小学数学应用题专项提升训练

这是一份小学数学应用题专项提升训练，共141页。

小学数学应用题专项提升训练

目 录

行程综合……………………………………………………… 3

圆的周长和面积………………………………………………14

解决问题的策略……………………………………………… 21
行程问题……………………………………………………… 34

探索规律……………………………………………………… 47

工程问题……………………………………………………… 54

小学方程与应用题专题解析………………………………… 66

小升初应用题解题指导课程………………………………… 79




行程综合

【知识梳理】
基本公式：路程＝速度×时间
基本类型
相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程；
追及问题：速度差×追及时间＝路程差；
流水问题：关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响；
顺水速度＝船速＋水速 逆水速度＝船速－水速
静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2
水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2
（也就是顺水速度、逆水速度、船速、水速4个量中只要有2个就可求另外2个）
时钟问题:时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。
具体是：整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。
分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度， 时针速度：每分钟走小格，每分钟走0.5度。
其他问题：利用相应知识解决，比如和差分倍和盈亏；
复杂的行程
1、多次相遇问题；
2、环形行程问题；
3、运用比例、方程等解复杂的题；
【典例剖析】
例1 甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行，乙的速度是甲的,二人相遇后继续行进，甲到B地、
乙到A地后立即返回。已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米，那么，A、B
两地相距多少千米？
【分析】此题为直线型的多次相遇问题，我们可以借助图形和比例解题。

【解】如图：C为第一次相遇的地点，D为第二次相遇的地点，将AC作为3份，则CB是2份
第一次相遇，甲、乙共走一个AB，第一次相遇到第二次相遇，甲、乙共走2个AB，因此，
乙应走CB的2倍，即4份，从而AD是1份，DC是2份（＝3－1）。
但已知DC是20千米，所以AB的长度是20÷2×（2+3）＝50（千米）
答：A、B两地相距50千米。
反馈练习：
1、甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，在距B地54千米处相遇。他们各自到达对方车站后立即返回
原地，途中又在距A地42千米处相遇。求两次相遇地点的距离。




例2 甲每分钟走50米,乙每分钟走60米,丙每分钟走70米,甲乙两人从地,丙一人从地同时相向出发,
丙遇到乙后2分钟又遇到甲,、两地相距多少米？
【分析】这是择校考常考题，本题有两种解答方法。
【解】
解法一 依题意,作线段图如下:
甲 2分钟 丙

乙
丙遇到乙后2分钟再遇到甲,2分钟甲、丙两人共走了(50+70)×2=240(米),
这就是乙、丙相遇时乙比甲多走的路程.又知乙比甲每分钟多走60-50=10(米).
由此知乙、丙从出发到相遇所用的时间是240÷10=24(分).
所以,、两地相距(60+70)×24=3120(米).
解法二 甲、丙相遇时,甲、乙两人相距的路程就是乙、丙相背运动的路程和,即(60+70)×2=260(米).
甲、乙是同时出发的,到甲、丙相遇时,甲、乙相距260米,所以,从出发到甲、丙相遇需260÷(60-50)=26(分).
所以, 、两地相距 (50+70)×26=3120(米).
答：、两地相距 3120米
例3 甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙
每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？
【分析】这是一道环形跑道的多次相遇问题。要知道甲还需跑多少米才能回到出发点，实质上只要知道甲
最后一次离开出发点又跑出了多少米。我们先来看看甲从一开始到与乙第十次相遇时共跑了多
远。不难知道，这段时间内甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍（300×10=3000米）。因
为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，由上一讲我们可以知道，这段时间内
甲共行1400，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米知道甲还需行
100（=300-200）米。

　　1400÷300=4（圈）……200（米）
　　300-200=100（米）
答：甲还需跑100米才能回到出发点.
反馈练习：
2、如下图，A，B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次
相遇，在D点第二次相遇。已知C离A有80米，D离B有60米，求这个圆的周长。



例4 有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站。每隔5分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站，全程要走15分钟。有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站。他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙 站。在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车，才到达甲站。这时候，恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟?
【解】因为电车每隔5分钟发出一辆，15分钟走完全程。骑车人在乙站看到的电车是15分钟以前发出的，可以推算出，他从乙站出发的时候，第四辆电车正从甲站出发。骑车人从乙站到甲站的这段时间里，甲站发出的电车是从第4辆到第12辆。电车共发出9辆，共有8个间隔，于是5×8＝40（分）
答：他从乙站到甲站用了40分钟。

例5 有一座时钟现在显示10时整．那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合?

【分析】 常见钟表(机械)的构成：一般时钟的表盘大刻度有12个，即为小时数；小刻度有60个，即为分钟数．所以时针一圈需要12小时，分针一圈需要60分钟(1小时)，时针的速度为分针速度的．如果设分针的速度为单位“l”，那么时针的速度为“”．

【解】在10点时，时针所在位置为刻度10，分针所在位置为刻度12；当两针重合时，分针必须追上50个小刻度，设分针速度为“l”，有时针速度为“”，于是需要时间：．所以，再过分钟，时针与分针将第一次重合．第二次重合时显然为12点整，所以再经过分钟，时针与分针第二次重合．
答：再过分钟，时针与分针将第一次重合，再经过分钟，时针与分针第二次重合．
反馈练习：
3、现在是3点，什么时候时针与分针第一次重合？

例6 一辆车从甲地开往乙地。如果车速提高20%，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶120
千米后，再将车速提高25%，则可以提前40分钟到达。那么甲乙两地相距多少千米？
【分析】与分数百分数相结合的行程问题
【解】车速提高20%，速度比为5：6，路程一定的情况下，时间比应为6：5，所以以原始速度行完全
程的时间为1÷（6－5）×6=6小时。以后一段路程为参考对象，车速提高25%，速度比为4：5，
所用时间比应该为5：4 ，提前40分钟到达，则用规定速度行驶完这一段路程需要40×5=200
分钟， 所以甲乙两地相距270千米。
答：甲乙两地相距270千米。
反馈练习：
4、甲、乙两车分别从A、B两地出发，相向而行。出发时，甲、乙的速度比是5：4，相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米。那么A、B两地相距多少千米？

例7 学校组织春游，同学们下午一点出发，走了一段平坦的路，爬了一座山，然后按原路返回，下午七
点回到学校。已知他们的步行速度平地为4千米／时，上山为3千米／时，下山为6千米／时。
问：他们一共走了多少千米？
【分析】运用方程解题
【解】方法一：设下山用t时，则上山用2t时，走平路用（6-3t）时。
全程为4（6-3t）＋3×2t＋6×t＝24（千米）。
方法二：设山路有X千米，则上山用时间X/3小时，下山用X/6小时，
计算平均速度为2X/(X/3+X/6)=4千米/小时，与平地速度一样。
所以一共走了6×4=24千米。
答：他们一共走了24千米

【过关练习】
1、 甲、乙两地间的路程是600千米,上午8点客车以平均每小时60千米的速度从甲地开往乙地.货车以平
均每小时50千米的速度从乙地开往甲地.要使两车在全程的中点相遇,货车必须在上午几点出发？


2、 王明回家,距家门300米,妹妹和小狗一齐向他奔来,王明和妹妹的速度都是每分钟50米,小狗的速度是每
分钟200米,小狗遇到王明后用同样的速度不停往返于王明与妹妹之间.当王明与妹妹相距10米时,小狗
一共跑了多少米？


3、 甲每分钟走50米,乙每分钟走60米,丙每分钟走70米,甲乙两人从地,丙一人从地同时相向出发,丙
遇到乙后2分钟又遇到甲,、两地相距多少米.


4、 钟表的时针与分针在4点多少分第一次重合？


5、 客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，客车行完全程需10时，货车行完全程需15时。两车在中途
相遇后，客车又行了90千米，这时客车行完了全程的80％，求甲、乙两地的距离。


【提高练习】
1、 甲、乙、丙三辆车先后从A地开往B地，乙比丙晚出发5分，出发后45分追上丙；甲比乙晚出发
15分，出发后1时追上丙。甲出发后多长时间追上乙？


2、 甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山。他们两人下山的速度都是各自上山速度的
2倍。甲到山顶时，乙距山顶还有400米；甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰。求从山脚到山顶的距离。


3、 在9点与10点之间的什么时刻，分针与时针在一条直线上？


5、 小明早上从家步行到学校，走完一半路程时，爸爸发现小明的数学课本丢在家里，随即骑车去给小明
送书，追上时，小明还有的路程未走完，小明随即上了爸爸的车，由爸爸送往学校。这样，小明就
比独自步行提早了5分钟到学校，小明从家到学校全部步行需要多少分钟？


6、 某体育馆有两条周长分别为150米和250米的圆形跑道〔如图〕，甲、乙两个运动员分别从两条跑道相
距最远的两个端点A、B两点同时出发，当跑到两圆的交汇点C时，就会转入到另一个圆形跑道，且
在小跑道上必须顺时针跑，在大跑道上必须逆时针跑。甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，当乙第5次与
C
B
A
甲相遇时，所用时间是多少秒?








