高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式优秀课时训练

第2讲：二次函数与一元二次方程、不等式

(重点题型方法与技巧)

目录

类型一：一元二次不等式（不含参）的求解

类型二：一元二次不等式（含参）的求解

角度1：两根大小不确定，从两根相等开始讨论

角度2：最高项系数含参从0开始讨论

角度3：不可因式分解型，从开始讨论

类型三：一元二次不等式与对应函数、方程的关系

类型四：二次不等式恒成立问题

类型五：一元二次函数求最值（含参数）

类型六：：根据不等式的解求参数

1、四个二次的关系

1.1一元二次函数的零点

一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点．

1.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系

对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.

2、一元二次不等式的解法

1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；

2：写出相应的方程，计算判别式：

①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）；

②时，求根；

③时，方程无解

3：根据不等式，写出解集.

类型一：一元二次不等式（不含参）的求解

典型例题

例题1．（2022·全国·高一课时练习）不等式的解集为（   ）

A．或 B．

C．或 D．

【答案】B

【详解】法一：原不等式即为，即，解得，故原不等式的解集为．

法二：当时，不等式不成立，排除A，C；当时，不等式不成立，排除D．

故选：B．

例题2．（2022·陕西省丹凤中学高一期末（理））不等式的解集是________．

【答案】

【详解】解：因为，即，

解得，所以原不等式的解集为；

故答案为：

同类题型演练

1．（2022·广东珠海·高一期末）不等式的解集是（       ）

A． B． C． D．，或

【答案】C

【详解】解：由，解得，即不等式的解集为；

故选：C

2．（2022·四川成都·高一期末（文））不等式的解集为___________.

【答案】

【详解】不等式可化为，

解得：.

所以原不等式的解集为.

故答案为：

类型二：一元二次不等式（含参）的求解

角度1：两根大小不确定，从两根相等开始讨论

典型例题

例题1．（2022·全国·高一课时练习）解不等式.

【答案】

解：不等式化为，

即

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为

例题2．（2022·全国·高三专题练习）求不等式（）的解集．

【答案】当a>0时，不等式的解集为

当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；

当a<0时，不等式的解集为

【详解】试题分析：解含参数的二次不等式，通常要比较其对应方程的两根大小才能写出不等式的解集．本题对应方程两根为，比较这两个根的大小，只需讨论与零的大小关系就可以了．

试题解析：原不等式可化为（3x－a）（4x＋a）>0．

当a>0时，不等式的解集为

当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；

当a<0时，不等式的解集为

例题3．（2022·广东·高一期末）设函数．

(1)当时，求关于的不等式的解集．

【答案】(1)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.

，即，当时，原不等式可化为，其解得情况应由与的大小关系确定，

当时，解得；

当时，解得；

当时，解得.

综上所述：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.

同类题型演练

1．（2022·福建南平·高一期末）当时，求关于的不等式的解集．

【答案】

，

因为，所以不等式可化为

当时，即，原不等式的解集

当时，即，原不等式的解集为

当时即原不等式的解集.

综上所述，

当时，原不等式的解；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集.

2．（2022·四川成都·高一期末）设函数，.

(1)解关于x的不等式；

【答案】(1)答案见解析.

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为.

3．（2022·甘肃省武威第一中学高一开学考试）解关于x的不等式：.

【答案】答案见解析

【详解】解：即，

则对应方程的根为，

①当或时，原不等式的解集为，

②当或时，原不等式的解集为，

③当时，原不等式的解集为.

角度2：最高项系数含参从0开始讨论

典型例题

例题1．（2022·湖南·新邵县第二中学高一开学考试）解关于的不等式.

【答案】

由题意可得，当时，不等式可化为，所以不等式的解集为，当时，，当时，，①当，解集，②当，解集为或，③当，解集为或.综上所述，当，不等式的解集为或，当，不等式的解集为，当，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.

例题2．（2022·陕西·西安高新第三中学高一期中）已知函数.

若，解关于的不等式.

【答案】时，解集为；

时，解集为；

时，解集为或

不等式，

可化为：.

当时，原不等式即为，．

当时，原不等式化为，或.

当时，原不等式为，可化为

因，．

综上，

时，原不等式的解集为；

时，原不等式的解集为；

时，原不等式的解集为或

同类题型演练

1．（2022·全国·高一专题练习）若，解关于的不等式．

【答案】答案见解析.

【详解】当时，，当时，，

当时，，解得，

当时，，

若，则，若，则或，若，则或，

所以当时，原不等式的解集是；当时，原不等式的解集是；

当时，原不等式的解集是或；当时，原不等式的解集是或．

2．（2022·福建·莆田一中高一期末）已知函数.

