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中考一轮综合复习导学案（16）全等与相似
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这是一份中考一轮综合复习导学案（16）全等与相似，共9页。学案主要包含了知识网络，要点梳理，2021中考汇编等内容，欢迎下载使用。
中考一轮综合复习导学案（16）
模块十六：全等与相似
【教材涉及章节： 初二上第13章 全等三角形 初三下第27章 相似三角形 】
涉及到2021大连中考题题：
【知识网络】
【要点梳理】
一般三角形
直角三角形
判定
边角边（SAS）
角边角（ASA）
角角边（AAS）
边边边（SSS）
两直角边对应相等
一边一锐角对应相等
斜边、直角边定理（HL）
性质
对应边相等，对应角相等
（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）
备注
判定三角形全等必须有一组对应边相等
要点一、全等三角形的判定与性质
要点二、全等三角形的证明思路
要点三、角平分线的性质
1.角的平分线的性质定理
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2.角的平分线的判定定理
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
3.三角形的角平分线
三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.
4.与角平分线有关的辅助线
在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；
在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.
要点四、全等三角形证明方法
全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.
1． 证明线段相等的方法：
(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.
(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.
(3) 等式性质.
2． 证明角相等的方法：
(1) 利用平行线的性质进行证明.
(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.
(3) 利用角平分线的判定进行证明.
(4) 同角（等角）的余角（补角）相等.
(5) 对顶角相等.
3． 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；
可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.
4． 辅助线的添加:
(1)作公共边可构造全等三角形；
(2)倍长中线法；
(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；
(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.
5. 证明三角形全等的思维方法:
（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.
（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.
（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.
要点一、相似图形及比例线段
1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).
❤重点讲解❤：
(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等；
2.相似多边形
如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
❤重点讲解❤：
（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比.
3. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
❤重点讲解❤：
（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d也叫第四比例项）
（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）．
要点二、相似三角形
1. 相似三角形的判定:
判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.
判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
❤重点讲解❤：
此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
❤重点讲解❤：
要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
2. 相似三角形的性质：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；
（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
❤重点讲解❤：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
(3) 相似三角形周长的比等于相似比；
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
3.相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似多边形的周长比等于相似比．
（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．
要点三、位似
1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
2.位似图形的性质:
（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
❤重点讲解❤：
(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.
（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点
为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
要点四、黄金分割
1.定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．
2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．
黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．
要点五、射影定理
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
∴△ABC∽△ACD∽△CBD（“角角”）
∴；
；
（射影定理）；
（等积）．
【2021中考汇编】
一、选择题
1. （2021•陕西省）如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．CD⊥BC，若AC＝6cm，则线段CE的长度是（ ）
A．6cm B．7cm C．6cm D．8cm
2. （2021•江苏省盐城市）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线．这里构造全等三角形的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
3.（重庆市B）如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，添加一个条件，不能证明△ABC和△DCB全等的是（ ）
A．∠ABC＝∠DCB B．AB＝DC C．AC＝DB D．∠A＝∠D
4. （2021•重庆市A）如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不等判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A. AB=DE B. ∠A=∠D C. AC=DF D. AC∥FD
