专题30二次函数与动点压轴问题-中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）

中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题30二次函数与动点压轴问题

【例1】．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，已知二次函数的图像交轴于点，，交轴于点．

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点，同时出发．设运动时间为秒（）．当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？

(3)已知是抛物线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．

【例2】（2022·四川达州·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．

(1)求该二次函数的表达式；

(2)连接，在该二次函数图象上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；

(3)如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线，分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

【例3】（2021·江苏淮安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（5，0），顶点为点D，动点M、Q在x轴上（点M在点Q的左侧），在x轴下方作矩形MNPQ，其中MQ＝3，MN＝2．矩形MNPQ沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动开始时，点M的坐标为（﹣6，0），当点M与点B重合时停止运动，设运动的时间为t秒（t＞0）．

（1）b＝　　，c＝　　．

（2）连接BD，求直线BD的函数表达式．

（3）在矩形MNPQ运动的过程中，MN所在直线与该二次函数的图象交于点G，PQ所在直线与直线BD交于点H，是否存在某一时刻，使得以G、M、H、Q为顶点的四边形是面积小于10的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

（4）连接PD，过点P作PD的垂线交y轴于点R，直接写出在矩形MNPQ整个运动过程中点R运动的路径长．

【例4】（2021·四川雅安·统考中考真题）已知二次函数．

（1）当该二次函数的图象经过点时，求该二次函数的表达式；

（2）在(1) 的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C,点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值;

（3）若对满足的任意实数x，都使得成立，求实数b的取值范围．

【例5】（2021·湖南张家界·统考中考真题）如图，已知二次函数的图象经过点且与轴交于原点及点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）求顶点的坐标及直线的表达式；

（3）判断的形状，试说明理由；

（4）若点为上的动点，且的半径为，一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段匀速运动到点，再以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动到点后停止运动，求点的运动时间的最小值．

1．（2022·内蒙古包头·模拟预测）如图，已知正方形的边，分别在x轴和y轴的正半轴上，点B的坐标为．二次函数的图象经过点A，B，且x轴的交点为E，F．点P在线段上运动，过点O作于点H．直线交直线于点D，连接．

(1)求，的值及点E和点F的坐标；

(2)在点P运动的过程中，当与以A，B，D为顶点的三角形相似时，求点P的坐标；

(3)当点P运动到的中点时，能否将绕平面内某点旋转后使得的两个顶点落在x轴上方的抛物线上？若能，请直接写出旋转中心M的坐标；若不能，请说明理由．

2．（2023·广西玉林·一模）已知二次函数的图象经过点．

(1)求该二次函数的表达式；

(2)二次函数图象与轴的另一个交点为，与轴的交点为，点从点出发在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求面积的最大值；

(3)在点、运动的过程中，是否存在使与相似的时刻，如果存在，求出运动时间，如果不存在，请说明理由．

3．（2022·湖南长沙·长沙市南雅中学校联考一模）已知二次函数（）的图象经过A（1，0）、B（−3，0）两点，顶点为点C．

(1)求二次函数的解析式；

(2)如二次函数的图象与y轴交于点G，抛物线上是否存在点Q，使得∠QAB=∠ABG，若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由；

(3)经过点B并且与直线AC平行的直线BD与二次函数图象的另一交点为D，DE⊥AC，垂足为E，DFy轴交直线AC于点F，点M是线段BC之间一动点，FN⊥FM交直线BD于点N，延长MF与线段DE的延长线交于点H，点P为△NFH的外心，求点M从点B运动到点C的过程中，P点经过的路线长．

4．（2021·四川宜宾·四川省宜宾市第二中学校校考一模）次函数的图象交x轴于点A（－1，0），B（4，0），两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．

(1)求二次函数的表达式；

(2)连接BD，当时，求△DNB的面积；

(3)在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标．

5．（2022·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（0，-4），连接AB，BC． 动点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动；同时，动点Q从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度的速度向点C作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒． 连接PQ，PC．

(1)求抛物线的表达式；

(2)在点P，Q运动过程中，当的面积为时，求点Q坐标；

(3)在（2）条件下，时，在直线PQ上是否存在点M，使？若存在，请直接求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

6．（2022·四川广安·统考二模）如图：已知关于x的二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．

(1)求二次函数的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；

(3)有一个点M在线段CB上运动，作MN⊥x轴交抛物线于点N，问当M、N点位于何处时，△BCN的面积最大，求最大面积.

7．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）综合与探究

如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线轴于点D，作直线BC交PD于点E

(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；

(2)当是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；

(3)连接AC，过点P作直线 ，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

8．（2020·江苏盐城·统考一模）如图，二次函数的图像与x轴交于点A（2，0）和点B（4，0），与y轴交于点E，以AB为边在x轴下方作正方形ABCD，点M是x轴上一动点，连接CM，过点M作MN⊥MC，与AD边交于点N，与y轴交于点F．

(1)求该抛物线的表达式；

(2)在第一象限的抛物线上任取一点P，连接EP、PB，请问：△EPB的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)当点M在线段OB（点M不与O、B重合）上运动至何处时，线段OF的长有最大值？并求出这个最大值．