若，解关于的不等式.

【答案】

依题意，因，则，

当时，，解得，

当时，，解得或，

当时，，解得或，

所以，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或；

当时，原不等式的解集为或.

角度3：不可因式分解型，从开始讨论

典型例题

例题1．（2022·全国·高一专题练习）解关于的不等式：．

【答案】答案见解析.

【详解】关于的不等式：中，

，

当或时，，

对应的一元二次方程有两个实数根和，

且，

故不等式的解集为或；

当时，，

对应的一元二次方程有两个相等的实数根，

不等式的解集为；

当时，，

不等式的解集为；

综上，或时，不等式的解集为或；

时，不等式的解集为；

时，不等式的解集为．

同类题型演练

1．（2022·山东滨州·高二期中）已知一元二次函数，满足．

(1)求的解析式；

(2)解关于x的不等式．

【答案】(1)(2)解集见解析

(1)解：函数，由，得

因为，所以解得；

所以.

(2)关于x的不等式可化为

因为

所以当即时，原不等式对应的方程无实数根，

又二次函数的图像开口向上，所以原不等式的解集为；

当，即时，原不等式对应的方程有两个相等的实数根，

时，原不等式的解集为；

时，原不等式的解集为；

当即或时，原不等式对应的有两个相等的实数根，

分别为且

所以原不等式解集为.

综上所知，当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当或时，原不等式解集为.

类型三：一元二次不等式与对应函数、方程的关系

典型例题

例题1．（2022·全国·高一课时练习）已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（       ）

A． B．或 C． D．或

【答案】A

【详解】由二次函数图象知：有.

故选：A

例题2．（2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末）已知的解集为（），则的值为（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】B

【详解】解：因为的解集为（），

所以为的根，所以.

故选：B

例题3．（2022·黑龙江·大庆中学高二期末）若不等式的解集是，则的解集为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】不等式的解集是

则根据对应方程的韦达定理得到：，

解得，

则的解集为

故选：A

同类题型演练

1．（2022·浙江·高三专题练习）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（       ）

A． B． C．D．

【答案】A

【详解】结合图像易知，

不等式的解集，

故选：A.

2．（2022·全国·高一单元测试）若方程有唯一的实数根3，则不等式的解集为______．

【答案】

【详解】由已知得抛物线的开口向下，与x轴交于点，

故不等式的解集为．

故答案为：

3．（2022·江苏·高一）若关于x的不等式的解集为，则实数m的值为______.

【答案】3

【详解】由题可知，－7和－1是二次方程的两个根，

故.经检验满足题意

故答案为：3.

类型四：二次不等式恒成立问题

典型例题

例题1．（2022·江西吉安·高二期末（文））若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ）

A． B． C．D．

【答案】B

【详解】当时，不等式成立；当时，不等式恒成立，

等价于．

综上，实数的取值范围为．

故选：B．

例题2．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学高二期中）已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是________.

【答案】

【详解】由题意得，“，”是真命题，

则对恒成立，

在区间上，的最小值为，

所以，

即a的取值范围是.

故答案为：

例题3．（2022·全国·高一课时练习）已知关于的不等式．

(1)若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；

(2)若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

（1）若对任意实数，不等式恒成立，即恒成立

则关于的方程的判别式，

即，解得，所以实数的取值范围为．

（2）不等式，

可看成关于的一次不等式，又，

所以，解得且，所以实数的取值范围是．

同类题型演练

1．（多选）（2022·全国·高一课时练习）不等式对任意的R恒成立，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【详解】可整理为，

则，故A正确．

当，时，满足，即原不等式成立．B错误；

由，得，所以．C正确；

．D正确．

故选：ACD．

2．（2022·江苏南京·高二期末），则的取值范围为__________．

【答案】

【详解】由题设，可得.

故答案为：

3．（2022·四川广安·高一期末（理））已知不等式的解集是．

(1)求常数a的值；

(2)若关于x的不等式的解集为R，求m的取值范围．

【答案】(1)(2)

(1)因为不等式的解集是．

所以－1和3是方程的解，

把代入方程解得．经验证满足题意

(2)若关于x的不等式的解集为R，即的解集为R，

所以，

解得，所以m的取值范围是．

4．（2022·四川·盐亭中学高二阶段练习（文））已知函数．

(1)若关于的不等式的的解集是，求，的值；

(2)设关于不等式的在上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)，(2)

(1)根据二次不等式的解集与系数的关系可得和是方程的两根，故，解得，由韦达定理有，解得.

