2023年山西省吕梁市交城县九年级第一次中考模拟数学试题（含答案）

2023年山西省吕梁市交城县九年级第一次中考模拟数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．计算的结果是（    ）

A．－9 B．－1 C．1 D．9

2．如图是某几何体的三视图，则该几何体是（    ）

A．正方体 B．圆锥 C．圆柱 D．球

3．下列运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

4．如图，等腰三角形中，，，是的平分线，，则的度数为(    )

A． B． C． D．

5．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ）

A．4 B． C． D．－4

6．不透明的袋子中装有黑、白小球各一个，除颜色之外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到白球的概率是（    ）

A． B． C． D．

7．如图，的顶点O与坐标原点重合，顶点A，B分别在第二、三象限，且轴，若，，则点A的坐标为（    ）

A． B．

C． D．

8．化简的结果正确的是（    ）

A． B． C． D．

9．如图，是的平分线，D，E，F分别是射线、射线、射线上的点，连接．若添加一个条件使，则这个条件可以为（    ）

A．  B．  C．  D．

10．如图所示的网格中小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上，点C是以为直径的圆与网格线的交点，O为圆心，点D是的中点，，则图中阴影部分的的面积为（    ）（用含的式子表示）

A． B． C． D．

二、填空题

11．计算的结果是________．

12．分解因式：=______．

13．如图，某数学小组的同学为了测量直立在水平面上的旗杆AB的高度，把标杆CD直立在同一水平地面上，在某一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别为已知在同一直线上，则________．  

14．“数形结合”就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来进行研究的数学思想．结合函数的图象，当时，的取值范围为________．

15．如图，在等边中，，为的中点，连接，将绕着点逆时针旋转得到，连接交于点，则的长为________．

三、解答题

16．（1）计算：

（2）解不等式组：

17．如图，在平行四边形中，点E，F分别是边的中点，分别连接交对角线于点G，H，连接．

(1)求证：；

(2)求证：四边形是平行四边形．

18．某商场在夏季来临之际，用元购进一批衬衣，投入市场后供不应求，商场又投入元购进了第二批同种衬衣，所购数量是第一批购进数量的倍，但每件的进价贵了元．

(1)该商场购进第一批和第二批衬衣每件的进价分别是多少元？

(2)如果两批衬衣按相同的标价销售，要使两批衬衣全部打八折售完后利润不低于，那么每件衬衣的标价至少是多少元？

19．2022年4月21日新版义务教育课程方案及各科课程标准正式颁布，新的课程标准优化了课程设置，其中将劳动教育从综合实践活动课程中独立出来．某校为了初步了解学生的劳动教育的情况，从本校学生中随机抽取了500名进行问卷调查．下图是根据此次调查得到的结果绘制的两幅不完整统计图表．

学生平均每周劳动时间的统计表           

学生最喜欢的劳动课程统计图

请根据统计图表回答下列问题：

(1)本次调查中，平均每周劳动时间不少于3小时的人数占被调查人数的百分比为        ；

(2)若该校有2000名学生，请估计最喜欢的劳动课程为种植的有多少人？

(3)请你根据本次问卷调查的结果给同学和学校各提一条合理化建议．

20．如图，在中，，以为直径作交于点D，交的延长线于点E，连接，过点D作，垂足为点F．

(1)求证：是的切线；

(2)如果，，求的半径．

21．在交城县城西北方向的卦山群峰中，位于中央的小山峰上屹立着一座白塔，它在卦山诸多名胜中最引人注目如图．某数学小组为测量白塔的高度，在处如图测得塔顶的仰角为，然后沿着斜坡前进米到达处，在处测得到塔脚的距离米，已知，，求白塔的高度．

22．综合与实践

问题情境

如图1，已知线段，射线，射线，点D在射线上沿着的方向运动，过点D作交于点C，点E是的中点，连接，将沿着BE折叠，点A的对应点为点F，连接．

探究展示：

(1)当时，求的值；

(2)如图2，延长交于点G，当点G恰好是中点时，求证：四边形是正方形；

拓展探究：

(3)在图2中，若，直接写出的长度．

23．如图1，已知抛物线与直线交于，两点，与轴的另一个交点为A，点M是直线上方抛物线的一动点，过点M作轴，交于点E．

(1)求抛物线的解析式和直线的解析式；

(2)当点E是的三等分点时，求此时点M的坐标；

(3)如图2，直线与抛物线交于A，F两点，，若点Q是轴上一点，且，请直接写出点Q的坐标．

参考答案：

1．D

【分析】根据有理数的除法运算法则计算即可求解．

【详解】解：原式；

故选：D．

【点睛】此题主要考查有理数的除法运算，解题的关键是熟知除法运算法则．

2．C

【分析】根据简单几何体的三视图即可判断.

【详解】解：∵几何体的主视图和俯视图都是宽度相等的长方形，

∴该几何体是一个柱体，

∵俯视图是一个圆，

∴该几何体是一个圆柱体；

故选C．

【点睛】此题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是熟知简单几何体的三视图.

