数学7.2 离散型随机变量及其分布列达标测试

这是一份数学7.2 离散型随机变量及其分布列达标测试，文件包含第七章随机变量及其分布知识详解-高二数学知识详解+模拟测试人教A版选择性必修第三册解析版docx、第七章随机变量及其分布知识详解-高二数学知识详解+模拟测试人教A版选择性必修第三册原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共52页， 欢迎下载使用。

第七章 随机变量及其分布知识详解
条件概率；
1、 条件概率的定义：我们把在事件A发生的条件下事件B发生的概率记为：；
且
2、 三个常见公式：
（1） 乘法公式：
（2） 全概率公式：设是一组互斥的事件且，则对于任何一个事件B都有：
（3） 贝叶斯公式：设是一组互斥的事件且
则对于任何一个事件B都有：
例1．（2014·全国·高考真题（理））某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是
A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45
2．（2022·安徽·六安一中高二期中）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为．现从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（       ）
A． B． C． D．
3、 举一反三
1．（2021·四川·凉山彝族自治州教育科学研究所一模（理））设A，是两个事件，且发生A必定发生，，给出下列各式，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·湖南株洲·一模）（多选）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）
A．、为对立事件 B．
C． D．
2.离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X可能取的值为，X取每一个值的概率，则称以下表格
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列.
离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：
（1） （2）
例2．设是一个离散型随机变量，其分布列如图，则q等于（       ）

-1
0
1
P
0.5


A． B． C． D．
举一反三
1．（2022·广东·深圳市高级中学高二期中）某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号分别为的四批疫苗，供全市所辖的三个区市民注射，每个区均能从中任选一个批号的疫苗接种．
(1)求三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同的概率；
(2)记三个区选择的疫苗批号的中位数为，求的分布列．











3.离散随机变量的均值（数学期望）
一般地，随机变量X的概率分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称
为X的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
1．若，其中a，b为常数，则Y也是变量
Y


…

…

P
p1
p2
…
pi
…
pn
则，即
2．一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么

即若X服从两点分布，则
3．若，则
离散型随机变量取值的方差和标准差
一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn

1．若X服从两点分布，则
2．若，则
3．
例3：1．（2013·广东·高考真题（理））已知离散型随机变量的分布列为








则的数学期望
A． B． C． D．
2．（2020·浙江·高考真题）盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为，则_______；______．
3．（2021·全国·高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

举一反三
1．（2021·浙江·模拟预测）林老师等概率地从1~3中抽取一个数字，记为X，叶老师等概率地从1~5中抽取一个数字，记为Y，已知，其中是的概率，其中，则E（XY）=（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
2．（2021·浙江·模拟预测）随机变量满足分布列如下：

0
1
2
P



则随着的增大（ ）
A．增大，越来越大
B．增大，先增大后减小
C．减小，先减小后增大
D．增大，先减小后增大
3．（2021·浙江嘉兴·模拟预测）已知袋中有4个红球，3个黄球，2个绿球.现从中任取2个球，记取到的红球的个数为，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2015·广东·高考真题（理））已知随机变量X服从二项分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=__________．
5．（2021·北京怀柔·一模）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，对该流水线上的产品进行简单随机抽样，获得数据如下表：
分组区间(单位：克)





产品件数
3
4
7
5
1
包装质量在克的产品为一等品，其余为二等品
（1）估计从该流水线任取一件产品为一等品的概率；
（2）从上述抽取的样本产品中任取2件，设X为一等品的产品数量，求X的分布列；
（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为一等品的产品数量，求Y的分布列；试比较期望与则望的大小.(结论不要求证明)
4．两点分布
如果随机变量X的分布列为
X
0
1
P
1-p
p
则称X服从两点分布，并称为成功概率.
注意：随机变量X只有发生和不发生两种情况才叫两点分布，且X的取值只能是0和1.