答案：
反馈练习
1、24千米 2、360米 3、 4、450千米
过关练习
1、7 点 2、580米 3、 3120米 4、 5、 450千米
提高练习
1、75分 2、2400米 3、 4、分 5、1800秒



















圆的周长和面积


【知识梳理】
知识点 圆的周长和面积
S：面积 C：周长 π：圆周率 d：直径 r：半径
（π是圆周率，是个常量，通常题目中圆周率取3.14，如果题目有特殊要求就按题目的具体要求取值。）
1、圆的周长公式：C＝ πd或C＝ 2πr
2、半圆的周长公式：C＝ πd+d
3、四分之一圆的周长公式：C＝ πd+d
4、圆的面积公式：S ＝ π
5、四分之一圆的面积公式：S ＝π
6、半圆的面积公式：S ＝π
7、圆环的面积公式：S ＝πR-π=π（R-）
【典例剖析】
例1 一个人要从A点到B点（如图），他可以按①号弧形所表示的路线走，也可以按照②号弧形所表示的路线走。哪条路线近？为什么？
【分析】   假设大圆的直径为g，三个小圆的直径分别为d、e、f，按照题意，1号箭头所表示的路线是大圆周长的一半，即πg÷2；2号箭头所表示的路线是三个小圆周长的一半的总和，即πd÷2＋πe÷2＋πf÷2＝π（d＋e＋f）×。因为d＋e＋f＝g，即πg÷2＝πd÷2＋πe÷2＋πf÷2，所以两条路线同样长。
【解】设外面半圆直径为g，三个小圆直径分别为d 、e、f；则：g= d＋e＋f。
　　外面半圆路线周长：C = πg
　　里面三个小半圆路线周长：C=πd+ πe+ πf，C=π（d＋e＋f）
    因为：g=d＋e＋f   ，所以：C= πg，所以：C= C
    答：两条路线一样长。
例2 一个长方形的长是6.42米，宽是3米，这个长方形的周长与一个圆的周长相等，这个圆的周长的半径是多少米？
【分析】如果想求圆的半径需要知道圆的周长，根据这个长方形的周长与一个圆的周长相等，长方形的周长等于（6.42+3）×2=18.84（米），说明圆的周长也是18.84米，从而求出圆的半径。
【解】长方形的周长：（6.42+3）×2=18.84（米）
　　圆的直径：18.84÷3.14=6（米），圆的半径：6÷2=3（米）
答：这个圆的周长的半径是3米。
例3 从一块边长10厘米的正方形铁皮上剪下一个最大的圆。这块圆形铁皮的面积是多少平方厘米？剩下的铁皮的面积占原来正方形的几分之几？
【分析】在一个正方形里，当圆的直径等于正方形的边长时，所画的圆最大。也就是要剪下的圆的直径等于正方形的边长时，才能剪下一个最大的圆。
【解】（1）圆形铁皮的面积是：
　　 （平方厘米）
　（2）正方形的面积是：
　　 （平方厘米）
　（3）剩下的占原来的几分之几：



答：圆形铁皮的面积是 平方厘米。剩下的铁皮面积占原来正方形的。
例4 一只挂钟的分针长20厘米经过45分后，这根分针的尖端所走的路程是多少厘米？
【分析】分针尖端所走的路程，可以看作是一个点在半径为20厘米的圆上移动的长度。现在要求经过45分后，分针尖端所走的路程，就是求圆周长的是多少。
【解】


（厘米）
答：分针尖端所走的路程是 厘米。
例5 一个圆形花坛，直径是10米，在它的外墙铺一条1米宽的小路，这条小路的面积是多少平方米？
【分析】这条小路的面积实际就是环形的面积。内圆直径已知，外圆直径应该是10＋2＝12米，从而可以知道内圆和外圆的半径，再根据环形面积公式即可求出小路面积。
 【解】 外圆半径：（10÷2）+1=6（米），内圆半径：10÷2=5（米）
  环形面积：(6×6－5×5)×3.14
          = 11×3.14
          = 34.54(平方米)
答：这条小路的面积是34.54平方米。
【过关练习】
一、 填空题
1、 一个圆的直径扩大2倍，它的半径扩大（ ）倍，它的周长扩大（ ）倍。
2、 一个圆形花坛的半径2.25米，直径是（ ）米，周长（ ）米。
3、 在一张长6厘米，宽4厘米的长方形纸片上画一个最大的圆，这个圆的半径是（ ）厘米；如果画一个最大的半圆，这个半圆的周长是（ ），这个半圆的面积是（ ）。
4、把圆沿着它的半径r分成若干等份，剪开后可以拼成一个近似的（ ），这个图形的长相当于圆周长的（ ），用字母表示是（ ）；宽相当于圆的（ ），用字母表示是（ ）。所以圆的面积S＝( )×( ) ＝( )。
5、有一个圆形鱼池的半径是10米，如果绕其周围走一圈，要走（ ）米。
6、一个挂钟的时针长5厘米，一昼夜这根时针的尖端走了（ ）厘米。
7、 圆周率是圆的（ ）和（ ）比值。
8、 用一根长4米的绳子画一个最大的圆，这个圆的半径（ ）米，周长（ ）米，面积（ ）平方米。
二、选择题。
1、从圆心到圆上任意一点的线段叫做（ ）
A、直径 B、半径 C、直线
2、周长相等的长方形、正方形、圆，（ ）面积最大。
A、正方形 B、长方形 C、圆
3、大圆半径是小圆直径的3倍，大圆的面积是小圆面积的（ ）倍。
A、3 B、6 C、9 D、36
4、圆的半径由6厘米增加到9厘米，圆的面积增加了（ ）平方厘米。
A、9 B、45 C、45π D、9π
三、判断题
1、半径是直径的一半。 （ ）
2、π=3.14. （ ）
四、应用题
1、一种汽车轮胎的外直径是10.2分米，每分钟转50周，车轮每分钟前进多少米？

2、一种手榴弹爆炸后，有效杀伤范围的半径是8米，有效杀伤面积是多少平方米？

3、在一个直径是16米的圆心花坛周围，有一条宽为2米的小路围绕，小路的面积是多少平方米？

4、一个圆环的外圆直径是10分米,内圆半径是40厘米.求这个圆环的面积?


【提高练习】
1、一辆自行车车轮外直径为0.6米，小柳骑自行车从家到学校，如果每分钟转动100周，他从家到学校出发10分钟到达学校，小柳家距学校多少米？

2、一个长方形长5米，宽3米，有一个半径是3分米的圆沿着这个正方形内侧边沿滚一圈。求圆滚过的面积和路径长。

3、一辆自行车轮胎的外直径是70厘米，如果车轮平均每分钟转100圈，半小时可以行多少米？

4、一个圆形花圃直径8米，用四分之三种兰花，兰花的种植面积是多少？

5、在一张边长10厘米的正方形纸上剪一个最大的圆后，这个正方形和圆的面积比是多少？

6、在一张周长为4厘米的圆形硬纸板上，剪一个最大的正方形，求圆和正方形的面积比。

7、用两根长12.56厘米的铁丝分别围成一个正方形和一个圆，哪个面积大？大多少？

8、已知圆内有一个等腰直角三角形，它的面积是7平方分米，过这个圆的面积是多少？

9、两个小圆的周长的和与大圆的周长相比，哪个长？(单位：厘米)

6 10

10、一个木盆的底面是圆形。在它的底部箍一根长2.552米的铁丝，铁丝的接头处用了0.04米。这个木盆的底面直径是多少米？


11、一个水缸的缸口是一个圆形，直径是0.75米。给这个水缸做一个木盖，要求木盖的直径比缸口直径大5厘米。木盖的面积是多少平方厘米？

12、一个木桶的底面半径是40厘米，现用粗铁丝在木桶侧面围上了3圈，至少需要多少米的粗铁丝？


13、用18.84米的篱笆靠墙围成了一个半圆形的养鸡场，这个养鸡场的面积是多少平方米？


14、在直径为8米的圆形水池四周铺一条1米宽的小路，这条小路的面积是多少平方米？


15、一个挂钟，时针长40厘米，经过一昼夜，时针扫过的面积是多少平方厘米？


16、一个钟面上的时针长5厘米，从上午8时到下午2时，时针尖端走了多少厘米？


17、在一块边长6分米的正方形铁皮上剪去两个相等并尽可能大的圆，剩下的铁皮面积是多少平方分米？






小升初数学专题———解决问题的策略


解决问题的策略
列表法、枚举法、画图法
一、知识梳理
1、画图：用画线段图和直观图的方法把数量关系表示出来，把题意形象具体，一目了然，以便较快找到解题的途径，它对解答条件隐蔽、复杂疑难的应用题，能起到化难为易的作用。
列表：在解决问题时，可以用表格将条件和问题整理出来，就能发现数量之间的联系，寻找规律。
2、列举：在解题时，常会遇到一些问题不容易列出算式来解答，我们可以根据要求，把符合要求的事物一一列举出来，列举时要注意不重复、不遗漏、有顺序地列举。若是列举时数据过多，可以用加法原理和乘法原理来帮助计数。
二、精讲例题
例题1、一个三角形的面积是12平方米，这个三角形的底和高分别是多少米？
分析：底×高÷2=12
可以得到底×高=24
列表
底（m）
1
2
3
4
24
12
8
6
高（m）
24
12
8
6
1
2
3
4
所以有8种情况。
例2、五（3）班49位同学到公园去划船，每只小船可以坐3人，每只大船可以做5人，大船和小船都要坐满人。那么，租大、小船有多少种不同的方案？
分析：当有一只小船时，（49-3）÷5=9······1
当有2只小船时，（49-2×3）÷5=8······3
当有3只小船时，（49-3×3）÷5=8
·
·
·
当有13只小船时，（49-13×3）÷5=2
列表
小船
3
8
13

大船
8
5
2


例3、A、B、C、D、E五位同学进行乒乓球循环赛（其中任何一位同学都必须和其他每一位同学进行一场比赛），比赛进行了一段时间后，A赛了4场，B赛了3场，C赛了2场，D赛了1场，请问这时E赛了多少场？
分析：由赛制可知：A赛了4场，则B、C、D、E都与A赛了一场；
B赛了3场，则是与A、C、E各赛了一场（由于D只赛了一场已与A赛过）；
C赛了两场即是与A、B赛的，
所以此时E赛了两场，即是与A、B赛的．
列表：

A
B
C
D
E
A

√
√
√
√
B


√

√
C





D





E






例4、已知大正方形比小正方形边长多2厘米，大正方形的面积比小正方形面积大40平方厘米，求大小正方形的面积。
分析：根据题意可画图如右所示：
阴影部分面积是40平方厘米，可将其分为3部分，其中

