（冲刺高分必刷）专题15 挑战四边形和旋转综合应用压轴-备战中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

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1．（2022•阜新）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE＜AB），∠EDF＝90°，DE＝DF，连接AE，CF．
（1）如图1，求证：△ADE≌△CDF；
（2）直线AE与CF相交于点G．
①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；
②如图3，连接BG，若AB＝4，DE＝2，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．
2．（2022•南通）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．
（1）当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证：AM＝AB；
（2）当AE＝3时，求CF的长；
（3）连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．
3．（2022•通辽）已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A．
（1）如图1，当点G在AD上，F在AB上，求的值为多少；
（2）将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），如图2，求的值为多少；
（3）AB＝8，AG＝AD，将正方形AFEG绕A逆时针方向旋转α（0°＜α＜360°），当C，G，E三点共线时，请直接写出DG的长度．
4．（2022•营口）如图1，在正方形ABCD中，点M为CD边上一点，过点M作MN⊥CD且DM＝MN，连接DN，BM，CN，点P，Q分别为BM，CN的中点，连接PQ．
（1）证明：CM＝2PQ；
（2）将图1中的△DMN绕正方形ABCD的顶点D顺时针旋转α（0°＜α＜360°）．
①（1）中的结论是否成立？若成立，请结合图2写出证明过程；若不成立，请说明理由；
②若AB＝10，DM＝2，在△DMN绕点D旋转的过程中，当B，M，N三点共线时，请直接写出线段PQ的长．
5．（2022•江西）综合与实践
问题提出
某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF（∠P＝90°，∠F＝60°）的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．
操作发现
（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为 ；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为 ；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为 ；
类比探究
（2）若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP分别与正方形的边相交于点M，N．
①如图2，当BM＝CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；
②如图3，当CM＝CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；
拓展应用
（3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH＝α），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）．
（参考数据：sin15°＝，cs15°＝，tan15°＝2﹣）
6．（2022•自贡）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．
（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EB＝AB．我们还可以得到FC＝ ，EF＝ ；
（2）进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论；
（3）已知BC＝30cm，DC＝80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求EF与BC之间的距离．
7．（2021•日照）问题背景：
如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．
实验探究：
（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①＝ ；②直线AE与DF所夹锐角的度数为 ．
（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
拓展延伸：
在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为 ．
8．（2021•南通）如图，正方形ABCD中，点E在边AD上（不与端点A，D重合），点A关于直线BE的对称点为点F，连接CF，设∠ABE＝α．
（1）求∠BCF的大小（用含α的式子表示）；
（2）过点C作CG⊥直线AF，垂足为G，连接DG．判断DG与CF的位置关系，并说明理由；
（3）将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，点E的对应点为点H，连接BF，HF．当△BFH为等腰三角形时，求sinα的值．
9．（2021•烟台）有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，点E，F分别在边AB和AD上，连接BF，DE，M是BF的中点，连接AM交DE于点N．
【观察猜想】
（1）线段DE与AM之间的数量关系是 ，位置关系是 ；
【探究证明】
（2）将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边AB上，如图2，其他条件不变，线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由．
10．（2021•鄂尔多斯）旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题．
（1）尝试解决：如图①，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M是BC上的一点，BM＝1cm，CM＝2cm，将△ABM绕点A旋转后得到△ACN，连接MN，则AM＝ cm．
（2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形ABCD中，AB＝AD＝a，CB＝CD，AB⊥BC于点B，AD⊥CD于点D，点P、Q分别是AB、AD上的点，且∠PCB+∠QCD＝∠PCQ，求△APQ的周长．（结果用a表示）
（3）拓展应用：如图③，已知四边形ABCD，AD＝CD，∠ADC＝60°，∠ABC＝75°，AB＝2，BC＝2，求四边形ABCD的面积．
11．（2021•辽宁）在▱ABCD中，∠BAD＝α，DE平分∠ADC，交对角线AC于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转α得线段EP．
（1）如图1，当α＝120°时，连接AP，请直接写出线段AP和线段AC的数量关系；
（2）如图2，当α＝90°时，过点B作BF⊥EP于点F，连接AF，请写出线段AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由；
（3）当α＝120°时，连接AP，若BE＝AB，请直接写出△APE与△CDG面积的比值．
12．（2021•齐齐哈尔）综合与实践
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．
（1）∠EAF＝ °，写出图中两个等腰三角形： （不需要添加字母）；
转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．
（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为 ；
（3）连接正方形对角线BD，若图2中的∠PAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N，如图3，则＝ ；
剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．
（4）求证：BM2+DN2＝MN2．
13．（2021•宿迁）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．
（1）如图①，连接BG、CF，求的值；
（2）当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；
（3）连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE＝6，请直接写出线段QN扫过的面积．
14．（2021•眉山）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，边长为2的正方形DEFG的对角线交点与点C重合，连接AD，BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当点D在△ABC内部，且∠ADC＝90°时，设AC与DG相交于点M，求AM的长；
（3）将正方形DEFG绕点C旋转一周，当点A、D、E三点在同一直线上时，请直接写出AD的长．
15．（2021•浙江）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．
[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．
