选择性必修第二册综合测试（能力提升）-高二数学考点知识详解+模拟测试（人教A版选择性必修第二册）

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选择性必修第二册数学模拟测试本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 28铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上，3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一井交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列的通项公式为 ，则这个数列第5项是（       ）A．9 B．17 C．33 D．65【答案】C【解析】【分析】代入通项公式计算可得．【详解】.故选：C.2．已知定义在［0，3］上的函数的图像如图，则不等式＜0的解集为（       ）A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(0，1)(2，3)【答案】B【解析】【分析】根据函数的单调性得结论．【详解】由图象知在上是减函数，所以的解集是．故选：B．3．记为等差数列的前n项和.若，，则（       ）A．-54 B．-18 C．18 D．36【答案】C【解析】【分析】根据题意求出公差，再根据等差数列的前项和公式即可得解.【详解】解：设公差为，则，解得，所以，所以.故选：C.4．函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】先求导数，利用导数的几何意义可求答案.【详解】函数存在与直线平行的切线，即在上有解，而，所以，因为，所以，所以．所以的取值范围是．当直线就是的切线时，设切点坐标，可得，解得． 所以实数的取值范围是：．故选：B．5．等差数列中，，前项和为，若，则（       ）A．1011 B．2022 C． D．【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的前项和公式求得公差，再由前项和公式得结论．【详解】数列公差为，，，所以，则，故选：B．6．已知是定义在上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则下列不等式成立的是（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用导数与函数单调性的关系即可求得.【详解】由题意，构造函数，则因为不等式恒成立，所以，即在上单调递增，对于A选项，因为，即，即，故A选项错误对于B选项，因为，即，即，故B选项正确对于C选项，因为，即，即，故C选项错误对于D选项，因为，即，即，故D选项错误故选：B7．函数（a>0且a≠1）在（4，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（       ）A．1<a≤4 B．1<a≤8 C．1<a≤12 D．1<a≤24【答案】B【解析】【分析】根据复合函数的单调性，先分析外层函数的单调性可得a>1，再求导分析内层函数的单调性即可【详解】函数（a>0且a≠1）在（4，+∞）上单调递增，故外层函数是增函数，由此得a>1，又内层函数在区间在（4，+∞）上单调递增，令则在（4，+∞）上恒成立，即3x2≥2a在（4，+∞）上恒成立故2a≤48，即a≤24，又由真数大于0，故64﹣8a≥0，故a≤8，由上得a的取值范围是1<a≤8，故选：B.8．将数列中的各项依次按第一个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括号4个数，第四个括号8个数，第五个括号16个数，…，进行排列：（1），（3，5）（7，9，11，13），（15，17，19，21，23，25，27，29），…，则以下结论中错误的是（       ）A．第10个括号内的第一个数为1023 B．2021在第11个括号内C．前10个括号内一共有1023个数D．第10个括号内的数字之和【答案】B【解析】【分析】先判断出第n个括号有个数，求出前9个括号共有511个数，则第10个括号内的第一个数为数列的第512项，即可判断A选项；由等比数列求和公式即可判断C选项；结合A、C选项即可判断B选项；由等差数列求和公式即可判断D选项.【详解】由题意，第n个括号有个数，前9个括号内共有个数，所以第10个括号内的第一个数为数列的第512项，所以第10个括号内的第一个数为，故A正确：前10个括号内共有个数，故C正确：令，得，所以2021为数列的第1011项，由上面选项A、C分析可得，2021在第10个括号内，故B错误；因为第10个括号内的第一个数为，最后一个数为，所以第10个括号内的数字之和，故D正确．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．下列求导运算正确的有（       ）A． B．C． D．【答案】BC【解析】【分析】根据基本初等函数的求导公式及运算法则即可求解.【详解】解：对A：，故选项A错误；对B：，故选项B正确；对C：，故选项C正确；对D：，故选项D错误.故选：BC.10．已知等差数列，下列结论一定正确的是（       ）A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．【答案】CD【解析】【分析】根据等差数列的定义和通项公式，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由，又由，因为公差的正负不确定，所以不一定成立，所以A不一定正确；对于B中，由，又由，因为公差的正负不确定，所以不一定成立，所以B不一定正确；对于C中，因为，可得，且，又因为，所以又由，所以等号不成立，即，所以C正确.对于D中，由等差数列的定义知，所以D正确.故选：CD.11．古希腊人十分重视数学与逻辑，闲暇之余喜欢在沙滩上玩数字游戏，如图，古希腊学者用石头摆出三角形图案，第1行有1颗石头，第2行有2颗，以此类推，第行有颗，第行第颗 石头记为表示从第1行第1颗至第行第颗石头的总数，设，则 （       ） A． B．C． D．