两方长方形相同，右下角为边长2cm的正方形，即可求出
阴影的长方形面积，则可得出小正方形的边长
解：小正方形边长：（40－2×2）÷2÷2=9（厘米）

小正方形面积：9×9=81（平方厘米）
大正方形面积：81+40=121（平方厘米） 2厘米
答：小正方形面积是81平方厘米，大正方形面积是121平方面积。
例5、沪宁高速公路全长330千米，两辆汽车分别从上海和南京同时出发，甲车每小时行94千米，乙车每小时行86千米，1小时后两车相距多少千米？2小时后两车相距多少千米？分析：1小时后：如图所示 330千米




南京（乙） 上海（甲）
86千米 ？千米 94千米
解：330－86－94=150千米
答：1小时后两车相距150千米。
分析：2小时后，如图所示 330千米
94千米 94千米




南京（乙
） 上海（甲）
86千米 86千米
解：86×2＋94×2－330=30（千米）
答：2小时后两车相距30千米

三、 课堂练习
1、有1元、2元、5元的人民币各一张，从中选择一张或两张人民币，一共可以组成多少种不同的钱数？





2、重阳节到了，王芳、李刚、张明三人去花木市场买花去敬老院慰问老人。
王芳说：“我买3盆花用75元。”
李刚说：“我买了7盆花。”
张明说：“我买花用去了125元。”

3、学校买了5枝毛笔，7枝钢笔和9枝圆珠笔。毛笔每枝24元，钢笔每枝49元，圆珠笔每枝8元。 (1)毛笔和钢笔一共用去多少元？(2)钢笔比圆珠笔多用去多少元？




4、 一块长方形水泥地，长18米，如果把它的长增加3米，面积会增加15平方米。原来水泥地的面积是多少平方米？





5、一个正方形的草坪，如果把它的边长增加2米，它的面积会增加28平方米，原来的正方形草坪的面积是多少平方米？





6、一块长方形的草坪，长8米，宽4米，如果把它的长和宽都增加2米它的面积增加了多少平方米？



7、小虎早上从家到学校上学，要走1.3千米，他走了0.3千米后发现没有带数学作业本，又回家去取。这样他比平时上学多走了多少千米？



8、大象奔跑的速度大约每分钟500米，羚羊奔跑的速度是大象的4倍少11米，羚羊每分钟跑多少米?



四、课后作业
1、江阴大卖场是10路和2路公交车的起始站。早上6：00整10路车开始发车，以后每隔10分钟发一班车；6时30分2路车开始发车，以后每隔15分钟发一班车。这两路车第二次同时发车的时间是几时几分？（请列表找出答案）
10路车
6：00
6：10







2路车
6：30
6：45














2、一个宇宙飞船3秒航行36千米。照这样的速度填写下表。
时间（秒）
5

14

20
路程（千米）

108

252




3、一块长方形的草地，宽5米，长12米，如果把它的长增加3米，宽减少3米，它的面积与原来的相比是增加了，还是减少了？



4、一块长方形草坪，长12米，宽8米。在它的四周修一条一米宽的小路，并在小路靠草坪的一边每隔2米放一盆花。这条小路的面积是多少平方米？共需要多少盆花？




5、一个长方形的花坛,长50米,宽12米,如果宽增加2 米,长不变,这个花坛的面积增加了多少平方米?




6、一个正方形的花坛,如果把它的边长增加5米,它的面积比原来的面积多了125平方米,这个正方形花坛原来的面积是多少平方米?




7、五年级同学去植树，上午植的棵数比总数的一半少6棵，下午植的棵数比所剩下的一半多8棵，结果还剩25棵没有种，这批树苗有多少棵？




8、东东和阳阳共有邮票120枚，东东把20枚阳阳喜欢的花卉邮票送给阳阳后，阳阳选出了15枚东东喜欢的动物邮票送给东东，这时，东东的邮票是阳阳的一半，东东与阳阳原来各有邮票多少枚？


解决问题的策略
还原法、假设法、替换法
一、知识梳理
1、还原法（倒推法）：从结果开始，一步一步倒推回去，每步倒推时所用的方法要刚好和原来相反，例如原来加的倒推回去就是减，原来减得倒回去就是加，原来乘的倒回去就是除，原来除的就倒回去乘，一直推到最初的数据。
2、替换与假设：“替”指的是替代，“换”指的是更换，替换就是将实际问题中的数量用别的数量来代替，从而使问题简化。假设是指对条件和问题进行假定和预设，然后根据数量之间的关系，对假定和预设进行调整，从而得到问题的答案。
转化：把较复杂的问题变成较简单的问题，把新颖的问题变成已经解决的问题。
二、精讲例题
例1、甲、乙两位师傅共做零件135个，如果从甲做的零件中拿36个给乙，而又从乙做的零件中拿出45个给甲，这时乙的零件个数是甲的1.5倍，原来甲、乙师傅各做零件多少个？
分析：根据和倍问题先求出甲现有零件的个数，135÷（1.5+1）=54（个），再逆推出他原有零件的个数：54-45+36=45（个），乙原有零件135-45=90（个）。
我们可以用列表法把逆推的过程表示出来：

甲零件个数/个
乙零件个数/个
现在
135÷（1.5+1）=54（个）
135-54=81（个）
第二次
54-45=9（个）
81+45=126（个）
第一次
9+36=45（个）
126-36=90（个）


例2、 甲、乙、丙、丁各有棋子若干枚，甲先拿出自己棋子的一部分给乙、丙，使乙、丙每人的棋子各增加一倍，然后乙也把自己的棋子的一部分以同样的方式给丙、丁，丙也将自己的棋子的一部分以这样的方式给了甲、丁，最后丁也将自己的棋子的一部分以这样的方式给了甲、乙。这时四人的棋子都是16枚。原来甲、乙、丙、丁四人各有棋子多少枚？
分析：最后一次四人的棋子都是16枚，每次变化中，有一人的棋子数未动，有两人的棋子数增加一倍，倒推时应除以“2”，另一个人的棋子数减少了两人增加的总数。
我们可以用列表法进行倒推：

甲/枚
乙/枚
丙/枚
丁/枚
初始情况




第一次




第二次




第三次




第四次






例3、王师傅和李师傅一起打一份稿件。王师傅打5分钟，李师傅打6分钟，两人一共打了757个字。已知王师傅每分钟比李师傅多打15个字。王师傅每分钟打多少个字？李师傅每分钟打多少个字？
分析：王师傅每分钟比李师傅多打15个字 ，王师傅5分钟就比李师傅多打了15*5=75个字，757-75=682，也就是李师傅在11（5+6）分钟打了682个字，每分钟打682/11=62个字，王师傅每分钟打15+62=77个字。


例4、文具店里铅笔的支数是钢笔的2倍，每天卖出钢笔15支，铅笔20支，若干天后，钢笔卖完，铅笔还有80支，文具店里原有钢笔多少只，铅笔有多少只？
分析：因为铅笔数是钢笔的2倍，每天卖出钢笔15支，那么每天卖出铅笔30支的话正好同时卖完没有剩余，但是现在每天只卖20支，少卖30-20=10，结果剩余80支，80/10=8，就是卖了8天，铅笔有8*20+80=240（支），钢笔有240/2=120（支）

例5、20个同学种树，男同学每人种树8棵，女同学每人种树3棵，男同学一共比女同学多种树28棵。参加种树的男同学有多少人？
分析：先假设有10个男同学，10个女同学，男同学种10*8=80，女同学种10*3=30，男比女多种了80-30=50棵，而实际男同学比女同学多种了28棵，多了50-28=22 棵，是因为我们把一部分女同学假设成了男同学，那么假设错的人数是22/（8+3）=2人，那么男同学就应该有10-2=8人，女同学有10+2=12人。
三、课堂练习
1、填一填。
（1）（□+5）÷7-0.5=4.5，□=（ ）。
（2）（△×6-△-2）÷6=3，△=（ ）。
2、一瓶油先吃去0.4千克，再吃去余下的一半，这时还剩油0.3千克，这瓶油有多少千克？


3、某数加上5，乘以5，减去5，除以5，其结果还是5，这个数是多少？


4、四、五年级同学去植树，上午植的棵数比总数的一半少6棵，下午植的棵数比所剩下的一半多8棵，结果还剩25棵没有种，这批树苗有多少棵？


5、 一次数学竞赛，共15题，每做对一题得8分，做错或不做倒扣4分，小刚得了84分，问他做对了几道题？


6、 小文买了3个笔记本和8个练习本，共用去14.6元钱，每本练习本比每本笔记本便宜2.3元，笔记本和练习本的单价各是多少元？


7. 某学校进行军训活动，晴天每天行18千米，雨天每天行12千米，12天共行204千米，这期间雨天有多少天？


8. 学校春游共用了10辆客车，已知大客车每辆可乘50人，小客车每辆可乘30人，大客车比小客车一共多乘260人，大小客车各几辆？


四、课后作业
1、 东东和阳阳共有邮票120枚，东东把20枚阳阳喜欢的花卉邮票送给阳阳后，阳阳选出了15枚东东喜欢的动物邮票送给东东，这时，东东的邮票是阳阳的一半，东东与阳阳原来各有邮票多少枚？


2、 有一筐苹果，第一次取出全部的一半多2个，第二次取出余下的一半少2个，筐中还剩20个，筐中原有苹果多少个？


3、 猴子吃桃子，第一天吃了一半又一个，第二天吃了余下的一半又一个，第三天也吃了余下的一半又一个，第四天、第五天都分别吃了前一天余下的一半又一个，最后剩下一个桃子，原有桃多少个？