3．C

【分析】根据单项式乘以单项式，合并同类项，积的乘方，多项式除以单项式，逐项分析判断即可求解．

【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；    

B. ，故该选项不正确，不符合题意；

C. ，故该选项正确，符合题意；

D. ，故该选项不正确，不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，合并同类项，积的乘方，多项式除以单项式，掌握以上运算法则是解题的关键．

4．B

【分析】根据等腰三角形的定义以及三角形内角和定理得出，根据角平分线的定义以及平行线的性质即可求解．

【详解】解：∵等腰三角形中，，，

∴，

∵是的平分线，

∴，

∵，

∴，

故选：B．

【点睛】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．

5．B

【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到，建立关于n的方程，解答即可．

【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根，

∴，

∴，

解得，

故选：B．

【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，=0；当方程没有实数根时，<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键．

6．C

【分析】列树状图解答即可．

【详解】解：列树状图如下，

共有4种等可能的情况，其中两次都摸到白球的有1种，

∴两次都摸到白球的概率为，

故选：C．

【点睛】此题考查了列举法求事件的概率，正确列出树状图是解题的关键．

7．A

【分析】设与x轴交于点C，利用勾股定理求出长，根据点所在象限写出坐标．

【详解】解：设与x轴交于点C，

∵，轴，

∴,

∴，

∵点A在第二象限，

∴点A的坐标为

故选A．

【点睛】本题考查勾股定理，点的坐标，等腰三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键．

8．B

【分析】根据分式的混合计算法则求解即可．

【详解】

，

故选：B．

【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．

9．A

【分析】根据全等三角形的判定定理依次判断即可．

【详解】解：∵是的平分线，

∴，

∵是公共边，

∴当时，，故选项A符合题意；

当时，不能证明，故选项B不符合题意；

当时，不能证明，故选项C不符合题意；

当时，不能证明，故选项D不符合题意；

故选：A．

【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

10．B

【分析】先证明和，得到，从而得到．

【详解】解：如下图所示，连接，，，交于点E，

由题意可得，

∵，

∴，

∵点D是的中点，

∴，,

∵为直径，

∴,

∴，

∴，

∴，，,

∴，

∵,

∴,

∴，

故选：B．

【点睛】本题考查圆周角定理和弧形的面积，解题的关键是证得．

11．1

【分析】利用平方差公式进行计算即可．

【详解】解：

故答案为：1

【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和平方差公式是解题的关键．

12．a（b+1）（b﹣1）

【详解】解：原式==a（b+1）（b﹣1），

故答案为a（b+1）（b﹣1）．

13．

【分析】根据平行投影得可得可证然后利用相似三角形的性质可得代入即可求解．

【详解】解：∵在某一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别为

故答案为：

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影，证明是解题的关键．

14．或##或

【分析】画出函数的图象，当时，，结合函数的图像即可得到答案．

【详解】解：函数的图象如下图所示，

当时，，

∴当时，的取值范围为或

故答案为：或．

【点睛】本题考查反比例函数的图像和性质，解题的关键是牢记反比例函数的性质．

15．

【分析】过点作于点，过点作交的延长线于点，根据勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解．

【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作交的延长线于点，

在等边中，，为的中点，

∴，，

∴，

∵将绕着点逆时针旋转得到，

∴，，，

∴是等边三角形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

在中，，

，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．

16．（1）（2）

【分析】（1）根据零次幂，负整数指数幂，实数的混合运算进行计算即可求解；

（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【详解】解：（1）

；

（2）

解不等式①得：

解不等式②得：

∴不等式组的解集为：

【点睛】本题考查了实数的混合运算，解不等式组，正确的计算是解题的关键．

17．(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，由中点可得，证明全等即可；

（2）由得，由平行四边形可得，证明得到，，得以证明．

【详解】（1）证明：∵是平行四边形，

∴，

∵点E，F分别是边的中点，

∴，

∴，

∴；

（2）证明：∵，

∴，

∵是平行四边形，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

同理可得

∴四边形是平行四边形．

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．

18．(1)第一批衬衣每件的进价为80元，第二批衬衣每件的进价为88元；

(2)每件衬衣的标价至少是元

【分析】（1）设第一批衬衣每件的进价为元，则第二批衬衣每件的进价为（）元，根据所购数量是第一批购进量的倍列出方程解答即可；

（2）设每件衬衣的标价为元，依题意得出不等式，解不等式即可求解．

【详解】（1）设第一批衬衣每件的进价为元，则第二批衬衣每件的进价为（）元，

根据题意可得：

解得：

经检验是原分式方程的解．

所以．

答：第一批衬衣每件的进价为元，第二批衬衣每件的进价为元；

（2）解：设每件衬衣的标价为元，依题意得，

解得：

∴每件衬衣的标价至少是元．

【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找准数量关系，正确列出分式方程或不等式是解题的关键．

19．(1)

