初中数学苏科版八年级下册9.3 平行四边形精练

第9章　中心对称图形——平行四边形

9.3　平行四边形

基础过关全练

知识点1　平行四边形的概念

1.(2022内蒙古赤峰期中)如图,剪两张对边平行的纸条,随意交叉叠放在一起,重合部分构成一个四边形ABCD,在转动其中一张纸条的过程中,下列结论一定成立的是              (　　)

A.四边形ABCD的周长不变        B.AD=CD

C.四边形ABCD的面积不变        D.AD=BC

知识点2　平行四边形的性质

2.(2022江苏滨海中考)如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,若∠EAF=53°,则∠BAD=　　　　. 

3.(2022江苏盐城盐都月考)如图,在▱ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,∠BAC=90°,AD=15,OC=6,则△BOC的面积为　　　　. 

4.【一题多变】如图1,在▱ABCD中,BE平分∠ABC交AD边于点E,则△ABE是　　　　三角形. 

图1                图2

[变式]如图2,在▱ABCD中,AD=5,点E是AD上一点,连接BE,CE,若EC平分∠BED,则BE=　　　　. 

知识点3　平行四边形的判定

5.【新考法】(2022江苏南京三十九中期中)如图,点D是直线l外一点,在l上取两点A,B,连接AD,分别以点B,D为圆心,AD,AB的长为半径画弧,两弧交于点C,连接CD,BC,则四边形ABCD是平行四边形,理由:　　　　　　　　　　　　. 

6.(2021江苏徐州期中)如图,平行四边形ABCD中,AB=8 cm,AD=12 cm,点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动,点Q在BC边上,以每秒4 cm的速度从点C出发,在C、B间往返运动,两个点同时出发,当点P到达点D时同时停止.在开始运动后,经过　　　　　　秒时,以P、D、Q、B四点为顶点的四边形为平行四边形. 

7.【一题多解】【教材变式·P69例3变式】在▱ABCD中,BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,试判断BE与DF的关系.

知识点4　反证法

8.(2022江苏扬州期中)用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”的第一步应假设　　　　　　　　　　　　　　. 

能力提升全练

9.(2022黑龙江大庆中考,7,)如图,将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠,使点A落在E处.若∠1=56°,∠2=42°,则∠A的度数为              (　　)

A.108°　　　　B.109°　　　　C.110°　　　　D.111°

10.(2022江苏徐州期中,7,)如图所示,平行四边形ABCD中,AC=4 cm,BD=6 cm,则边AD的长可以是              (　　)

A.4 cm　　　　B.5 cm　　　　C.6 cm　　　　D.7 cm

11.(2022江苏海安期中,8,)如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别是A(1,0),B(-1,3),C(-2,-1),再找一点D,使它与点A,B,C构成的四边形是平行四边形,则点D的坐标不可能是              (　　)

A.(-3,2)　　　　B.(-4,2)

C.(0,-4)　　　　D.(2,4)

12.(2022江苏徐州月考,12,)如图,平行四边形ABCD的两条对角线AC和BD的长分别为10和8,AC与BD交于点O,则AB的长x的取值范围是　　　　　　. 

13.(2022江苏南京月考,10,)用反证法证明“多边形中最多有三个锐角”的第一步应假设　　　　　　　　. 

14.(2022江苏海安期中,18,)如图,若▱AFPE、▱BGPF、▱EPHD的面积分别为15、6、25,则阴影部分的面积是　　　　. 

素养探究全练

15.【几何直观】(2022江苏睢宁月考)在△ABC中,AB=AC,点D在边BC所在的直线上,过点D作DF∥AC交直线AB于点F,作DE∥AB交直线AC于点E.

(1)当点D在边BC上时,如图①,求证:DE+DF=AC;

(2)当点D在BC的延长线上时,如图②,当点D在CB的延长线上时,如图③,请分别写出图②、图③中DE,DF,AC之间的数量关系,不需要证明;

(3)若AC=6,DE=4,则DF=　　　　. 

图①           图②           图③

16.【推理能力】(2021浙江绍兴中考)问题:如图,在▱ABCD中,AB=8,AD=5,∠DAB,∠ABC的平分线AE,BF分别与直线CD交于点E,F,求EF的长.

答案:EF=2.

探究:

(1)把“问题”中的条件“AB=8”去掉,其余条件不变.

①当点E与点F重合时,求AB的长;

②当点E与点C重合时,求EF的长;

(2)把“问题”中的条件“AB=8,AD=5”去掉,其余条件不变,当点C,D,E,F相邻两点间的距离相等时,求的值.

答案全解全析

基础过关全练

1.D　∵AB∥CD,AD∥BC,

∴四边形ABCD是平行四边形,

∴AD=BC.

在转动一张纸条的过程中,AD不一定等于CD,四边形ABCD的周长、面积都会改变.

故A、B、C不符合题意.故选D.

2.127°

解析　∵AE⊥BC,AF⊥CD,

∴∠AEC=∠AFC=90°,

∵∠AEC+∠C+∠AFC+∠EAF=360°,∠EAF=53°,

∴∠C=360°-90°-90°-53°=127°,

∴∠BAD=∠C=127°.

3.27

解析　∵四边形ABCD是平行四边形,

∴BC=AD=15,OA=OC=6,

∴AC=12,

∵∠BAC=90°,

∴在Rt△ABC中,AB2=BC2-AC2=152-122=81,

∴AB=9,

∴S△ABO=×9×6=27,

∵OA=OC,

∴S△BOC=S△ABO=27.

4.等腰

解析　在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠AEB=∠CBE,

∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,

∴∠AEB=∠ABE,∴△ABE是等腰三角形.