4、 买语文书30本,数学书24本共花83.4元.每本语文书比每本数学书贵0.44元.每本语文书和数学书的价格各是多少元？


5、 在3各同样的大箱子和4个同样的小箱子厘装满了同一种玩具，正好是120个，每个大箱子比小箱子多装5个，每个大箱子和小箱子各装多少个？


6、 、鸡兔同笼，共有头48个，脚132只，求鸡和兔各有多少只？


7、 小明给班里买了甲、乙两种电影票共50张，甲票每张0.5元，乙票每张0.35元，共花了19.6元，问买甲票和买乙票各多少张？


8、 2分和5分的硬币共36枚共值99分。问两种硬币各多少枚？


9、一次数学竞赛共有20道题。做对一道题得5分，做错一题倒扣3分，小明考了52分，你知道刘冬做对了几道题？


10、托运水瓶胆350箱，每箱装6个。合同规定每箱运费10元，如果损坏一箱，不给运费并赔偿损失50元。结算时共得运费3200元。一共损坏了多少个水瓶胆？













行程问题



模块名称
行程问题
总体模块目标
1. 掌握相遇、追及、行船、流水等模型的行程问题；
2. 能够将图示法、整体思想法、转化思想法运用到行程问题解题中；
3. 加强学生兴趣培养，同时提高学生分析问题的能力。
教学重点
1.学生能够了解并掌握追及、相遇、行船等问题的模型。
教学难点
1.学生理解行船、流水模型并进行灵活运用。
课型建议
一对一个性化教学
主要内容
编号
每讲标题
课程容量
第一讲
相遇问题，追及问题
3
第二讲
行船和火车过桥问题
2
第三讲
运用整体思想、转化思想解决问题
3



第一讲 相遇问题和追及问题
教学目标
1．掌握相遇问题的常见类型及示意图的画法；
2．掌握追及问题的常见题型及示意图的画法；
3．能够解决较复杂的相遇问题、追及问题；
4．能够解决相遇与追及的综合问题。
教学重点
1．相遇追及问题的基本题型解决以及分析示意图的画法;
2.相遇与追及的综合问题的分析与解决。
教学难点
相遇与追及的综合问题的示意图的分解与状态的分解及解决策略。
教学方法建议
讲练结合，当堂反馈，加强巩固，举一反三。
一、知识梳理
在行程问题中，有时要讨论两个或几个运动物体（人、车、船等）行进的关系，当它们在同一段路两个不同的地点相向而行时，如果同时到达一个地点，通常叫做相遇；当它们同向而行时，如果后面的行进速度比前面快，后面的与前面的同时到达同一地点，通常叫做追及。
相遇问题解题思路：速度和×相遇时间=总路程
追及问题解题思路：速度差×追及时间=多行路程

二、精讲例题
例题1 . 两辆汽车从相距276千米的两地相对开出，一辆汽车每小时行57千米，另一辆汽车每小时比它每小时快1千米。（1）经过几小时两车相遇？（2）从开始到相距46千米用了几个小时？（3）从开始到相遇后又相距69千米共用了几个小时?
【分析与解】这是一道典型的相遇问题，由“速度和×同时行的时间＝路程和”可知，要求时间，关键是要能通过题目中条件正确推导出其同时行的路程和。问题1，所对应的路程和是276千米；问题2，所对应的路程和是276－46＝230（千米）；问题3，所对应的路程和是276＋69＝345（千米）。显然，问题1，两车相遇时间：276÷（57×2＋1）＝2.4（小时）；问题2，从开始到相距46千米所用时间：230÷（57×2＋1）＝2（小时）；问题3，从开始到相遇后又相距69千米所用时间：345÷（57×2＋1）＝3（小时）。
【总结说明】速度和×同时行的时间＝同时行的路程；2.同时行的路程和不一定就是两地间的距离。

例题2 . A、B两地相距470千米，乙车每小时以40千米，甲车以每小时46千米的速度先后从两地出发，相向而行，相遇时甲车行驶了230千米。问：乙车比甲车早出发几小时？
【分析与解】相遇问题通常都可以运用“速度和×同时行的时间＝路程和“的公式解决问题，此题要求时间，但两车行驶时间却不相同，所以给解题带来了障碍。根据“相遇时甲车行驶了230千米”这一数学信息我们却可以求出甲车行驶时间：230÷46＝5（小时）。因为路程和不变，即甲车行驶路程＋乙车路程＝路程和，所以乙车路程为476－230＝240（千米），乙车速度为：240÷40＝6（小时）。显然，乙车比甲车早出发的时间为：6－5＝1（小时）。
当知道甲车行驶时间，我们还可以算出甲乙两车同时行的路程：（46＋60）×5＝430（千米），自然，乙车先行驶的时间：（470－430）÷40＝1（小时）。

例题3 . 甲、乙两人同时从A、B两地相对而行，甲每分钟行200米，乙每分钟行160米。两人在距中点80米处相遇。A、B两地相距多少千米？
【分析与解】由题意可知二人的速度，所以解题的关键在于求出同时行驶的时间。由“两人在距中点80米处相遇”得，较快的甲所行路程比一半路程多80米，而乙正好相反，即比一半路程少80米，如此可知，相遇时甲比乙多行路程，即路程差80×2＝160（米）。根据甲乙的速度，我们不难得出甲乙每分钟产生的路程差，即速度差200－160＝40（米）。甲乙两车同时行的时间：160÷40＝4（分），那A、B两地相距：（200＋160）×4＝14400（米）＝1.44（千米）。
【总结说明】速度差×同时行的时间＝路程差。

例题4 . 晚饭后，小明和爸爸沿同一条公路去散步，小明走得慢，每分钟走60米，所以他先从家出发。5分钟后，爸爸以每分钟80米的速度去追小明。爸爸经过多少分钟可以追上小明？
【分析与解】爸爸要想追上小明最终离开家的距离必须要和小明相同，即爸爸从家出发到追上小明这段时间要比小明多行小明前面5分钟所走的路程：5×60＝300（米）。而每分钟爸爸要比小明多走：80－60＝20（米），300里面有几个20就是需要几分钟可以追上小明。显然，300÷20＝15（分），即爸爸经过15分钟可以追上小明。

例题5 . 甲、乙两人相距40千米，甲先出发1.5小时，乙再出发，甲在后乙在前，两人同向而行，甲的速度为每小时8千米，乙的速度为每小时6千米，甲出发后几小时追上乙？
【分析与解】甲、乙两人原来相距40千米，但由于甲先出发1.5小时，所以两车开始追及时相距：40－8×1.5＝28（千米）。也就是说，甲车追上乙车时比乙车多行28千米。根据“速度差×同时行的时间＝路程差”，不难求出同时行的时间：28÷（8－6）＝14（时），再加上甲先出发1.5小时：14＋1.5＝15.5（小时），即是甲出发后追上乙所用时间。


例题6 . 甲、乙两村相距3550米，小伟从甲村步行往乙村，出发5分钟后，小强骑自行车从乙村前往甲村，经过10分钟遇见小伟。小强骑车每分钟行的比小伟步行每分钟多160米，小伟每分钟走多少米？
【分析与解】如果小强每分钟少行160米，他行的速度就和小伟步行的速度相同，这样小强10分钟就少行了160×10=1600（米），小伟（5＋10）分钟和小强10分钟一共行走的路程是3550－1600=1950（米），那么小伟每分钟走的路是1950÷（5＋10＋10）=78（米）。

三、课堂练习
1．甲、乙二人在一个长400米的环形跑道上从同一点，同时反向而行，甲每分钟走45千米，乙每分钟走35千米，多少分钟后两人第一次相遇？
2 .两地之间的路程长300千米，每辆汽车同时从两地相向开出，2.5小时后两车之间还相距50千米，已知一辆汽车每小时行45千米，另一辆汽车每小时行多少千米？
3.快车和慢车同时从甲、乙两站出发，相向而行，经过5小时相遇。相遇后快车继续行驶4小时到达乙地。已知慢车每小时行52千米，甲、乙两站相距多少千米？
4.（2010·树人）张家港到南京的路程长240千米。甲、乙两辆汽车同时从张家港和南京相对开出，经过1.5小时两车在途中相遇。已知甲车的速度是乙车的3/5，乙车每小时行多少千米？
5.（2008·树人）星期天，王成从家出发骑自行车到图书馆看书，每分钟行200千米。骑5分钟后，他发现车胎坏了，只好改为推车步行，速度是骑车的2/5。这样他比预定时间迟到了15分钟。（1）王成从家到图书馆实际用了多少分钟？（2）王成家与图书馆相距多少千米？
6.在400米环形跑道上,A、B两点相距100米(如图).甲、乙两人分别从A、B两点同时出发,按逆时针方向跑步.甲每秒跑5米,乙每秒跑4米,每人每跑100米,都要停10秒钟.那么,甲追上乙需要多少秒？
A
B
·
·



四、课堂总结
相遇问题解题思路：速度和×相遇时间=总路程
追及问题解题思路：速度差×追及时间=多行路程

五、课后作业
1.一列客车和一列货车同时从相距20千米的两地相背而行，客车每小时行68千米，货车每小时行52千米，5小时后两车相距多少千米？
2.两港相距267千米，货船以每小时33千米的速度，客船以每小时45千米的速度先后从两港开出，相向而行，相遇时客船行了135千米。货船比客船提前几小时开出？
3.两地相距93千米，甲、乙两人骑自行车同时从两地相对出发，经过3小时相遇。相遇后又同时行驶了2小时，这时，甲、乙两人相距多少千米？
4. 甲、乙两地相距352千米.甲、乙两汽车从甲、乙两地对开.甲车每小时行36千米,乙车每小时行44千米.乙车因事,在甲车开出32千米后才出发.两车从各自出发起到相遇时,哪辆汽车走的路程多?多多少千米?
5. 甲、乙两车从A、B两城市对开,已知甲车的速度是乙车的.甲车先从城开55千米后,乙车才从城出发.两车相遇时,甲车比乙车多行驶30千米.试求A、B两城市之间的距离.
50
A
20
30
6.一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A点开始爬行一周.在三条边上爬行的速度分别为每分50厘米、每分20厘米、每分30厘米(如右图).它爬行一周的平均速度是多少？




第二讲 行船问题和火车过桥问题
教学目标
1．掌握解决行船问题、火车过桥问题的基本模式；
2．能够解决较复杂的行船问题、火车过桥问题；
3．能够解决行船与流水的综合问题。
教学重点
1．掌握行船问题、火车过桥问题的解题模式。
教学难点
2.理解并掌握行船问题、火车过桥的解题模式。
教学方法建议
讲练结合，当堂反馈，加强巩固，举一反三。