例4：1．两点分布也叫分布，已知随机变量服从参数为的两点分布，则下列选项中不正确的是（       ）
A． B． C． D．
举一反三
1．设某项试验的成功率是失败率的3倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则（       ）
A．0 B． C． D．
2．设随机变量服从两点分布，若，则（       ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7

5．超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件发生的概率为：

则随机变量X的概率分布列如下：
X
0
1
…
m
P


…

。
注：超几何分布的模型是不放回抽样
例5：盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为（       ）
A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的
C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的
举一反三
1．（2017·湖北黄冈·高二期末（理））数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是______________
2．（2021·黑龙江·大庆一中高二期末（理））2020年初，面对突如其来的新冠肺炎疫情，某省体育局适时推出线上万人健步走活动，全省14万人参赛，掀起了一场前所未有的“健步走热潮”，该省今年将继续举办线上万人健步走活动，希望带动更多的人参与到全民健身中来，以更加强健的体魄、更加优异的成绩，向中国共产党百年华诞献礼.为了解群众参与健步走活动的情况，随机从参与活动的某支队伍中抽取了60人，将他们的年龄分成7段：[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图.

(1)以各组的区间中点值代表各组取值的平均水平，求这60人年龄的平均数，并求中位数的估计值；
(2)若从样本中年龄在[50，70)的居民中任取3人，这3人中年龄不低于60岁的人数为X，求X的分布列及数学期望.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P





.
6.相互独立事件
设A，B两个事件，如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响(即),则称事件A与事件B相互独立。
一般地，如果事件A1,A2,…,An 两两相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即.
注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；
(2) 相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响.
例6．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
举一反三
1．假设，且与相互独立，则（    ）
A． B． C． D．
2．某校对高三男生进行体能抽测，每人测试三个项日，1000米为必测项目，再从“引体向上，仰卧起坐，立定跳远”中随机抽取两项进行测试，则某班参加测试的5位男生测试项目恰好相同的概率为（    ）
A． B． C． D．

7.n次独立重复试验
一般地，在相同条件下，重复做的n次试验称为n次独立重复试验.
在次独立重复试验中，记是“第次试验的结果”，显然，
“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响
注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征
第一：每次试验是在同样条件下进行；
第二：各次试验中的事件是相互独立的；
第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.
n 次独立重复试验的公式：
，而称p为成功概率.
二项分布
一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则

X
0
1
…
k
…
n
P


…

…

此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率.
例7．（2019·天津·高考真题）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.

举一反三
1．（2015·全国·高考真题）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
2．（2021天津卷）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．
3．（2018·全国·高考真题）某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记件产品中恰有件不合格品的概率为,求的最大值点；
（2）现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

8.正态分布：
1、 密度函数的概念：在频率分布折线图中，当样本容量取得足够大，组距取得足够小的时候频率分布折线图会变成一条光滑的曲线，我们就把这样的曲线叫做连续性随机变量的密度曲线；把他的解析式叫做密度函数；

显然，如果连续型随机变量的密度函数是，则：
；；
；；
2、正态分布的定义：如果连续型随机变量的密度函数是：；则称随机变量服从正态分布，记为：；
3、正态分布曲线的特点：
（1）整条曲线都在轴的上方，即对恒成立；
（2）是他的对称轴，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；在时取得最大值；
（3）正态分布曲线的两个主要参数的几何学意义：
参数决定对称轴的位置，也决定整条曲线的位置，所以也称为位置参数；参数 决定数据的离散程度，也就决定了曲线的高矮胖瘦；具体规律是：越大，数据越离散，曲线越矮越胖；越小，数据越集中，曲线越高越瘦；于是我们习惯于把参数称为形状参数；
1、 正态分布的期望与方差：若
期望：； 方差：；
2、 正态分布的原则：
（1）；
（2）；
（3）；
6、标准正态分布：若，则称随机变量服从标准正态分布；
7、正态分布与标准正态分布之间的转化关系：
若，则；
例8．1.（2022·全国·统考高考真题）已知随机变量X服从正态分布，且，则____________．
2．（2017·全国·高考真题）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95

经计算得，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，.
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.
附：若随机变量Z服从正态分布，则，，.

举一反三
1．（2021·全国·统考高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ）
A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
2．（2012·全国·高考真题）某个部件由三个元件按图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 _____

【答案】
【详解】设元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的事件分别记为A，B，C，显然P(A)＝P(B)＝P(C)＝，
∴该部件的使用寿命超过1000的事件为(A＋B＋AB)C.
∴该部件的使用寿命超过1000小时的概率为P＝×＝.