故，

(2)在上恒成立，即恒成立.当时满足题意，当时，恒成立，因为，当且仅当时取等号.故，即的取值范围为.

5．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知函数，若的解集为.

(1)求，的值；

(2)当为何值时，的解集为？

【答案】(1)，

(2)

(1)解：由题意可知，的解集为，

所以与为方程的两根，

，；

(2)解：的解集为，

①当时，的解集为，，；

②当时，，

，，

综上所述，的取值范围为.

类型五：一元二次函数求最值（含参数）

典型例题

例题1．（2022·全国·高一专题练习）已知函数．

(1)当时，求函数在区间上的值域；

(2)当时，求函数在区间上的最大值；

(3)求在上的最大值与最小值．

【答案】(1)

(2)

(3)答案见解析

（1）当时，，

函数在上单调递减，在上单调递增，

，

函数在区间上的值域是；

（2）当时，，

，函数在区间上的最大值；

，函数在区间上的最大值；

函数在区间上的最大值；

（3）函数 的对称轴为，

①当，即时，函数在上是增函数，

当时，函数y取得最小值为；当时，函数取得最大值为．

②当，即时，

当时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为．

③当，即时，

a时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为．

④当，即时，函数在上是减函数，

故当时，函数取得最大值为；当时，函数取得最小值为．

综上，当时，函数的最大值为，最小值为，当时，函数的最大值为，最小值为，当时，函数的最大值为，最小值为，当时，函数的最大值为，最小值为

例题2．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高二期末）已知二次函数，且满足，.

(1)求函数的解析式；

(2)当（）时，求函数的最小值（用表示）．

【答案】(1)

(2)

（1）因为二次函数，且满足，，

所以，且，

由，得，

所以，得，

所以.

（2）因为是图象的对称轴为直线，且开口向上的二次函数，

当时，在上单调递增，

则；

当，即时，

在上单调递减，

则；

当，即时，，

综上

同类题型演练

1．（2021·全国·高一专题练习）已知函数的图象过点，且满足．

(1)求函数的解析式；

(2)求函数在上的最小值；

【答案】(1)

(2)

(1)解：因为函数的图象过点，

所以

又，

所以，

解得，

所以；

(2)，，

当时，即时，函数在上单调递减，

所以，

当时，即时，函数在上单调递减，

在单调递增，所以；

当时，函数在上单调递增，

所以．

综上：

2．（2021·江西·兴国县将军中学高一期中）已知二次函数，且，．

(1)求函数的解析式；

(2)若函数，，求函数的最小值．

【答案】(1)；

(2).

(1)由，则，又，解得，

∴函数的解析式为.

(2)由(1)知，， 其对称轴，而，

当，即时，在上单调递增，，

当，即时，在上单调递减，，

当时，，

∴.

类型六：：根据不等式的解求参数

典型例题

例题1．（2021·福建三明·高一期中）已知函数，若不等式的解集是

(1)求的解析式；

(2)若函数在区间上的最小值为20，求实数的值.

【答案】(1)

(2)－9或5

(1)是对应方程ax2＋2x＋c＝0的两根.

由韦达定理得，

；

(2)，对称轴为，

当，即时，，

由已知得：，

解得：m＝3或－9，又，

，

当时，，

由已知得：，

解得：m＝5或－7，又，

，

当时，，（舍去），

综上所述，m＝－9或5.

例题2．（2021·河南开封·高一阶段练习）已知函数，，.

(1)若恒成立，求的取值范围；

(2)若最小值为，求的值.

【答案】(1)；

(2).

(1)因为开口向上，

由时，恒成立，可得，

所以，即，解得：，

所以的取值范围为.

(2)对称轴为，开口向上，

当时，，解得：（舍）；

当时，，（舍）；

当时，，；

所以的值为.

同类题型演练

1．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数．

(1)当时，解关于x的不等式；

(2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值．

【答案】(1)

(2)或

(1)当时，不等式，

即为，

即，所以，

所以或，

所以原不等式的解集为．

(2)，

由题意或，这时解得，

若，则，所以；

若，即，

所以，则，

综上，或．

2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0，1]时有最大值2，求a的值．

【答案】a＝－1或a＝2．

【详解】函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a．

（1）当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，∴1－a＝2，∴a＝－1．

（2）当0≤a≤1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1，∴a2－a＋1＝2，即a2－a－1＝0，∴a＝ (舍去)．

（3）当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2．

综上可知，a＝－1或a＝2．