF





3. （2021•湖南省邵阳市）如图，在Rt△ABC中，点P为斜边BC上一动点，将△ABP沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B′，连接AB′，CB′，BB′，PB′．
（1）如图①，若PB′⊥AC，证明：PB′＝AB′．
（2）如图②，若AB＝AC，BP＝3PC，求cos∠B′AC的值．
（3）如图③，若∠ACB＝30°，是否存在点P，使得AB＝CB′．若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．



4. （2021•江苏省连云港） 在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
（1）是边长为3的等边三角形，E是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形，如图1，求的长；

（2）是边长为3等边三角形，E是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；
（3）是边长为3的等边三角形，M是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；
（4）正方形的边长为3，E是边上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形，其中点F、G都在直线上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______．


5. （2021•河北省）在一平面内，线段AB＝20，线段BC＝CD＝DA＝10，将这四条线段顺次首尾相接．把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角α（α＞0°）到某一位置时，BC，CD将会跟随出现到相应的位置．
论证：如图1，当AD∥BC时，设AB与CD交于点O，求证：AO＝10；
发现：当旋转角α＝60°时，∠ADC的度数可能是多少？
尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，求点M到AB的距离；
拓展：①如图2，设点D与B的距离为d，若∠BCD的平分线所在直线交AB于点P，直接写出BP的长（用含d的式子表示）；
②当点C在AB下方，且AD与CD垂直时，直接写出a的余弦值．





6. （2021•四川省成都市）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，C′．
（1）如图1，当点A′落在AC的延长线上时，求AA′的长；
（2）如图2，当点C′落在AB的延长线上时，连接CC′，交A′B于点M，求BM的长；
（3）如图3，连接AA′，CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE．在旋转过程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由．

7. （2021•四川省乐山市）在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连结．

（1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，，则________；
（2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．
①在图2中补全图形；
②探究与的数量关系，并证明；
（3）如图3，若，且，试探究、、之间满足的数量关系，并证明．



．
8. （2021•四川省凉山州）如图，在四边形中，，过点D作于E，若．

（1）求证：；
（2）连接交于点，若，求DF长．





9. （2021•四川省眉山市）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，边长为2的正方形DEFG的对角线交点与点C重合，连接AD，BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当点D在△ABC内部，且∠ADC＝90°时，设AC与DG相交于点M，求AM的长；
（3）将正方形DEFG绕点C旋转一周，当点A、D、E三点在同一直线上时，请直接写出AD的长．





10. （2021•浙江省湖州市）已知在△ACD中，P是CD的中点，B是AD延长线上的一点，连结BC，AP．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，BD＝AC，AP＝，求BC的长；
（2）过点D作DE∥AC，交AP延长线于点E，如图2所示，若∠CAD＝60°，BD＝AC，求证：BC＝2AP；
（3）如图3，若∠CAD＝45°，是否存在实数m，当BD＝mAC时，BC＝2AP？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．












11. 【（2021•浙江省宁波市）证明体验】
（1）如图1，为的角平分线，，点E在上，．求证：平分．

【思考探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连结交于点G．若，，，求的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形中，对角线平分，点E在上，．若，求的长．








12. （2021•浙江省绍兴市）如图，在△ABC中，∠A＝40°，E分别在边AB，AC上，连结CD，BE．
（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数；
（2）写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由．







13. （2021•重庆市A）在中，，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得．

（1）如图，当时，连接，交于点．若平分，，求的长；
（2）如图，连接，取的中点，连接．猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图，在（2）的条件下，连接，．若，当，时，请直接写出的值．








14. （2021•重庆市B）在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．
（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．
①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；
②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：BE+BH＝BF；
（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且DN＝2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当NP+MP最小时，直接写出△DPN的面积．



15. （2021•内蒙古通辽市）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如图1，连接AM，BN，求证：AM＝BN；
（2）将△MON绕点O顺时针旋转．
①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：AM2+BM2＝2OM2；
②当点A，M，N在同一条直线上时，若OA＝4，OM＝3，请直接写出线段AM的长．










16. （2021•湖北省十堰市）已知等边三角形，过A点作的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接，把线段绕点C逆时针方向旋转得到，连．

（1）如图1，直接写出线段与的数量关系；
（2）如图2，当点P、B在同侧且时，求证：直线垂直平分线段；
（3）如图3，若等边三角形的边长为4，点P、B分别位于直线异侧，且的面积等于，求线段的长度．
17. （2021•北京市）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE，DE．
（1）比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明；
（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．




18. （2021•福建省）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．线段EF是由线段AB平移得到的，点F在边BC上，△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在AC的延长线上．
（1）求证：∠ADE＝∠DFC；
（2）求证：CD＝BF．







19. （2021•吉林省）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．
（1）若AB＝a．直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；
（2）若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如②，判断四边形ADFC的形状，并说明理由；
（3）若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．
20. （2021•湖北省江汉油田）已知和都为等腰三角形，．

（1）当时，
①如图1，当点D在上时，请直接写出与的数量关系；_________；
②如图2，当点D不在上时，判断线段与的数量关系，并说明理由；
（2）当时，
①如图3，探究线段与的数量关系，并说明理由；
②当时，请直接写出的长．



21. （2021•山东省威海市）（1）已知，如图①摆放，点B，C，D在同一条直线上，，．连接BE，过点A作，垂足为点F，直线AF交BE于点G．求证：．
（2）已知，如图②摆放，，．连接BE，CD，过点A作，垂足为点F，直线AF交CD于点G．求的值．







22. . (2021•内蒙古包头市)如图，已知是等边三角形，P是内部的一点，连接BP，CP．
（1）如图1，以BC为直径半圆O交AB于点Q，交AC于点R，当点P在上时，连接AP，在BC边的下方作，，连接DP，求的度数；
（2）如图2，E是BC边上一点，且，当时，连接EP并延长，交AC于点F．若，求证：；
（3）如图3，M是AC边上一点，当时，连接MP．若，，，的面积为，的面积为，求的值（用含a的代数式表示）．


23.（2021•襄阳市） 在中，，，是边上一点，将沿折叠得到，连接．
（1）特例发现：如图1，当，落在直线上时，
①求证：；
②填空：的值为______；
（2）类比探究：如图2，当，与边相交时，在上取一点，使，交于点．探究值（用含的式子表示），并写出探究过程；
（3）拓展运用：在（2）的条件下，当，是的中点时，若，求的长．

24. （2021•黑龙江省龙东地区） 在等腰中，，是直角三角形，，，连接，点是的中点，连接．

（1）当，点在边上时，如图①所示，求证：．
（2）当，把绕点逆时针旋转，顶点B落在边AD上时，如图②所示，当，点B在边AE上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段和又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．



25. （2021•湖南省娄底市）如图①，是等腰的斜边上的两动点，且．

（1）求证：；
（2）求证：；
（3）如图②，作，垂足为H，设，不妨设，请利用（2）的结论证明：当时，成立．


26. （2021•浙江省温州市）如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数．