[变式]5

解析　在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠DEC=∠BCE,

∵EC平分∠BED,

∴∠BEC=∠DEC,

∴∠BCE=∠BEC,

∴BE=BC,

又∵在▱ABCD中,BC=AD=5,

∴BE=BC=5.

5.两组对边分别相等的四边形是平行四边形

解析　根据尺规作图的作法可得AB=DC,AD=BC,

∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).

6.4.8或8或9.6

解析　设经过t秒时,以点P、D、Q、B为顶点的四边形为平行四边形,

∵以点P、D、Q、B为顶点的四边形为平行四边形,

∴DP=BQ,分为以下情况:

①当0<t≤3时,12-4t=12-t,解得t=0,不符合题意;

②当3<t≤6时,4t-12=12-t,解得t=4.8;

③当6<t≤9时,12-(4t-24)=12-t,解得t=8;

④当9<t≤12时,4t-36=12-t,解得t=9.6.

综上所述,当经过4.8或8或9.6秒时,以P、D、Q、B四点为顶点的四边形为平行四边形.

7.解析　解法一:等面积法.

在▱ABCD中,S▱ABCD=2S△ABC=2S△ACD,

∵BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,

∴AC×DF,

∴BE=DF,

∵∠BEF=∠DFE=90°,

∴BE∥DF.

故BE与DF的关系是BE∥DF,BE=DF.

解法二:连接BD,交AC于点O,如图,

易证△BOE≌△DOF,

∴BE=DF,且∠EBO=∠FDO,

∴BE∥DF.

故BE与DF的关系是BE=DF,BE∥DF.

8.一个三角形中有两个角是直角

解析　用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”的第一步应假设一个三角形中有两个角是直角.

故答案为一个三角形中有两个角是直角.

能力提升全练

9.C　∵四边形ABCD为平行四边形,

∴AB∥CD,

∴∠ABE=∠1=56°,

根据折叠可知,∠ABD=∠EBD,

∴∠ABD=×56°=28°,

∵∠2=42°,

∴∠A=180°-∠ABD-∠2=110°,

故C正确.故选C.

10.A　在▱ABCD 中,AO=×4=2(cm),

OD=×6=3(cm),

由三角形的三边关系得,OD-AO<AD<OA+OD,

∴1 cm<AD<5 cm,

∴AD的长可以是4 cm,故选A.

11.A　如图所示.

满足条件的点D有三个,坐标分别为(2,4),(-4,2),(0,-4),故选A.

12.1<x<9

解析　∵AC=10,BD=8,

∴BO=BD=4,AO=AC=5,

在△AOB中,根据三角形三边关系得AO-BO<AB<AO+BO,所以1<AB<9,故答案为1<x<9.

13.多边形中至少有四个角是锐角

解析　原命题中的结论是“多边形中最多有三个锐角”,对于结论相反的假设应是“多边形中至少有四个角是锐角”.

14.15.5

解析　∵▱AFPE、▱BGPF、▱EPHD的面积分别为15、6、25,

∴AB∥GE∥CD,AD∥FH∥BC,

PF∶PH=15∶25=3∶5,

∴四边形AFHD、四边形CDEG都是平行四边形,▱PGCH的面积=6×=10,

∴▱ABCD的面积=15+6+25+10=56,

△ADF的面积=▱AFHD的面积的一半=×(15+25)=20,

△CDG的面积=▱CDEG的面积的一半=×(25+10)=17.5,

△BGF的面积=▱BGPF的面积的一半=×6=3,

∴阴影部分的面积=56-20-17.5-3=15.5.

故答案为15.5.

素养探究全练

15.解析　(1)证明:如题图①,∵DF∥AC,DE∥AB,

∴四边形AFDE是平行四边形,∴DF=AE,

∵AB=AC,∴∠B=∠C,

∵DE∥AB,

∴∠EDC=∠B,

∴∠EDC=∠C,

∴DE=EC,

∴DE+DF=EC+AE=AC.

(2)如题图②,∵DF∥AC,DE∥AB,

∴四边形AFDE是平行四边形,

∴AE=DF,

∵DE∥AB,

∴∠B=∠BDE,

∵AB=AC,

∴∠B=∠ACB,

∴∠BDE=∠ACB,

∵∠DCE=∠ACB,

∴∠BDE=∠DCE,

∴DE=CE,

∴AC+DE=AC+CE=AE=DF.

如题图③,∵DF∥AC,DE∥AB,

∴四边形AFDE是平行四边形,

∴AE=DF,

∵DE∥AB,

∴∠ABC=∠BDE,

∵AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB,

∴∠BDE=∠DCE,

∴DE=CE=AC+AE=AC+DF.

(3)当点D在边BC上时,

由(1)可知DE+DF=AC,∴DF=2;

当点D在BC的延长线上时,

由(2)可知AC+DE=DF,

∴DF=10;

由AC,DE的大小关系可知点D不可能在CB的延长线上.

故答案为2或10.

16.解析　(1)①如图所示:

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴CD=AB,BC=AD=5,AB∥CD,

∴∠DEA=∠BAE,

∵AE平分∠DAB,

∴∠DAE=∠BAE,

∴∠DEA=∠DAE,

∴DE=AD=5,

同理:CF=BC=5,

∵点E与点F重合,

∴AB=CD=DE+CF=10.

②如图所示,由①可知∠DAE=∠DCA,

又C与E重合,∴DE=DA=DC=5,

同理CB=CF=5,∴点F与点D重合,∴EF=5.

(2)分三种情况:

①如图所示:

由(1)得AD=DE=CF,

∵点C,D,E,F相邻两点间的距离相等,

∴AD=DE=EF=CF,

∴.

②如图所示:

由(1)得AD=DE=CF,

∵DF=FE=CE,∴.

③如图所示:

由(1)得AD=DE=CF,∵DF=DC=CE,∴=2.

综上所述,或2.