9．（2022·山西大同·校联考三模）如图，二次函数的图象与x轴交于点A和B，点A在点B的左侧，与y轴交于点C．

(1)求直线的函数解析式；

(2)如图2，点D在直线下方的抛物线上运动，过点D作轴交于点M，作于点N，当的周长最大时，求点D的坐标及周长的最大值；

(3)以为边作交y轴于点E，借助图1探究，并直接写出点E的坐标．

10．（2022·山西·校联考模拟预测）综合与探究

如图，二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴分别交于点A(−2，0)，B(4，0)，点E是x轴正半轴上的一个动点，过点E作直线PE⊥x轴，交抛物线于点P，交直线BC于点F．

(1)求二次函数的表达式．

(2)当点E在线段OB上运动时（不与点O，B重合），恰有线段，求此时点P的坐标．

(3)试探究：若点Q是y轴上一点，在点E运动过程中，是否存在点Q，使得以点C，F，P，Q为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

11．（2022·福建三明·统考模拟预测）已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数 的图像经过A、B两点．

(1)求二次函数的表达式．

(2)设动点M的横坐标为m，当动点M在AB下方的抛物线上运动时，求△MAB的面积S关于m的函数表达式．

(3)有一条动直线，直线在AO之间移动（包括A，O两端点），直线交抛物线于点Q，当△QAB的面积是△QAO面积的2倍时，求a的值．

12．（2022·江苏泰州·统考二模）我国于2022年在北京举办冬奥会，滑雪是其中最具观赏性的项目之一．如图所示，一个滑道由滑坡（AB段）和缓冲带（BC段）组成，其中滑坡AB长为270米．某滑雪运动员在滑坡上滑行的距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）满足二次函数关系，并测得相关数据：

该运动员在缓冲带上滑行的距离（单位：m）与在缓冲带上滑行时间（单位：s）满足：．

(1)求与的函数关系式；

(2)求该运动员从A出发到在缓冲带BC上停止所用的总时间．

13．（2022·江苏连云港·统考二模）如图，平面直角坐标系中，二次函数图像交x轴于点A、B，交y轴于点C，图像对称轴交x轴于点D．点P是线段OD上一动点，从O向D运动，H是射线BC上一点．

(1)则点A的坐标为           ，点B的坐标为           ，线段BC的长为           ；

(2)如图1，在P点运动过程中，若△OPC中有一个内角等于∠HCA，求OP的长；

(3)如图2，点在二次函数图像上，在P点开始运动的同时，点Q在抛物线对称轴上从D点向上运动，Q点运动速度是P点运动速度的2倍，连接QM，则的最小值为            ．

14．（2020·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市第九中学校考一模）已知二次函数的图象与轴交于和，与轴交于点．

(1)求该二次函数的表达式．

(2)如图，连接，动点以每秒个单位长度的速度由向运动，同时动点以每秒个单位长度的速度由向运动，连接，当点到达点的位置时，、同时停止运动，设运动时间为秒．当为直角三角形时，求的值．

(3)如图，在抛物线对称轴上是否存在一点，使得点到轴的距离与到直线的距离相等，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

15．（2022·山西吕梁·统考二模）综合与探究

如图，二次函数与轴交于，两点，与轴交于点．点是射线上的动点，过点作，并且交轴于点．

(1)请直接写出，，三点的坐标及直线的函数表达式；

(2)当平分时，求出点的坐标；

(3)当点在线段上运动时，直线与抛物线在第一象限内交于点，则线段是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．

16．（2022·山西吕梁·统考二模）综合与探究

如图，二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．点D是射线BC上的动点，过点D作，并且交x轴于点E．

(1)请直接写出A，B，C三点的坐标及直线BC的函数表达式；

(2)当AD平分时，求出点D的坐标；

(3)当点D在线段BC上运动时，直线DE与抛物线在第一象限内交于点P，则线段PD是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．

17．（2022·贵州铜仁·统考二模）如图，已知二次函数的图象经过点且与x轴交于原点及点，顶点为A．

(1)求二次函数的表达式；

(2)判断的形状，试说明理由；

(3)若点P为上的动点，且的半径为，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．

18．（2022·江苏无锡·统考二模）二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A（﹣1，0）、B（4，0）．

(1)求此二次函数的表达式；

(2)①如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F（﹣，0），动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似，求点N的坐标；

②如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，将射线MA绕点M逆时针旋转45°，交抛物线于点P，求点P的坐标；

(3)已知Q在y轴上，T为二次函数对称轴上一点，且△QOT为等腰三角形，若符合条件的Q恰好有2个，直接写出T的坐标．

19．（2022·江苏徐州·统考二模）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点．

(1)求此二次函数的表达式；

(2)点在以为直径的圆上（点与点，点，点均不重合），试探究，、的数量关系，并说明理由．

(3)点为该图像在第一象限内的一动点，过点作直线的平行线，交轴于点．若点从点出发，沿着抛物线运动到点，则点经过的路程为______．

20．（2022·江苏苏州·统考一模）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+4的图象与x轴交于点A、B与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣8，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．

(1)b＝     ，点B的坐标是     ；

(2)连接AC、BC，证明：∠CBA＝2∠CAB；

(3)点D为AC的中点，点E是抛物线在第二象限图象上一动点，作DE，把点A沿直线DE翻折，点A的对称点为点G，点E运动时，当点G恰好落在直线BC上时，求E点的坐标．