5. （2021•河北省）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
6. （2021•遂宁市）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为（ ）
A. 12cm2 B. 9cm2 C. 6cm2 D. 3cm2
7. （2021•浙江省绍兴市）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO＝5m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，则树的高度AB长是（ ）
A．2m B．3m C．m D．m
8. （2021•湖北省恩施州）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E为BD与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（ ）
A．CE≠BD B．△ABC≌△CBD C．AC＝CD D．∠ABC＝∠CBD
9. （2021•浙江省温州市）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，点A，B的对应点分别为点A′，则A′B′的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．15
10. （2021•重庆市A）如图，△ABC与△BEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A. 1：2 B. 1：4 C. 1：3 D. 1：9
11. （2021•重庆市B）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B（0，1），D（0，3），则△OAB与△OCD的相似比是（ ）
A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3
12. （2021•江苏省连云港）如图，中，，、相交于点D，，，，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
13. （2021•黑龙江省龙东地区）如图，平行四边形的对角线、相交于点E，点O为的中点，连接并延长，交的延长线于点D，交于点G，连接、，若平行四边形的面积为48，则的面积为（ ）
A. 5.5 B. 5 C. 4 D. 3
二．填空题
1. （2021•湖南省常德市）如图．在中，，平分，于E，若，则的长为________．
2. （2021•长沙市）如图，在中，，平分交于点，，垂足为，若，，则长为______．
3. （2021•山东省济宁市）如图，四边形ABCD中，∠BAC＝∠DAC，请补充一个条件 ，使△ABC≌△ADC．
4. （2021•齐齐哈尔市）如图，，，要使，应添加的条件是_________．（只需写出一个条件即可）
5. （2021•湖南省邵阳市）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为点E．若sin∠ADE＝，AD＝4，则AB的长为 ．
6. （2021•江苏省南京市）如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点E，若，则的长为________．
7. （2021•宿迁市）如图，在△ABC中，AB=4，BC=5，点D、E分别在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是_________．
8. （2021•江苏省扬州） 如图，在中，，矩形的顶点D、E在上，点F、G分别在、上，若，，且，则的长为________．
9. （2021•浙江省嘉兴市）如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是 ．
10. （2021•黑龙江省大庆市）已知，则 ＝ ；
11. （2021•云南省）如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点F．若BF＝6，则BE的长是 ．
8. （2021•吉林省）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1m时，它离地面的高度DE为0.6m，则坝高CF为 m．
9. (2021•内蒙古包头市)如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为__________．
10.（2021•江苏省连云港）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF=3EF，则=______．
11.（2021•上海市）如图，已知，则_________．
12.（2021•山东省菏泽市）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝5，BC＝10，四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上，那么△AEM与四边形BCME的面积比为 ．
13. （2021•四川省南充市）如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝AB＝3BD，则AD：AC的值为 ．
14. （2021•浙江省湖州市）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中AB的长应是 ．
三、解答题
1. （2021•湖南省衡阳市）如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF．求证：△ABC≌△DEF．
2. （2021•长沙市）人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
已知：．
求作：，使得≌．
作法：如图．
（1）画；
（2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点；
（3）连接线段，，则即为所求作的三角形．
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：
证明：由作图可知，在和中，
∴≌______．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号）
①AAS；②ASA；③SAS；④SSS
3. （2021•陕西省）如图，BD∥AC，BD＝BC，且BE＝AC．求证：∠D＝∠ABC．
4. （2021•四川省乐山市）如图，已知，，与相交于点，求证：．
5. （2021•泸州市） 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE
6. （2021•四川省南充市）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．求证：AF＝BE．
7. （2021•浙江省杭州）在①AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③FB＝FC这三个条件中选择其中一个，并完成问题的解答．
问题：如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB（不与点A，点B重合），点E在AC边上（不与点A，点C重合），连接BE，BE与CD相交于点F．若 ①AD＝AE（②∠ABE＝∠ACD或③FB＝FC） ，求证：BE＝CD．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
8. （2021•浙江省台州）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝20，BC＝DC＝10
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）当∠BCA＝45°时，求∠BAD的度数．
9. （2021•福建省）如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF，CE＝BF．求证：∠B＝∠C．
10. ．（2021•云南省）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC＝BD，AC与BD相交于点E．求证：∠DAC＝∠CBD．