【答案】ABD【解析】【分析】分析题意，可求得的表达式，从而得的表达式，逐项验证即可.【详解】解：由题意可知，，故B正确；，所以，故A正确；，故D正确；所以，故C不正确．故选：ABD.12．设函数.若在处取得极大值，a的值可能为（       ）A．-2 B． C．1 D．2【答案】AB【解析】【分析】求得的导数，注意分解因式，讨论a＝0， ，a，0＜a，a＜0，由极大值的定义，即可得到所求a的范围．【详解】的导数为，若a＝0则x＜2时，，递增；x＞2，，递减．x＝2处取得极大值，满足题意；若a，则，递增，无极值；若，则2，在（，2）递减；在（2，+∞），（﹣∞，）递增，可得在x＝2处取得极小值；不满足题意．当0＜a，则2，在（2，）递减；在（，+∞），（﹣∞，2）递增，可得在x＝2处取得极大值，满足题意；若a＜0，则0<x＜2时，，递增；x＞2，，递减．x＝2处取得极大值，满足题意；综上可得，a的范围是：．故选：AB三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知等比数列{}中，，则{}的公比q＝___．【答案】2【解析】【分析】由定义直接求出公比.【详解】因为在等比数列{}中，，所以{}的公比q＝.故答案为：214．已知函数f（x）＝cosx+sinx，则的值为______．【答案】##【解析】【分析】对f（x）求导得到导函数，然后代入即可得到答案【详解】解：由题意得，f（x）＝f′（）cosx+sinx求导得所以解得，故答案为：．15．数列满足，前16项和为508，则__．【答案】3【解析】【分析】根据,讨论n的奇偶性，可分别得到当为奇数时有，当为偶数时，从而结合前16项和为508，可得，结合列出等式，即可求得答案.【详解】由，当为奇数时，有，可得，，累加可得；当为偶数时，，可得，，，．可得．,，，即．故答案为：3．16．设，若，则x的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】奇偶性定义判断奇偶性，利用导数研究的单调性，再应用奇偶、单调性求x的范围.【详解】由且，易知：为奇函数，所以，又，故在上递增，所以，可得.故答案为：四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知等差数列中，，.(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和.【答案】(1)；(2)n.【解析】【分析】（1）利用等差数列通项公式的基本量运算即得；（2）利用求和公式即得.(1)设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，所以；(2)n.18．已知函数，当时，有极小值.(1)求函数的解析式：(2)求函数在上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，依题意且，即可得到方程组，解得即可；（2）求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，求出区间端点值与极值，即可得到函数的最值.(1)解：因为，所以.依题意可得，即，解得，所以，经检验符合题意；(2)解：由（1）知，则，令，解得或，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减.又，，，所以最大值为，最小值为.19．已知正项等比数列的前项和为，，是和的等差中项.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据等差中项定义，结合等比数列的通项公式列出关于的方程，求出后可得通项公式；（2）求出，然后由裂项相消法求和．(1)设等比数列的公比为，由于，则有.由题意可知，又，则有，解得（舍）或，.(2)由（1）得，，，20．已知函数，为常数．(1)若在处有极值，求a的值并判断是极大值点还是极小值点；(2)若在上是增函数，求实数a的取值范围．【答案】(1)，极小值点(2)【解析】【分析】（1）先求定义域，再求导，根据极值点列出方程，求出，从而求出单调区间，判断出是的极小值点；（2）问题转化为，求出，从而求出实数a的取值范围.(1)∵定义域为，；若在处有极值，则，∴，此时，．∵，∴，，当时，，为减函数．当时，，为增函数．∴是的极小值点．(2)由条件知在上恒成立，即，∴在上恒成立，只需，∵，∴，即，即a的取值范围为．21．设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和．证明：．【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和，，．设，       ⑧则．        ⑨由⑧-⑨得．所以．因此．故．[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得，，①，②①②得 ，所以，所以，所以.[方法三]：构造裂项法  由（Ⅰ）知，令，且，即，通过等式左右两边系数比对易得，所以．则，下同方法二．[方法四]：导函数法设，由于，则．又，所以，下同方法二．【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.22．已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；（2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.(1)当时，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以；(2)，则，当时，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，此时函数无零点，不合题意；当时，，在上，，单调递增；在上，，单调递减；又，由（1）得，即，所以，当时，，则存在，使得，所以仅在有唯一零点，符合题意；当时，，所以单调递增，又，所以有唯一零点，符合题意；当时，，在上，，单调递增；在上，，单调递减；此时，由（1）得当时，，，所以，此时存在，使得，所以在有一个零点，在无零点，所以有唯一零点，符合题意；综上，a的取值范围为.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.