北师大版初一数学上册（秋季班）讲义 第11讲 解一元一次方程--提高班

第11讲  解一元一次方程

知识点1 解一元一次方程-移项与合并同类项

移项：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。

通过合并同类项，含有未知数的项与常数项分别合并为一项。

【典例】

1.对于类型的一元一次方程，移项与合并同类项得（　　）

A. （a-c）x=d-b       B. （a-c）x=b-d 

C. （a+c）x=b+d   D. （a-c）x=b+d 

【方法总结】

一般含未知数的项移到等式的左边，不含未知数的项移到等式的右边；移项时要注意变号。

【随堂练习】

1．（2017秋•金堂县期末）下列方程的变形正确的个数有（　　）

（1）由3+x=5，得x=5+3；

（2）由7x=﹣4，得x=﹣；

（3）由y=0得y=2；

（4）由3=x﹣2得x=﹣2﹣3．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．（2017秋•招远市期末）下列方程变形正确的是（　　）

A．方程3﹣x=2﹣5（x﹣1），去括号，得3﹣x=2﹣5x+1

B．方程3x﹣2=2x+1，移项，得3x﹣2x=1﹣2

C．方程x=，未知数系数化为1，得x=1

D．方程=1，去分母，得5（x﹣1）﹣4x=10

3．（2017秋•山亭区期末）下列方程的变形中正确的是（　　）

A．由x+5=6x﹣7得x﹣6x=7﹣5 B．由﹣2（x﹣1）=3得﹣2x﹣2=3

C．由得 D．由得2x=﹣12

知识点2 解一元一次方程-去括号

1、去括号法则：

（1）如果括号外是“+”，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。

（2）如果括号外是“﹣”，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。

2、解一元一次方程的基本思路是：通过对方程变形，把含有未知数的项移到方程的一边，把常数项移到方程的另一边，最终把方程“转化”为（为常数）的形式．

【典例】

1.解方程：

【方法总结】

1、去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．

2、一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号。

3、注意不要漏乘括号里的项，不要弄错符号．

【随堂练习】

1．（2016秋•河西区校级期末）3x﹣4（2x+5）=x+4．

2．（2017秋•华龙区校级期中）若我们定义a※b=4ab﹣a÷6，其中符号“※’是我们规定的一种运算符号，例如，6※2=4×6×2﹣6÷2=48﹣3=45．

（1）求（﹣4）※（﹣2），（﹣2）※2；

（2）若x※2=15，求x．

知识点3  解一元一次方程-去分母

去分母是指等式两边同时乘以分母的最小公倍数。

【典例】

1.解方程：

（1）

（2）

【方法总结】

1、去分母时，不要漏乘没有分母的项；

2、如果分子是一个多项式要把分子作为一个整体，加上括号

3、当分母是小数时，通常利用“等式的性质”或“把分子和分母扩大相同的倍数”，将小数化为整数

【随堂练习】

1．（2017秋•松滋市期末）解方程：

（1）5（x﹣2）﹣2=2（2+x）+x

（2）

2．（2018春•新泰市期末）解方程：

（1）

（2）．

3．（2017秋•山亭区期末）解方程：

（1）x﹣

（2）

知识点4 一元一次方程的解

一元一次方程的解：能够使一元一次方程左右两边相等的未知数的值

【典例】

1.下面是一个被墨水污染过的一元一次方程：2x﹣=x﹣，答案显示此方程的解是，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数为_______

【方法总结】

一元一次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，利用方程的解代替未知数，所得到的式子左右两边相等。

2.已知为正整数，关于x的方程的解为整数，则的最小值为______

【方法总结】

对于整数解问题

1、将一元一次方程转化为（为常数，且）的形式，

2、根据方程解和字母系数的取值范围，分类讨论方程的解和字母系数的个数

3、检验求出的解和字母系数是否符合要求

4、熟练区分正整数、负整数、非负数、非正数、非负整数、非正整数等。

【随堂练习】

1．（2018秋•锦江区校级期末）数学中有很多奇妙现象，比如：关于x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程为“差解方程”．例如：2x＝4的解为2，且2＝4﹣2，则该方程2x＝4是差解方程．若关于x的一元一次方程5x﹣m+1＝0是差解方程，则m＝　　．