11. （2021•吉林省）如图，点D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：AD＝AE．
12. （2021•江苏省无锡市）已知：如图，AC，DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．
求证：（1）△ABO≌△DCO；
（2）∠OBC＝∠OCB．
13. （2021•贵州省铜仁市）如图，交于点，在与中，有下列三个条件：①，②，③．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法，若多选的只按第一种选法评分，后面的选法不给分）
（1）你选的条件为____________、____________，结论为____________；
（2）证明你的结论．
14. （2021•湖北省黄石市）如图，是的边上一点，，交于点，．
（1）求证：≌；
（2）若，，求的长．
15. （2021•湖北省黄冈市）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求EC的长．
16. （2021•湖南省常德市）如图，在中，，N是边上的一点，D为的中点，过点A作的平行线交的延长线于T，且，连接．
（1）求证：；
（2）在如图中上取一点O，使，作N关于边的对称点M，连接、、、、得如图．
①求证：；
②设与相交于点P，求证：．
17. （2021•湖北省荆州市）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，过F作FE⊥AD于E，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，点G在射线AD上，连接CG．
（1）如图1，若点A的对称点G落在AD上，∠FGC＝90°，延长GF交AB于H，连接CH．
①求证：△CDG∽△GAH；
②求tan∠GHC．
（2）如图2，若点A的对称点G落在AD延长线上，∠GCF＝90°，判断△GCF与△AEF是否全等，并说明理由．
18. （2021•广西玉林市）如图，在中，在上，，．
（1）求证：∽；
（2）若，求的值．
19. （2021•山西省中考）阅读与思考，请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．
图算法
图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：得出，当时，．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法．
再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？
我们可以利用公式求得的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值．
图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．
任务：
（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；
（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：
①用公式计算：当，时，的值为多少；
②如图，在中，，是的角平分线，，，用你所学的几何知识求线段的长．
20.（2021•广东省）如题图，边长为的正方形中，点为的中点．连接，将沿 折叠得到，交于点，求的长．
21. （2021•江苏省南京市）如图，AC与BD交于点O，OA=OD, ∠ABO=∠DCO，E为BC延长线上一点，过点E作EF∥CD，交BD的延长线于点F．
（1）求证；
（2）若，求的长．
22. （2021•绥化市）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，为平面直角坐标系的原点，矩形的4个顶点均在格点上，连接对角线．
（1）在平面直角坐标系内，以原点为位似中心，把缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与的相似比等于；
（2）将以为旋转中心，逆时针旋转，得到，作出，并求出线段旋转过程中所形成扇形的周长．
中考一轮综合复习导学案（16）
模块十六：全等与相似
【教材涉及章节： 初二上第13章 全等三角形 初三下第27章 相似三角形 】
涉及到2021大连中考题题：
【知识网络】
【要点梳理】
一般三角形
直角三角形
判定
边角边（SAS）
角边角（ASA）
角角边（AAS）
边边边（SSS）
两直角边对应相等
一边一锐角对应相等
斜边、直角边定理（HL）
性质
对应边相等，对应角相等
（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）
备注
判定三角形全等必须有一组对应边相等
要点一、全等三角形的判定与性质
要点二、全等三角形的证明思路
要点三、角平分线的性质
1.角的平分线的性质定理
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2.角的平分线的判定定理
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
3.三角形的角平分线
三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.
4.与角平分线有关的辅助线
在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；
在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.
要点四、全等三角形证明方法
全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.
1． 证明线段相等的方法：
(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.
(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.
(3) 等式性质.
2． 证明角相等的方法：
(1) 利用平行线的性质进行证明.
(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.
(3) 利用角平分线的判定进行证明.
(4) 同角（等角）的余角（补角）相等.
(5) 对顶角相等.
3． 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；
可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.
4． 辅助线的添加:
(1)作公共边可构造全等三角形；
(2)倍长中线法；
(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；
(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.
5. 证明三角形全等的思维方法:
（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.
（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.
（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.
要点一、相似图形及比例线段
1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).
❤重点讲解❤：
(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等；
2.相似多边形
如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
❤重点讲解❤：
（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比.
3. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
❤重点讲解❤：
（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d也叫第四比例项）
（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）．
要点二、相似三角形
1. 相似三角形的判定:
判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.