(2)人

(3)对同学：多多参加课外劳动课程，劳逸结合，学习一些基本的生活技能，比如烹饪、种植等；对学校：劳动课程应该多增加操作简单、与学生生活息息相关且能让学生有所收获的生活技能内容．

【分析】（1）由学生平均每周劳动时间的统计表求出平均每周劳动时间不少于3小时的人数，然后算出占总被调查人数的百分比即可；

（2）由扇形统计图得最喜欢的劳动课程为种植的占比例为，然后再用总人数乘以所占比例即可得出答案；

（3）对同学来说应该在学习的同时多多参加课外劳动课程，学一些与生活有关的技能，增加生活经验．对学校来说应该多增加一些与学生生活息息相关的劳动课程，锻炼生活技能；

【详解】（1）由学生平均每周劳动时间的统计表可知：平均每周劳动时间不少于3小时的人数为人，

故平均每周劳动时间不少于3小时的人数占被调查人数的百分比为．

故答案为：

（2）由扇形统计图得最喜欢的劳动课程为种植的占比例为：，

故估计最喜欢的劳动课程为种植的人数为人．

（3）对同学：多多参加课外劳动课程，劳逸结合，学习一些基本的生活技能，比如烹饪、种植等；

对学校：劳动课程应该多增加操作简单、与学生生活息息相关且能让学生有所收获的生活技能内容．

【点睛】本题考查调查统计，解题的关键是能够根据扇形统计图和统计表得出关键信息并加以转化运算．

20．(1)见详解

(2)

【分析】（1）连结，，根据圆的基本性质知，，结合题意知，是的中位线，所以，再根据题意及切线性质，进行作答；

（2）证明，得到，根据中位线的性质得到，根据勾股定理计算出的值，最后得到的半径．

【详解】（1）证明：连结，，

∵以为直径的交于点D，

∴，

∵，

∴，

又∵O是中点，

∴是的中位线

∴，

∵，

∴,

∴是的切线；

（2）解：∵为直径

∴.

∵，，

∴，

∵，  

∴，

∵

∴,

∵，

∴

∴的半径为.

【点睛】本题考查了圆的基本性质、与直线与圆的位置关系和中位线的性质，熟练掌握圆的基本性质、与直线与圆的位置关系、中位线性质运用是本题解题关键.

21．米

【分析】依题意，，四边形是矩形，，解，得出,，解得，进而即可求解．

【详解】解：依题意，，四边形是矩形，，

在中，，，

设，则，

∴，

∵，

∴,，

∵，，

∴，

在中，，

∴，

答：白塔的高度为米．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．

22．(1)

(2)见解析

(3)

【分析】（1）根据题意可知，可得，由，，可得为等边三角形，利用所对的直角边等于斜边的一半解题即可；

（2）先推导，则有，代入可求长，即可证明结论；

（3）过F点作交，于点P，Q，在中求出，然后利用求出，利用相似求出，长，然后利用勾股定理解题即可．

【详解】（1）解：∵，，

∴，

∴是矩形，

∴，，，

∵点E是的中点，

∴，

又∵

∴

∴

由翻折可得：，，

又∵

∴

∴

∵

∴为等边三角形，

∴

在中

，

（2）证明：由（1）可知四边形是平行四边形

∴

∵点G为的中点

∴

由折叠可知：

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∵E为的中点

∴

∴

∴

∴

∴四边形为正方形

（3）解：过F点作交，于点P，Q，

则为矩形，

∴，

在中，

，

又∵,

即

解得：，

∴，

又∵

∴，

∴，

即，

在中，

．

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的判定，勾股定理等知识，能综合运用以上性质和判定方法是解题的关键．

23．(1)；

(2)或

(3)或．

【分析】（1）利用待定系数法分别求解抛物线的解析式和直线的解析式即可；

（2）设点，则点，则，，分和两种情况列方程并分别解方程即可得到答案；

（3）先求出点A的坐标，用待定系数法求出直线的解析式为，再求出点，设点，作于点N，进一步利用解直角三角形知识和两点间距离公式列方程，解方程得到p的值，即可得到点Q的坐标．

【详解】（1）解：将，代入，得

，

解得，

∴抛物线的解析式为；

∵直线经过点，，

∴设直线的解析式，

将，代入得：，

得．    

∴直线的解析式为．

（2）设点，则点，

则，

，

当时，

，

解得（不合题意，舍去），

当时，，

∴点M的坐标是，

当时，

，

解得（不合题意，舍去），，

当时，，

∴此时点M的坐标是，

综上可知，点M的坐标为或；

（3）∵当时，，

解得，

∴；

设直线的解析式为，把，代入得到，

，

得．  

∴直线的解析式为．

当时，，

∴点，

设点，作于点N，

则，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

解得，，

∴或．

【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、解直角三角形、解一元二次方程等知识，数形结合并准确计算是解题的关键．