专题05 对角互补模型综合应用（能力提升）-备战中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

  专题05  对角互补模型综合应用（能力提升）

1．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE+FD．

2．如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD．

3．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE+FD．

（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明．

（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明．

4．（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝45°．直接写出BE、DF、EF之间的数量关系；

（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE+DF；

（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF＝∠BAD，则结论EF＝BE+DF是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．

5．（1）方法感悟：

如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF．将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，易证△GAF≌△EAF，从而得到结论：DE+BF＝EF．根据这个结论，若CD＝6，DE＝2，求EF的长．

（2）方法迁移：

如图②，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，证明你的结论．

（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，请直接写出你的猜想（不必说明理由）．

6．（1）阅读理解：

如图①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：

延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，这样就把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系可判断线段AE的取值范围是 　   　；则中线AD的取值范围是 　    　；

（2）问题解决：

如图②，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，此时：BE+CF　  　EF（填“＞”或“＝”或“＜”）；

（3）问题拓展：

如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作∠ECF＝70°，边CE，CF分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，此时：BE+DF　   　EF（填“＞”或“＝”或“＜“）；

（4）若在图③的四边形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且（3）中的结论仍然成立，则∠BCD＝　   　（用含α的代数式表示）.

7．【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．

（1）如图 1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，连结DA、DB、DC，且∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，根据∠BAC+BDC＝180°，则∠ABD+∠ACD＝180°，因为∠ACD+∠ACE＝180°可证∠ABD＝∠ACE，易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是 　   　；

【拓展延伸】

（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；

【知识应用】

（3）如图3，两块斜边长都为2cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，已知30°所对直角边等于斜边一半，则PQ的长为 　   　cm．（结果无需化简）

8．如图，点P（3m﹣1，﹣2m+4）在第一象限的角平分线OC上，AP⊥BP，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上．

（1）求点P的坐标．

（2）当∠APB绕点P旋转时，

①OA+OB的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值．

②请求出OA2+OB2的最小值．