3．（2014·全国·高考真题）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：

（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；
（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
（i）利用该正态分布，求；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i）的结果，求.
附：
若则，．

强化训练

一、单选题
1．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）北京2022年冬奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融非常可爱，某教师用吉祥物的小挂件作为奖品鼓励学生学习，设计奖励方案如下：在不透明的盒子中放有大小、形状完全相同的6张卡片，上面分别标有编号1，2，3，4，5，6，现从中不放回地抽取两次卡片，每次抽取一张，只要抽到的卡片编号大于4就可以中奖，已知第一次抽到卡片中奖，则第二次抽到卡片中奖的概率为（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·安徽黄山·统考一模）两批同种规格的产品，第一批占、合格品率为，第二批占、合格品率为.将两批产品混合，从混合产品中任取一件.则这件产品是次品的概率为（    ）
A． B． C． D．
3．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且，，，则的值等于（    ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏常州·华罗庚中学校考模拟预测）某小区有1000户居民，各户每月的用电量近似服从正态分布，则用电量在320度以上的居民户数估计约为（    ）（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，）
A．17 B．23 C．34 D．46
5．（2023·广东广州·统考二模）已知随机变量的分布列如下：

1
2




若，则（    ）A． B． C． D．
6．（2022·浙江湖州·湖州市菱湖中学校考模拟预测）设，随机变量的分布列为
X
0
1
2
P


b

则当在内增大时（    ）
A．增大 B．减小 C． 先减小后增大 D．先增大后减小
7．（2022·浙江绍兴·绍兴一中模拟预测）已知袋中有大小相同、质地均匀的黑色小球m个和白色小球个，从中任取3个，记随机变量为取出的3个球中黑球的个数，则（    ）
A．都与m有关 B．与m有关，与m无关
C．与m无关，与m有关 D．都与m无关
8．（2022·山东潍坊·统考模拟预测）Poisson分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松首次提出，Poisson分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是Poisson分布的均值．当二项分布的n很大而p很小时，Poisson分布可作为二项分布的近似．假设每个大肠杆菌基因组含有10000个核苷酸对，采用紫外线照射大肠杆菌时，每个核苷酸对产生嘧啶二体的概率均为0.0003，已知该菌株基因组有一个嘧啶二体就致死，则致死率是（    ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·湖南株洲·统考一模）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（    ）
A．、为对立事件 B．
C． D．
10．（2023·全国·模拟预测）已知随机变量服从二项分布，其方差，随机变量服从正态分布，且，则（    ）
A． B．
C． D．

三、填空题
11．（2022·山东德州·统考三模）已知某种袋装食品每袋质量，则随机抽取10000袋这种食品，袋装质量在区间的约___________袋（质量单位：）.（附：，则，，）.
12．（2023·湖南·模拟预测）已知甲罐中有个红球、个黑球，乙罐中有个红球、个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则__________．
13．（2021·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则________.
14．（2022·湖北·校联考模拟预测）为落实国务院提出的“双减”政策，某校在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣小组活动，其中有个课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型，并在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案，作为2022年春节的吉祥物，2个兴趣小组各派一名成员将模型随机拋出，两人都希望能拋出虎的图案朝上，寓意虎虎生威.2人各抛一次，则在第一人抛出虎的图案朝上时，两人心愿均能达成的概率为__________.
四、解答题
15．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）某批规格相同的产品由甲、乙、丙三个工厂共同生产，甲厂生产的产品次品率为2%，乙厂和丙厂生产的产品次品率均为4%，三个工厂生产的产品混放在一起，已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品数分别占总数的40%，40%，20%.
(1)任选一件产品，计算它是次品的概率；
(2)如果取到的产品是次品，分别计算此次品出自甲厂、乙厂和丙厂的概率.








16．（2023·广西梧州·统考一模）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：，，，，，．

(1)求图中的值和学生成绩的中位数；
(2)从成绩低于60分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在50分以下的人数记为，求的分布列与数学期望．