判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
❤重点讲解❤：
此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
❤重点讲解❤：
要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
2. 相似三角形的性质：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；
（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
❤重点讲解❤：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
(3) 相似三角形周长的比等于相似比；
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
3.相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似多边形的周长比等于相似比．
（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．
要点三、位似
1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
2.位似图形的性质:
（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
❤重点讲解❤：
(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.
（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点
为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
要点四、黄金分割
1.定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．
2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．
黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．
要点五、射影定理
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
∴△ABC∽△ACD∽△CBD（“角角”）
∴；
；
（射影定理）；
（等积）．
【2021中考汇编】
一、选择题
1. （2021•陕西省）如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．CD⊥BC，若AC＝6cm，则线段CE的长度是（ ）
A．6cm B．7cm C．6cm D．8cm
2. （2021•江苏省盐城市）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线．这里构造全等三角形的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
3.（重庆市B）如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，添加一个条件，不能证明△ABC和△DCB全等的是（ ）
A．∠ABC＝∠DCB B．AB＝DC C．AC＝DB D．∠A＝∠D
4. （2021•重庆市A）如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不等判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A. AB=DE B. ∠A=∠D C. AC=DF D. AC∥FD
5. （2021•河北省）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
6. （2021•遂宁市）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为（ ）
A. 12cm2 B. 9cm2 C. 6cm2 D. 3cm2
7. （2021•浙江省绍兴市）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO＝5m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，则树的高度AB长是（ ）
A．2m B．3m C．m D．m
8. （2021•湖北省恩施州）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E为BD与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（ ）
A．CE≠BD B．△ABC≌△CBD C．AC＝CD D．∠ABC＝∠CBD
9. （2021•浙江省温州市）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，点A，B的对应点分别为点A′，则A′B′的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．15
10. （2021•重庆市A）如图，△ABC与△BEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A. 1：2 B. 1：4 C. 1：3 D. 1：9
11. （2021•重庆市B）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B（0，1），D（0，3），则△OAB与△OCD的相似比是（ ）
A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3
12. （2021•江苏省连云港）如图，中，，、相交于点D，，，，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
13. （2021•黑龙江省龙东地区）如图，平行四边形的对角线、相交于点E，点O为的中点，连接并延长，交的延长线于点D，交于点G，连接、，若平行四边形的面积为48，则的面积为（ ）
A. 5.5 B. 5 C. 4 D. 3
二．填空题
1. （2021•湖南省常德市）如图．在中，，平分，于E，若，则的长为________．
2. （2021•长沙市）如图，在中，，平分交于点，，垂足为，若，，则长为______．
3. （2021•山东省济宁市）如图，四边形ABCD中，∠BAC＝∠DAC，请补充一个条件 ，使△ABC≌△ADC．
4. （2021•齐齐哈尔市）如图，，，要使，应添加的条件是_________．（只需写出一个条件即可）
5. （2021•湖南省邵阳市）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为点E．若sin∠ADE＝，AD＝4，则AB的长为 ．
6. （2021•江苏省南京市）如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点E，若，则的长为________．
7. （2021•宿迁市）如图，在△ABC中，AB=4，BC=5，点D、E分别在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是_________．
8. （2021•江苏省扬州） 如图，在中，，矩形的顶点D、E在上，点F、G分别在、上，若，，且，则的长为________．
9. （2021•浙江省嘉兴市）如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是 ．
10. （2021•黑龙江省大庆市）已知，则 ＝ ；
11. （2021•云南省）如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点F．若BF＝6，则BE的长是 ．
8. （2021•吉林省）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1m时，它离地面的高度DE为0.6m，则坝高CF为 m．