2．（2018秋•福田区校级期末）关于x的方程bx﹣3＝x有解，则b的取值范围是　　．

3．（2018秋•兴业县期末）若x＝﹣1是关于x的方程2x﹣a＝0的解，则a的值是　　．

4．（2018秋•邗江区期末）已知方程4x﹣3m+2＝0的解是x＝1，则m＝　　．

5．（2019•东阿县二模）若x＝﹣1是方程2x+a＝0的解，则a＝　　．

6．（2018秋•青岛期末）已知x＝2是关于x的一元一次方程1﹣2ax＝x+a的解，则a的值为　　．

7．（2018秋•皇姑区期末）如果关于x的一元一次方程2x+a＝x﹣1的解是x＝﹣4，那么a的值为　　．

二．解答题（共1小题）

8．（2018秋•赣榆区期末）已知关于x的方程3（x﹣1）＝3m﹣6与2x﹣5＝﹣1的解互为相反数，求（m+）3的值．

知识点5 同解方程

两个或多个方程的解相同，则可称为同解方程

【典例】

1.若关于的方程与方程的解相同，则的值为___

【方法总结】

要判断两个方程的解相同，可以先解一下各个方程，然后进行判断．

【随堂练习】

1．（2019春•内江期末）如果关于x的方程3x+2a＝12和方程3x﹣4＝2（x﹣3）的解相同，那么与a互为倒数的数是（　　）

A．3 B．9 C． D．

2．（2018秋•高州市期末）若方程2x＝8和方程ax+2x＝4的解相同，则a的值为（　　）

A．1 B．﹣1 C．±1 D．0

二．填空题（共5小题）

3．（2019春•定安县期中）当a＝　　时，关于x的方程3x﹣1＝﹣4与方程a﹣5＝6x﹣2的解相同．

4．（2018秋•宁都县期末）已知关于x的方程2x﹣3＝+x的解与|x|﹣1＝0的解相同，则m＝　　．

5．（2018秋•通州区期末）在解分式方程的过程中，该分式方程等号两边同时乘以6x可以去分母，若6x≠0可以得到与其同解的整式方程3+6x＝4，此步骤的依据是　　．

6．（2018秋•新乐市期末）若关于x的方程＝与＝x+2m的解相同，则m的值为　　

7．（2018秋•鼓楼区期末）关于x的方程2x+5a＝3的解与方程2x+2＝0的解相同，则a的值是　　．

知识点6 含绝对值符号的一元一次方程

解绝对值方程的基本思想就是去绝对值，而去绝对值的基本思想就是分类讨论。

【典例】

1.关于x的方程的解为______

【方法总结】

形如型的绝对值方程的解法：

① 根据绝对值的非负性可知；

② 取绝对值，分类讨论，得到：和；

③ 分别解方程和；

④ 将求得的解代入检验，舍去不合条件的解．

【随堂练习】

1．（2019春•南安市期中）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．

解方程：|x﹣3|＝2．

解：当x﹣3≥0时，原方程可化为x﹣3＝2，解得x＝5；

当x﹣3＜0时，原方程可化为x﹣3＝﹣2，解得x＝1．

所以原方程的解是x＝5或x＝1．

（1）解方程：|3x﹣2|﹣4＝0．

（2）解关于x的方程：|x﹣2|＝b+1

综合集训

1.下列方程的变形中正确的是________.

① 由x+5=6x﹣7得x﹣6x=7﹣5 

② 由﹣2（x﹣1）=3得﹣2x﹣2=3

③ 由得 

④ 由得2x=﹣12

2.研究下面解方程的过程

去分母，得    1+4﹙2x﹣3﹚=5x﹣1﹣3x   ①

去括号，得    1+8x﹣12=2x﹣1   ②

移项，得      8x﹣2x=﹣1﹣1+12    ③

合并同类项，得6x=10    ④

系数化为1，得   ⑤

对于上面的解法，你认为从第_______步出现错误。

3.已知关于x的方程的解满足，则的值是________.

4.解方程：

5.小明星期天在家里做作业，不小心将方程中的数字蘸上墨汁，看不清原来的方程，但他知道这两处的数字是相同的，且这个方程的解与方程 也是相同的．你能够知道被墨汁蘸上的数字是多少吗？

6.当为何值时，关于x的方程的解为正整数？

7.解下列一元一次方程

（1）；              

（2）．

（3）      

（4）

（5）      

（6）