一、知识梳理
1.“火车过桥”问题是特殊的行程问题。桥是静止的，火车是运动的，火车过桥是指车头开始上桥到车尾离桥的整个过程。在解题时，要考虑车长。尽管这类问题比较特殊，但行程问题的基本公式：速度×时间=路程，在此类问题中也同样适用。
2.行船问题和行程问题类似，也存在路程、速度与时间之间的数量关系，同时还涉及水流问题。
解此类问题前需掌握几个概念：船速、水速、顺水速度和逆水速度。船在静水中航行的速度叫船速；河水流动的速度叫水速；船从上游向下游顺水而行的速度叫顺水速度；船从下游逆水而行的速度叫逆水速度。它们之间关系主要有：
顺水速度＝船速＋水速
逆水速度＝船速－水速
船速＝(顺水速度＋逆水速度)÷2
水速＝(顺水速度－逆水速度)÷2
二、精讲例题
例题1 .一列火车长150米，行驶速度是18米/秒。这列火车要通过一座长300米的大桥，需要多少秒？
【分析与解】画出示意图1。从图1可知，火车通过大桥是指火车车头开始上桥到车尾离开桥的全过程，通过大桥所行驶的路程是车头或车尾所行驶的路程，即桥长加车长。根据路程÷速度=时间，可求出火车经过桥面所运行的时间为（150＋300）÷18＝25（秒）。



尾
尾
头
头

大 桥


车 长
桥 长


总路长


图1

例题2 .火车通过长为90米的铁桥用了22秒，如果火车的速度加快1倍，它通过180米隧道就用16秒。求火车车长和原来的速度。
【分析与解】若火车仍按原来的速度通过162米的铁桥，那火车要用16×2=32(秒)。根据已知，隧道比铁桥多180-90=90（米），火车要多走32－22=10（秒），因此火车原来速度为90÷10=9（米/秒），火车长则为9×22－90=108（米）。

例题3 .402位少先队员排成两路纵队去参观世博园，队伍每分钟前进25米，前后两人都相距1米现在队伍要通过一座长700米的桥，整支队伍从上桥到离桥共需几分钟？
【分析与解】将整支队伍长度看作“车长”，因为每路纵队有402÷2=201（位)，前后两人都相距1米，所以，整支队伍的长度为1×(201－1)=200(米)，即为“车长”。“车长”求出后，便可求出过桥的时间(700+200)÷25=36(分)。

例题4. 一艘轮船在静水中速度是23千米/时，它逆水航行252千米用了14小时，那该船返回原地需要多少小时？
【分析与解】求轮船返回原地的用时就是求轮船顺水航行144千米的用时。顺水速度＝船速＋水速，轮船在静水中的速度已知，所以只需求出水流速度。据题意，求水速只能依靠逆水速度与船速、水速的关系来求。水速＝船速－逆水速度＝23－252÷14＝5(千米/时)，顺水速度23＋5＝28(千米/时)，轮船返回原地所需时间252÷28=9(时)。

例题5．甲、乙两港口相距144千米，一只船从乙港逆水而上，行了9小时到达甲码头。已知船速是水速的17倍，这只船从甲港返回乙港需要几小时？
【分析与解】根据两港间距离和乙港逆水行至甲港用9小时，可求出该船的逆水速度为144÷9＝16(千米/时)，逆水速度＝船速－水速，已知船速是水速的17倍，则船速与水速相差了(17－1)倍，说明逆水速度刚好相当于水速的(17－1)倍，因此，可以求出水速为16÷（17－1）＝ 1(千米/时)，根据逆水速度与水速，又可求出顺水速度为16＋1×2＝18(千米/时)，顺水而下所用时间为144÷18＝8（时）。
【总结说明】顺水速度＝逆水速度＋水速×2。

例题6．甲船逆水航行360千米需18小时，返回原地需10小时；乙船逆水航行同样一段距离需15小时，返回原地需多少小时？
【分析与解】由题中甲船逆水、顺水航行的距离和时间，可以得到甲船的顺水速度：360÷10＝36（千米/时），甲船逆水速度：360÷18＝20（千米/时），进一步得出水速：（36－20）÷2＝8（千米/时）；同样由乙船逆水行驶时间得到乙船的逆水速度：360÷15＝24（千米/时）。此时，已知水速和乙船逆水速度可得出乙船顺水速度：24＋8×2＝40（千米/时），进一步，乙船顺水行驶所用时间为：360÷40＝9（时），即乙船返回原地所用时间。

三、课堂作业
1. 一列火车通过一条长1260米的桥梁(车头上桥直至车尾离开桥)用了60秒，火车穿越长2010米的隧道用了90秒。求这列火车的车速和车长。
2.公路两边的电线杆间隔都是30米，一位乘客坐在运行的汽车中，他从看到第l根电绻杆到看到第26根电线杆正好是3分钟。这辆汽车每小时行多少千米?
3.一艘轮船往返于相距240千米的甲、乙两港之间，逆水速度是每小时18千米，顺水速度是每小时26千米。一艘汽艇的速度是每小时20千米，这艘汽艇往返于两港之间共需多少小时?
4.静水中,甲船速度是每小时22千米,乙船速度是每小时18千米,乙船先从某港开出顺水航行,2小时后甲船同方向开出,若水流速度为每小时4千米,求甲船几小时可以追上乙船?
5.一条轮船在两码头间航行,顺水航行需4小时,逆水航行需5小时,水速是2千米,求这轮船在静水中的速度。
6.一列火车长119米，它以每秒15米的速度行驶，小华以每秒2米的速度从对面走来，经过几秒钟后火车从小华身边通过？

四、课堂总结
顺水速度＝船速＋水速
逆水速度＝船速－水速
船速＝(顺水速度＋逆水速度)÷2
水速＝(顺水速度－逆水速度)÷2

五、课后作业
1.一座铁路桥全长1200米，一列火车开过大桥需要75秒;火车经过路旁电杆，只要15秒。这列火车长多少米?
2.甲、乙两地水路相距208千米，一只船从甲地开往乙地顺水8小时到达, 从乙地返回甲地，逆水13小时到达。求该船在静水中速度和水速各是多少？
3.一列火车长200米，它以每秒10米的速度穿过200米长的隧道，从车头进入隧道到车尾离开隧道共需要多少秒？
4.一人以每分钟60米的速度沿铁路边步行，一列长144米的客车从他身后开来，从他身边通过用了8秒钟，求列车的速度。
5.A、B两码头间河流长为90千米，甲、乙两船分别从A、B码头同时启航.如果相向而行3小时相遇，如果同向而行15小时甲船追上乙船，求两船在静水中的速度。
6.乙船顺水航行2小时，行了120千米，返回原地用了4小时.甲船顺水航行同一段水路，用了3小时.甲船返回原地比去时多用了几小时？




第三讲 运用整体思想、转化思想解行程问题
教学目标
1．学会用整体思想解答行程问题；
2．学会用转化思想解答行程问题
教学重点
教会学生理解整体思想和转化思想，并将其运用到行程问题解题中。
教学难点
学生能够灵活运用这两种数学思想方便自己解题。
教学方法建议
讲练结合，当堂反馈，加强巩固，举一反三。
一、知识梳理
1.转化思想。转化也称化归，它是指将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题，从而使问题顺利解决的数学思想。
2.整体思想。所谓整体思想解题，就是指解题时把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，从而触及问题的本质，达到求解的目的。
二、例题精讲
例题1 .甲、乙两人同时从相距100里的两地相对出发，甲带的一条狗也同时出发，狗以每小时10里的速度向乙奔去，遇到乙后立即返回，向甲奔去，遇到甲后又奔向乙，…就这样，狗不停地来回奔跑于甲、乙之间，直到甲乙相遇，狗才停歇。如果甲每小时行6里，乙每小时跑4里，问这条狗一共奔跑了多少里？
【分析与解】这里我们需要运用整体思想来解题。所谓整体思想解题，就是指解题时把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，从而触及问题的本质，达到求解的目的。要求狗跑的路程，就得求出狗跑的时间，而狗跑的时间正好就是甲、乙两人的相遇时间，即100÷（6+4）=10（小时）。最后用狗跑的速度乘以它所跑的时间就可以算出狗跑的路程，即10×10=100（里）。

例题2 .亮亮、小强两人同时从A、B两地出发相向而行，两人在途中距A地40米处第一次相遇，相遇后两人仍以原速继续行驶，并在各自到达对方出发点后立即沿原路返回，途中两人在距B地15米处第二次相遇。求A、B两地的路程。
【分析与解】此题中亮亮、小强两人第一次相遇时，即两人行了一个全程时，亮亮行了40米，这是一个不变量，是解决本题的关键。当两人按原速度继续行驶到距B地15米处，第二次相遇，此时他们总共行了三个全程。这时，亮亮共行了40×3=120(米)，减去距B地的15米，就是A、B两地的全程，即40×3-15=105(米)。
附图：
B
A
小强
亮亮
15m
40m


例题3 .小明上午8时骑自行车以每小时12千米的速度从A地到B地，小强上午8时40分骑自行车以每小时16千米的速度从B地到A地，两人在A、B两地的中点处相遇，A、B两地间的路程是多少千米？
【分析与解】这是一个相向而行相遇求路程的问题。但两人不是同时出发，如果能转换成同时出发，并且求出行多少小时相遇，就可以用数学课学的方法解答。
两人在两地间的路程的中点相遇，但小明比小强多行了40分钟，如果两人同时出发，相遇时，小明行的路程就比小强少12÷60×40=8（千米），就是当小强出发时，小明已经行了8千米，从8时40分起两人到两人相遇，由于小明每小时比小强少行16－12=4（千米），说明两人相遇时间是8÷4=2（小时），那么，A、B两地间的路程是8＋（12＋16）×2=64（千米）。