9. (2021•内蒙古包头市)如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为__________．
10.（2021•江苏省连云港）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF=3EF，则=______．
11.（2021•上海市）如图，已知，则_________．
12.（2021•山东省菏泽市）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝5，BC＝10，四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上，那么△AEM与四边形BCME的面积比为 ．
13. （2021•四川省南充市）如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝AB＝3BD，则AD：AC的值为 ．
14. （2021•浙江省湖州市）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中AB的长应是 ．
三、解答题
1. （2021•湖南省衡阳市）如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF．求证：△ABC≌△DEF．
2. （2021•长沙市）人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
已知：．
求作：，使得≌．
作法：如图．
（1）画；
（2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点；
（3）连接线段，，则即为所求作的三角形．
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：
证明：由作图可知，在和中，
∴≌______．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号）
①AAS；②ASA；③SAS；④SSS
3. （2021•陕西省）如图，BD∥AC，BD＝BC，且BE＝AC．求证：∠D＝∠ABC．
4. （2021•四川省乐山市）如图，已知，，与相交于点，求证：．
5. （2021•泸州市） 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE
6. （2021•四川省南充市）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．求证：AF＝BE．
7. （2021•浙江省杭州）在①AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③FB＝FC这三个条件中选择其中一个，并完成问题的解答．
问题：如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB（不与点A，点B重合），点E在AC边上（不与点A，点C重合），连接BE，BE与CD相交于点F．若 ①AD＝AE（②∠ABE＝∠ACD或③FB＝FC） ，求证：BE＝CD．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
8. （2021•浙江省台州）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝20，BC＝DC＝10
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）当∠BCA＝45°时，求∠BAD的度数．
9. （2021•福建省）如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF，CE＝BF．求证：∠B＝∠C．
10. ．（2021•云南省）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC＝BD，AC与BD相交于点E．求证：∠DAC＝∠CBD．
11. （2021•吉林省）如图，点D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：AD＝AE．
12. （2021•江苏省无锡市）已知：如图，AC，DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．
求证：（1）△ABO≌△DCO；
（2）∠OBC＝∠OCB．
13. （2021•贵州省铜仁市）如图，交于点，在与中，有下列三个条件：①，②，③．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法，若多选的只按第一种选法评分，后面的选法不给分）
（1）你选的条件为____________、____________，结论为____________；
（2）证明你的结论．
14. （2021•湖北省黄石市）如图，是的边上一点，，交于点，．
（1）求证：≌；
（2）若，，求的长．
15. （2021•湖北省黄冈市）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求EC的长．
16. （2021•湖南省常德市）如图，在中，，N是边上的一点，D为的中点，过点A作的平行线交的延长线于T，且，连接．
（1）求证：；
（2）在如图中上取一点O，使，作N关于边的对称点M，连接、、、、得如图．
①求证：；
②设与相交于点P，求证：．
17. （2021•湖北省荆州市）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，过F作FE⊥AD于E，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，点G在射线AD上，连接CG．
（1）如图1，若点A的对称点G落在AD上，∠FGC＝90°，延长GF交AB于H，连接CH．
①求证：△CDG∽△GAH；
②求tan∠GHC．
（2）如图2，若点A的对称点G落在AD延长线上，∠GCF＝90°，判断△GCF与△AEF是否全等，并说明理由．
18. （2021•广西玉林市）如图，在中，在上，，．
（1）求证：∽；
（2）若，求的值．
19. （2021•山西省中考）阅读与思考，请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．
图算法
图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：得出，当时，．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法．
再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？
我们可以利用公式求得的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值．
图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．
任务：
（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；
（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：
①用公式计算：当，时，的值为多少；
②如图，在中，，是的角平分线，，，用你所学的几何知识求线段的长．
20.（2021•广东省）如题图，边长为的正方形中，点为的中点．连接，将沿 折叠得到，交于点，求的长．
21. （2021•江苏省南京市）如图，AC与BD交于点O，OA=OD, ∠ABO=∠DCO，E为BC延长线上一点，过点E作EF∥CD，交BD的延长线于点F．
（1）求证；
（2）若，求的长．
22. （2021•绥化市）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，为平面直角坐标系的原点，矩形的4个顶点均在格点上，连接对角线．
（1）在平面直角坐标系内，以原点为位似中心，把缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与的相似比等于；
（2）将以为旋转中心，逆时针旋转，得到，作出，并求出线段旋转过程中所形成扇形的周长．
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