[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．
[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．
16．（2020•阜新）如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD＞2CE），BG的延长线与直线DE交于点H．
（1）如图1，当点G在CD上时，求证：BG＝DE，BG⊥DE；
（2）将正方形CEFG绕点C旋转一周．
①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：BH﹣DH＝CH；
②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长．
17．（2020•益阳）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．
根据以上定义，解决下列问题：
（1）如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？
（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，点B到直线AD的距离为BE．
①求BE的长；
②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求△MNC周长的最小值．
18．（2020•邵阳）已知：如图①，将一块45°角的直角三角板DEF与正方形ABCD的一角重合，连接AF，CE，点M是CE的中点，连接DM．
（1）请你猜想AF与DM的数量关系是 ．
（2）如图②，把正方形ABCD绕着点D顺时针旋转α角（0°＜α＜90°）．
①AF与DM的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提示：延长DM到点N，使MN＝DM，连接CN）
②求证：AF⊥DM；
③若旋转角α＝45°，且∠EDM＝2∠MDC，求的值．（可不写过程，直接写出结果）
19．（2020•山西）综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．
猜想证明：
（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；
（2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若AB＝15，CF＝3，请直接写出DE的长．
20．（2020•内江）如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP交BC于点E，QP延长线与边AD交于点F．
（1）连接CQ，求证：AP＝CQ；
（2）若AP＝AC，求CE：BC的值；
（3）求证：PF＝EQ．
21．（2020•郴州）如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．
（1）如图2，在旋转过程中，
①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；
②当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．
（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．
①求证：AG⊥CP；
②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
22．（2020•湘西州）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．
小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG＝AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论，他的结论就是 ；
探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由；
探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA＝BC，∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由；
实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°．试求此时两舰艇之间的距离．
23．（2020•河南）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE．
（1）如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为 ，连接BD，可求出的值为 ；
（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，
①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②当以点B′，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．
24．（2020•贵阳）如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点．
（1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）问题探究：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论；
（3）拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积．
25．（2019•朝阳）如图，四边形ABCD是正方形，连接AC，将△ABC绕点A逆时针旋转α得△AEF，连接CF，O为CF的中点，连接OE，OD．
（1）如图1，当α＝45°时，请直接写出OE与OD的关系（不用证明）．
（2）如图2，当45°＜α＜90°时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）当α＝360°时，若AB＝4，请直接写出点O经过的路径长．
26．（2019•通辽）如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．
（1）如图1，求证：△BCP≌△DCQ；
（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．
①如图2，求证：BE⊥DQ；
②如图3，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．
27．（2023•深圳模拟）过四边形ABCD的顶点A作射线AM，P为射线AM上一点，连接DP．将AP绕点A顺时针方向旋转至AQ，记旋转角∠PAQ＝α，连接BQ．
（1）【探究发现】如图1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形ABCD是正方形，且α＝90°．无论点P在何处，总有BQ＝DP，请证明这个结论．
（2）【类比迁移】如图2，如果四边形ABCD是菱形，∠DAB＝α＝60°，∠MAD＝15°，连接PQ．当PQ⊥BQ，AB＝时，求AP的长；
（3）【拓展应用】如图3，如果四边形ABCD是矩形，AD＝6，AB＝8，AM平分∠DAC，α＝90°．在射线AQ上截取AR，使得AR＝AP．当△PBR是直角三角形时，请直接写出AP的长．
28．（2022•郧西县模拟）如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．
（1）试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由；
（2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；
（3）如图①，若AB＝15，CF＝3，请直接写出DE的长．
29．（2022•余江区二模）问题情境：
如图1，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8．E为边BC上一点，沿直线DE将矩形折叠，使点C落在AB边的点C'处．
猜想验证：
（1）填空：AC′'的长为 ．
（2）如图2，将△DC′E沿线段AB向右平移，使点C'与点B重合，得到△D'BE'，D'E'与BC交于点F，D'B与DE交于点G．
①求EF的长；
②连接GF，EE'，则四边形GEE'F是平行四边形吗？若是，予以证明；若不是，请说明理由．
拓展研究：
（3）如图3，将△D′BE'沿点B按逆时针方向旋转一定角度α（0°＜α＜90°），D′E分别交DE和BC于点M和点N．当D'B∥DE时，分别求出tanα的值和线段MN的长．
30．（2022•林州市二模）如图1，四边形ABCD为正方形，点E为其边BC上一点，以CE为边在正方形ABCD右侧作正方形CEFG，将正方形CEFG绕点C逆时针旋转，记旋转角为α（0°＜α＜360°），连接AF、BG，直线AF、BG交于点M．
（1）当α＝90°时，∠AMB＝ °；当α＝270°时，∠AMB＝ °；
（2）在旋转过程中，∠AMB的度数是否为定值？如果是，请就图2的情况予以证明；如果不是，请说明理由．
（3）若BC＝3，CE＝1，当A、E、F三点在同一条直线上时，请直接写出线段BM的长度．
31．（2022•南阳二模）综合与实践
【动手操作】如图①，四边形ABCD是一张矩形纸片，AB＝6，AD＝5．先将矩形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为MN，沿MN剪开得到两个矩形．矩形AMND保持不动，将矩形MBCN绕点M逆时针旋转，点N的对应点为N'．
【探究发现】（1）如图②，当点C与点D重合时，MN'交AD于点E，BC交MN于点F，此时两个矩形重叠部分四边形MEDF的形状是 菱形 ，面积是 ；
（2）如图③，当点N落在AD边上时，BC恰好经过点N，N'C与DN交于点G，求两个矩形重叠部分四边形MN'GN的面积；
【引申探究】（3）当点N'落在矩形AMND的对角线MD所在的直线上时，直线N'C与直线DN交于点G，请直接写出线段DG的长．