例题4 . 骑车人以每分钟200米的速度沿公共汽车路线行进，当他距离始发站3600米时，一辆公共汽车以每分钟500米的速度从始发站出发。已知公共汽车每行3分钟到一站停车1分钟，问公共汽车追上骑车人用多少分钟？
【分析与解】此题最大的障碍就是公共汽车每行3分钟到一站停1分钟，这里我们不妨运用整体思想，把公共汽车行车3分、停车1分看成一个整体，即一个行车周期，公共汽车每一个行车周期比骑车人多行;500×3－200×4＝700（米），但在这个周期的前3分钟，最多能比骑车人多行：500×3－200×3＝900（米），所以最后留下的一段路程长度不能超过900米。3600＝700×4＋800,4×4＋800÷（500－200）＝18（分），即公共汽车追上骑车人要用18分钟。

例题5. 甲每分钟走85米，乙每分钟走77米，丙每分钟走65米。现甲从A地，乙、丙从B地同时出发。甲、乙相遇后4分钟甲丙相遇。求A、B两地之间的距离。
【分析与解】根据甲、乙相遇后4分钟甲、丙相遇以及甲、丙两人的速度，可以得出甲、乙相遇时甲、丙之间的距离：（85＋65）×4＝600（米），也就是乙、丙同时同向出发，乙多走600米。如此，原题的关键部分就被转化为：“乙每分钟走77米，丙每分钟走65米，几分钟后乙在丙前600米？”，这是常规的追及问题，不难求出追及时间：600÷（77－65）＝50（分），即50分钟后乙在丙前600米、甲乙两车相遇。进一步，A、B两地间距离为：（85＋77）×50＝8100（米）。

例题6. 在周长为200米的圆形跑道的一条直径的两端，甲、乙二人骑自行车分别以6米/秒和5米/秒的速度同时相向出发（即一个顺时针一个逆时针），沿跑道行驶．问：16分钟内，甲乙相遇多少次？
第二次相遇
乙
甲
第一次相遇
乙
甲


【分析与解】根据题意，设甲顺时针方向，乙逆时针方向行驶。结合图示，甲、乙按题目要求行驶，第一次相遇时，一共走过的路程为，即100米，所需的时间为，即，秒。
从图上可以明显看出，第二次相遇时，一共走过的路程为200米，所需时间为妙。
根据题意并结合图示，从第一次相遇以后，甲、乙两人每隔妙就相遇一次，所以，16分钟内，甲、乙相遇的次数为：（60×16－）÷＋1≈52＋1＝53（次）

三、课堂作业
1.甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相对开出，甲每小时行75千米，乙每小时行65千米。甲、乙两车第一次相遇后继续前进，分别到达B、A两地后，立即按原路返回，两车从出发到第二次相遇共行了6小时。A、B两地相距多少千米？
2 .（2011·梅岭）甲、乙两人同时从相距30千米的两地出发，相向而行。甲每小时走3.5千米，乙每小时走2.5千米。与甲同时、同地、同向出发的还有一只狗，每小时跑5千米，狗碰到乙后就回头向甲跑去，碰到甲后又回头向乙跑去……这只狗就这样往返于甲、乙之间直到两人相遇而止，则相遇时这只狗共跑了多少千米？
3.摩托车和汽车从相距30千米的甲、乙两地同时同向出发（汽车在前），摩托车每小时行65千米，汽车每小时行40千米，途中摩托车发生故障，修理了半小时后继续前进。问：摩托车和汽车相遇时各行了多少千米？
4.甲站向乙站开出一列快车，速度是每小时65.5千米，过了1小时后，又从甲站开出一列慢车，速度是每小时58.5千米，当快车到达乙站时，慢车离乙站还有104千米。问：甲、乙两站相距多少千米？
5.甲、乙二人同一天从北京出发沿同一条路骑车往广州，甲每天行100千米，乙第一天行70千米，以后每天都比前一天多行3千米，直到追上甲，乙出发后第几天追上甲？
6. 甲、乙二人在400米圆形跑道上进行10000米比赛.两人从起点同时同向出发,开始时甲的速度为每秒8米,乙的速度为每秒6米.当甲每次追上乙以后,甲的速度每秒减少2米,乙的速度每秒减少0.5米.这样下去,直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始,两人都把自己的速度每秒增加0.5米,直到终点.那么领先者到达终点时,另一人距终点多少米?

四、课堂总结
1.转化思想。转化也称化归，它是指将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题，从而使问题顺利解决的数学思想。
2.整体思想。所谓整体思想解题，就是指解题时把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，从而触及问题的本质，达到求解的目的。

五、课外作业
1.甲、乙两名同学从相距100米的两地同时出发，相向而跑，当跑到另一地后立即返回。甲每秒跑6.5米，乙每秒跑5.5米。经几秒两人第二次相遇？
2.甲、乙两地之间的距离是420千米。两辆汽车同时从甲地开往乙地，第一辆汽车每小时行42千米，第二辆汽车每小时行28千米，第一辆汽车到乙地后立即返回。两辆汽车从开出到相遇共用了多少小时？
3.一辆汽车从甲地开出，以每小时50千米的速度行了2小时后，一辆摩托车从甲地开出紧紧追赶，速度为每小时80千米。摩托车几小时后可追上汽车？
4.客、货两车从相距120千米的A、B两地同时同向出发（客车在前），货车每小时行75千米，客车每小时行60千米，途中客车发生故障，修理了1小时后继续前进。问:客车和货车相遇时各行了多少千米？
5.甲乙两站相距360千米，客车和货车同时从甲站出发驶向乙站，客车每小时行60千米，货车每小时行40千米，客车到达乙站后又以原速立即返回甲站，与货车相遇，从出发到相遇共经过多少小时？
6. 李明和王华步行同时从A、B两地出发，相向而行，在离A地52米处相遇，到达对方出发点后，两人立即以原来的速度沿原路返回，又在离A地44米处相遇。A、B两地相距多少米？
探索规律


教学目标
1.通过复习进一步了解算式中的规律、数列中的规律、数与形结合、间隔排列、简单搭配、简单周期现象和简单图形覆盖现象中的规律。
2.通过对数学信息的解读，准确地发现规律，提出数学问题，正确、熟练地运用列举、画图、计算和有序思考等方法解决问题。　　　
教学重点
帮学生建立“解读数学信息——提出数学问题——建立数学模型——运用方法解决问题”的解题模式
教学难点
促进学生主动进行观察、实验、猜测、验证、推理，培养自主审题、解题的能力
教学方法建议
启发法、谈话法、讲练结合
课型建议
一对一

一、 知识梳理
1、 算式中的规律
解决此类题，应先认真观察算式特点，再观察结果的特点，从而寻找规律来解决。
如：1×1＝1
11×11＝121
111×111＝12321
1111×1111＝1234321
11111×11111＝123454321
此算式中的特点是：每个算式中两个因数各数位上的数字都是1，且个数相同。积的特点是积里的数字呈对称形式，且前半部分是从1开始写至某个数字（此数字即因数的位数），后半部分是从比这个数字少1的数写至1。
2、 数列中的规律
（1）规律蕴涵在相邻两数的差或倍数中。
（2）前后几项为一组，以组为单位找关系才可找到规律。
（3）需将数列本身分解，通过对比才能发现其规律。
3、 数与形结合中的规律
4、 间隔排列中的规律
（1）两种物体间隔排列，如果两端的物体相同，那么排在两端的物体的个数比排在中间的物体多一个。
（2）两种物体间隔排列成一圈，两种物体的数量相等。
5、 简单搭配中的规律
搭配问题的解题思路类似于乘法原理，即做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法。
6、 简单周期现象中的规律
解答周期问题的关键是找出周期。确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个；如果比整数个周期多n个，那么结果为下一个周期里的第n个；如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续算。
7、 简单图形覆盖现象中的规律
总共有 每次框 （依 次） +1 得到几个
几个数 — 几个数 ＝ 平移的次数 不同的和
二、 精讲例题
例题1、先观察下面各算式，找出规律，再填空。
（1）12345679×9＝111111111 （2）12345679×18＝222222222
（3）12345679×27＝（ ） （4）12345679×54＝（ ）
（5） （ ）×72＝888888888（6）（ ）×（ ）＝999999999
分析与解：在这一组算式中，一个因数不变，另一个因数和积在变化，当另一个因数由9变成18时扩大到了原来的2倍，积也扩大了2倍；反过来，积扩大到原来的几倍，其中一个因数也扩大到原来的几倍。根据这一规律，可以填出后面几道题。
（3）12345679×27＝333333333（4）12345679×54＝666666666
（5）12345679×72＝888888888（6）12345679×81＝999999999
例题2、在（ ）里填上合适的数。
（1）1，2，4，8，16，（ ），（ ）
（2）1，1，2，3，5，8，（ ），（ ），34
（3）12，15，17，30，22，45，（ ），（ ），32,75
分析与解：观察（1）每一个数是前一个数的2倍，故填32和64；（2）以组为单位才能找到规律，从第三个数开始，每个数由前面两个数相加所得，所以填13和21；（3）需将数列分解，通过对比才能找到规律。第1,3,5个数依次相差5，第2,4,6个数依次相差15，正确的答案为27和60。
例题3、一张桌子可以坐4人，两张桌子拼起来可以坐6人，三张桌子拼起来可以坐8人（如图），像这样（ ）张桌子拼起来可以坐24人，n张桌子拼起来可以坐（ ）人。

分析与解：一张方桌坐4人，每多一张方桌就多坐2人；如果是n张方桌，则所坐人数是4+2（n-1）=2n+2，当2n+2=24时，n=11；所以11张桌子拼起来可以坐24人，n张桌子拼起来可以坐（2n＋2）人。
例题4、有一条长800米的公路，在公路的一侧从头到尾每隔20米栽一棵杨树（两端都要种），需要多少棵杨树苗？
分析与解：根据棵数＝间隔数＋1，先算出间隔数为40，再算出棵数。即800÷20＋1＝41（棵）。
例题5、由1、2、3、4、5五个数字组成的五位数共有120个，将他们从小到大排列起来，第95个数字是多少？
分析与解：首先要想这120个数是怎么来的。通过分析可知，万位上有5种选择，1在万位上的情况有4×3×2×1＝24（个），2,3,4,5在万位上的情况也都是分别有24个，那么将这些数从小到大排列，第96个数为4在万位上的最大一个（这是由于96＝24×4），为45321，所以第95个数便为4在万位上的倒数第二个，为45312。
例题6、有一列数“7231652316523165……”，请问前25个数字的和是多少？
分析与解：这一列数是从第2个数字开始按照“23165”循环出现，减去第1个数后，总数是24，周期数是5,24÷5＝4（次）……4（个），这4个数是2,3,1,6；第2个到第25个数字的和是（2＋3＋1＋6＋5）×4＋2＋3＋1＋6＝80，在求和时要记得加上第一个数字“7”，所以结果为80＋7＝87。
例题7、用形如正方形去框右面这个数表里的数，每次框出4个数，一共可以框出多少个不同的和？如果框出的4个数之和是88，这4个数中最大的一个数是多少？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
分析与解：（1）横着看，第一行和第二行一共有6种不同的框法，由于这些数自左向右都是逐渐增大的，所以就会框出6种不同的和；竖着看，第一列和第二列一共有4种不同的框法，由于这些数自上向下都是逐渐增大的，所以就会框出4种不同的和；再用6乘4就是框出不同和的个数；6×4=24（个）
（2）从表格可看出框的4个数，左右相邻的差1，上下相邻的差7，设最小的数是x，右边的就为x+1，x下面的就为x+7，x+7右边的为x+8；再由它们的和是88列出方程求解。
即x+x+1+x+7+x+8=88，解得x=18；18+8=26；最大的数为26。

三、 课堂练习
1、 先观察算式，找出规律再填数。
21×9＝189 321×9＝2889 4321×9＝38889
（ ）×9＝488889 （ ）×9＝（ ）
2、 找规律填空。
（1）1,2,3,5,8,13，（ ），（ ），…
（2）1,3,5,7,9，（ ），（ ），…
（3）1.1, 2.2, 4.3, 8.4, 16.5, 32.6，（ ），（ ），…
3、 如下图是一只蜘蛛在墙角织的网，连接图中黑点的蜘丝之间共有多少个交点？





4、 把一根木料锯了5次，锯成了每段都是6.8分米长的小段，请问这根木料原来长多少米？

5、 有三条不同颜色的裤子和2件不同式样的上衣，如果要你来搭配，你有多少种不同的搭配方法？

6、 2012年6月1日是星期日，那么7月10日是星期几？

7、在下面的表格中，用长方形框框出三个数并求和，可以得到（ ）个不同的和；如果将长方形框旋转90度再来框，可以得到（ ）个不同的和。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32





四、 课堂总结
1、 今天我们学习了哪些规律？还有不懂的地方吗？
2、 “解读数学信息——提出数学问题——建立数学模型——运用方法解决问题”的解题模式你掌握了吗？在解读数学信息时有什么注意点？要读出什么来？你学到了哪些解决问题的方法呢？
3、 你觉得这种模式可以帮助你解决其他的数学专题吗？回去试一试吧。

五、课后作业
1、在（　）里填上适当的数。
（1）4,7,10,13,16，（ ），（ ），…
（2）2,4,7,11,16，（ ），（ ），…
（3）（　 ），30，（ ），14，9,6,5
2、仔细观察下图，想一想第3幅图“？”处应填什么图形？



3、观察下图的变化，想一想第4幅图应画上怎样的图形？



4、 街心公园一条林荫小路长200米，在林荫小路的两旁从头到尾等距离栽种月季花，共栽了82棵。每两棵月季花相距多少米？

5、 “六一”儿童节时，教室里按“2红、1黄、1蓝”的顺序挂彩灯，一共要挂38盏。算一算，最后一盏是什么颜色的灯？

6、 学校会议室里每排有20个座位，张老师、李老师、王老师打算坐在第一排三个相邻的座位上，李老师在张老师的右边，王老师在李老师的右边。一共有多少种不同的坐法？

7、 丁丁的爸爸、妈妈各自去外地出差了，他们三人每两人通一次电话，一共通了多少次电话？如果他们互相写一封信，一共写了多少封信？

8、 一座拱形桥的两根望柱间隔1米，每侧各有15根望柱，这座拱形桥长多少米？
　 　　 　
9、张强家住在6楼，从1楼到3楼需要走34级台阶。如果各层楼台阶数相同，张强到家需要走多少级台阶？
　 　　
10、 在一张边长为　3米　的方桌周围摆水果，每个角上都要摆一盘。如果每隔　1米　摆一盘，这张方桌上能摆几盘水果？每条边上有几盘？ 　








工程问题


工程问题是分数应用题的一种，分数工程问题与整数工程问题一样，都是反映工作总量、工作时间和工作效率三者之间的关系。分数工程问题的主要特点是一般不给出具体的工作总量（仅表述为一项工作、一批货物、一段路等），我们习惯上把这项工作看做单位“1”，工作效率用来表示。
工作总量、工作时间和工作效率三者之间的关系为：


例题1、一条公路（长180米），甲队独修需24天完成，乙队独修需30天完成。甲、乙两队合修若干天后，乙队停工休息，甲队继续修6天完成。乙队修了多少天？
简析：此题告诉了这条公路的长，可按整数应用题的方法来解，若是忽略了括号中这条公路的长度，我们就可用“1”来表示工作总量，只是对工作量采用了不同的表示方式，但其数量关系、解题方法与整数应用题完全相同。下面列表对比解答。


总 工 作 量
工效
甲队6天的工作量
甲、乙合作
合作时间
甲
乙
工效
工作量
180米
(m)
(m)




1






温馨提示：由上面的列表对比来看，用“1”表示工作总量时，计算更简单。

课堂练习：
1、一段公路，甲队单独修要用20天，乙队单独修要用30天。如果两队合修，每天完成这项工程的几分之几？还剩几分之几？



2、修一条公路，甲队单独修要15天，乙队单独修要12天。甲队先修6天后，剩下的由甲、乙两队合修，甲、乙两队合修还要几天？



3、修一条公路，甲队每天修全长的，乙队独修7.5天修好。如果两队合修2天后，其余的由乙队独修，还要几天完成？



例题2、修一条水道，甲、乙两队合修10天可以完成。两队合修4天后，余下的由甲队单独修还需12天。那么乙队单独修这条水道需要多少天？
简析：已知工作总量是单位“1”，要求乙完成它所需的时间，关键是要求出乙的工作效率。甲、乙两队合修10天可以完成，则两队的工作效率和是。两队合修4天可完成。那么余下的由甲队单独修用了12天，可求出甲队的工作效率是。所以乙队的工作效率是。
解：
答：乙队单独修这条水道要20天。

课堂练习：

1、一项工程，甲、乙两队合作12天可以完成。如果甲、乙两队先合作4天，剩下的由乙队独做10天也可以完成。这项工程由乙队独做多少天可以完成？



2、一项工程，甲独做10天完成了一半，余下的甲、乙又一起合作了6天，正好全部完成。如果由乙队单独做这项工程，多少天可以完成？



3、一项工程，甲、乙两队合作，6天能完成，如果他们单独做，甲完成与乙完成所需的时间相同。问：单独做，甲、乙各需几天？



例题3、一项工程，甲、乙合作8天完成。如果让甲先独做6天，然后乙再独做9天可以完成任务。那么乙独做这项工程要多少天完成？
简析1：将甲独做6天，乙独做9天看做甲、乙合作6天，乙独做3天。两人合作的工作效率是，故可求出两人6天的工作量，从而再求出乙3天的工作量。
解：乙的工作效率：
乙的工作时间：
简析2：从简析1的分析中可看出“甲、乙合作8天”和“先合作6天，乙再独做（）天”的工作总量都是单位“1”。乙独做3天的工作量就是2人合作（）天的工作量。
解：
答：乙独做这项工程要12天。

课堂练习：
1、一项工程，甲、乙两队合作每天完成全工程的，甲队独做3天，乙队独做5天后，还剩全工程的未完成。乙队独做全工程需多少天？


2、一项工程，甲、乙合作12天完成，如果让甲先独做3天，然后乙再做1天，共完成任务的。甲独做这项工程要多少天完成？


3、一件工作，甲单独做12小时完成。现在甲、乙合作4小时后，乙又用6小时完成。乙单独做这件工作，多少小时完成？[提示：题中的工作过程可看做是甲做多少天，乙做多少天]



4、一项工程，由甲、乙两队合做12天完成。现在由甲队先单独做14天后，再由乙队单独做9天正好完成这项工程。甲、乙两队单独做，各需多少天完成？



例题4、一批零件，师傅独做需要20小时完成，徒弟独做需要30小时。现在师徒两人合做，中途师傅因事离开了一段时间，结果共用15小时完成。师傅中途离开了多长时间？
简析1：根据题意，虽然师傅中途离开了一段时间，但徒弟没有离开，说明徒弟一共工作了15小时，可以先求出徒弟15小时完成的工作量，剩下的工作量就是师傅完成的。由此可以求出师傅的工作时间，知道了师傅的工作时间，离开的时间也就可以解决了。
解：

答：师傅中途离开了5小时。
简析2：这题也可以这样思考：假设师傅中途没有离开，那么师徒两人15小时完成的工作量就是，超过实际工作总量“1”的工作量是，这超出的工作量就是师傅在中途离开的时间内能完成的工作量，由此可以求出师傅中途离开的时间。
解：
答：师傅中途离开了5小时。

课堂练习：
1、一项工程，甲队单独做需30天完成，乙队单独做需40天完成。甲队先做若干天后，由乙队接着做，共用35天完成了任务。甲队做了多少天？



2、一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。两人合作期间甲休息了3天，乙休息了若干天（两个队不能同时休息），共用了16天完成。乙休息了几天？



例题5、搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时。现有同样的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又去帮助乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物。丙帮助甲搬运了几小时？（不考虑丙来往A，B仓库所用的时间。）
简析：我们可以不考虑丙具体是怎么帮助甲和乙的，从总体上看，甲、乙、丙3人同时搬完了两个仓库的货物，即两个单位“1”，那么，我们可以先求出3人搬完两个仓库的货物共用的小时数：

根据题意，甲、乙、丙3人都搬运了8小时，甲在A仓库搬运8小时，那么A仓库货物有一部分是甲搬运8小时完成的工作量，另一部分则是丙帮助甲搬运的工作量。至此，问题容易解决了。

答：丙帮助甲搬运了3小时。

例题6、一段公路，甲队独修需20天，乙队独修需15天，甲、乙两队从这段公路的两端同时合修5天后，还相距15千米。这段公路长多少千米？
简析：这道题是工程问题与分数应用题的结合，从已知条件入手，我们很容易求出3天修了这段公路的几分之几，。题目中还告诉我们“还相距15千米”，这时就要用分数应用题的“剩下的工作量与剩下的工作量占单位＇1＇的几分之几相互对应”这一思想来解决。
解：
答：这段公路长36千米。

例题7、移栽西红柿苗若干棵，哥哥弟弟合栽8小时完成，哥哥先栽3小时后，弟弟又单独栽了1小时，还剩总棵树的没有栽，已知哥哥每小时比弟弟多栽7棵。这块地共栽西红柿多少棵？
简析：题目告诉我们“哥哥先栽3小时后，弟弟又单独栽了1小时”，也可以看作“哥哥、弟弟合栽1小时后，哥哥又单独栽了2小时”。再根据“还剩总棵数的没有栽”，我们就知道了哥哥、弟弟共栽了，哥、弟合作1小时后剩，而这又是哥哥2小时栽的，再除以2，就得哥哥的工效，进而求出弟弟的工效。最后求出总棵树要利用分数应用题的解法。
解：哥哥的工效：
弟弟的工效：
这块地共栽多少棵：
答：这块地共栽西红柿112棵。


课后巩固：
1、 一件工作，由甲单独完成，需要10天，由乙单独完成需要15天。如果甲、乙合作完成，需要几天完成？

2、 一项工程，甲队单独做12天完成，乙队单独做15天完成。两队合做，多少天完成这项工程？

3、一项工程，甲队单独做12天可以完成，乙队的工作效率是甲队的60%。乙队单独做几天可以完成？

4、甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，经8小时相遇，相遇后两车继续前进，甲车又用了6小时到达B地，乙要几小时才能从B地到达A地？

5、修一条路，甲队独修要时，乙队独修要时，两队合修要多少小时？

6、修一个水池，甲队独修要12天完成，乙队独修要10天完成，丙队独修要15天完成，如果由丙队先做3天后，剩下的由甲、乙两队去做，还要多少天完成？

7、一个水池有甲、乙两个水管，单开甲管2小时可以把水池注满，单开乙管3小时可以把满池水放完。如果同时打开甲、乙两管，几小时后水池可以注满？

8、一个水池装有甲、乙两个进水管，下面装有丙管放水。空池时，单开甲管12分钟可以注满；单开乙管10分钟可以注满。池满时，丙管20分钟可以放完，现将三管同时打开，多少分钟将空池注满？

9、一件工程，甲、乙合干1.2小时完成，乙、丙合干2小时完成，丙、甲合干1.5小时完成。甲、乙、丙一齐干，多少小时可以完成？

10、修一条公路，甲队独修6天完成，乙队独修8天完成。现由甲、乙两队分别从这段公路的两头同时开工，经过三天剩下180米未修。甲队每天修多少米？

11、一件工作，甲5小时完成了，乙6小时完成了剩下任务的一半，最后余下的部分由甲、乙合作，还要多少小时才能完成？

12、打印一份稿件，甲单独打4小时打了这份稿件的，乙接着又打了2小时，打了这份稿件的，剩余的甲、乙共同打，还需几小时？

13、甲、乙两人合作加工一批零件，需25天完成。先由甲单独加工10天，再由乙单独加工30天，这时共加工了这批零件的。乙每天能加工这批零件的几分之几？

14、一批零件，甲单独做15天完成，乙单独做20天完成，现由甲、乙合作12天就完工了。这段时间里，乙休息了多少天？

15、一件工作，甲独做15天完成，乙独做20天完成。现在甲、乙合作12天才完工。在这段时间里，乙休息了4天，那么，甲休息了多少天？

16、修一条公路，甲队单独修20天可以修完，乙队单独修30天可以修完。现两队合修，中途甲队休息2.5天，乙队休息若干天，这样一共用14天才修完。乙队休息了几天？

17、一项工程，甲单独做15天完成，乙单独做12天完成。现两队合作若干天后，剩下的由乙单独做了3天才完成。甲、乙合作了多少天？

18、从甲地到乙地，客车需10小时，货车需15小时，两车同时从甲乙两地相向而行，相遇时客车比货车多行90千米。甲、乙两地相距多少千米？

19、水池上有三个水管，单开甲管5小时注满水池，单开乙管10小时注满水池，单开丙管15小时放完一池水。三管齐开2小时后关闭乙管，还需几小时注满水池？

20、一件工作，甲做5小时后由乙做，3小时可以完成；如果乙先做9小时后由甲做，也要3小时完成。那么甲做1小时后由乙做，还要几小时完成？

21、某工人计划15天生产一批零件，由于改进了操作方法，实际每天多生产10个零件，提前3天完成了任务。原计划每天生产多少个零件？

22、一件工作，若单独完成，甲需10小时，乙需15小时，丙需20小时。现由3人合做，中途甲因事停工几小时，结果6小时才将工作完成。问甲停工几小时？

23、某工程先由甲独做63天，再由乙独做28天即可完成。如果由甲、乙两人合做，需48天完成，现在由甲先独做42天，然后再由乙来完成，还需要多少天？

24、服装厂加工一批服装，原计划25天完成，工作了5天后，工效提高了25%，这批服装全部加工完用多少天？

25、甲、乙合做一项工程，20天可以完成。现在由甲先做6天，然后乙接替甲再做8天，一共完成了这项工程的。两队单独做完全工程各需多少天？

26、甲、乙两个车间共同完成加工一批车床的任务，已知甲车间比乙车间少生产8台车床，并且甲车间生产的和乙车间生产的相等，那么，甲、乙两车间共生产了多少台车床？

27、从A地到B地是一段斜坡路，一辆客车上坡每小时行30千米，下坡每小时行40千米，往返一次共用7小时，求A、B两地相距多少千米？

28、做一批零件，甲单独做要10小时，乙在相同时间内只能做这批零件的，在甲、乙两队合作2小时后，剩下的由甲来做，还要多少小时完成？

29、A、B、C三人共同打印一份稿件，5天完成了全部稿件的，然后A休息了3天，B休息了2天，C没有休息。如果A一天的工作量是B一天工作量的3倍，B一天的工作量是C一天工作量的2倍，那么，这份稿件从开始算起，完成时是第几天？

30、一项工程，甲先独做2天，然后与乙合做7天，这样才完成全工程的一半。已知甲、乙工作效率的比是2:3。如果由乙单独做，需要多少天才能完成这项工程？


31、一件工作，甲、乙两人合做5小时完成，乙、丙两人合做4小时完成。现在由乙先独做6小时，然后
甲、丙两人又合做2小时完成。如果由乙独做，多少小时可以完成？

32、有甲、乙两项工程，张师傅单独完成甲工程要9天，单独完成乙工程要12天；王师傅单独完成甲工程要3天，单独完成乙工程要15天。如果两人合做完成这两项工程，最少需要几天？


33、某地要修一条公路，甲队独做需10天完成，乙队独做需15天完成。如果两队合做，他们的工作效率就要降低，甲队只能完成原来的，乙队只能完成原来的。现在计划8天完成这项工作，且要求两队合作天数尽可能少，那么两队要合作多少天？


34、某工程，甲、乙单独做各需30天和20天完工。现在甲、乙合作，中途甲、乙各休息了几天，因此比预订计划中的完工日期推迟了8天，又已知乙实际工作天数是甲实际工作天数的。求甲、乙两人各休息了几天？


35、一件工作，若由甲、乙单独完成，乙比甲要多用5天；现在若二人合做4天后，由乙单独完成剩余的任务。可巧乙前后共用的天数，与甲单独完成全部任务所用的天数相等，乙单独工作了多少天？


36、完成一项工作，单独工作甲需要15天，乙需20天，如果两队合作，相互密切配合，可以提高工效20%，现在甲、乙两队共同工作5天，甲队调离。余下的工作由乙队单独完成，乙队还需要多少天？


37、甲、乙两人共同做一项工作，单独完成，甲要6小时，乙要8小时。实际上是甲干了若干小时后，由乙干了若干小时后才完成任务。已知甲、乙共用小时，甲、乙两人各工作了多少小时？


38、一个水池有一个进水管和一个排水管，单开进水管40分钟可以注满水池，单开排水管1小时可以排完满池水。现在池内有的脏水，先打开排水管排尽脏水，又打开进水管放进清水，但忘记关闭排水管，等发现时，池内已注入池清水，问前后共经过多少小时？


39、一个服装厂为赶制一批工作服，前10天完成了总任务的，由于改进了技术，以后的工作效率比原来提高了25%，这样，完成全部任务，能比原计划提前几天？


40、一辆货车从甲地到乙地需要7小时，一辆客车从乙地到甲地需要9小时，两车同时从两地相对开出，途中货车因故停车2小时，相遇时，客车比货车多行了30千米。求甲、乙两地的距离是多少千米？


41、甲、乙两个工程队合做一项工程，需60天完成。已知甲工程队的工作效率比乙工程队高50%。那么甲工程队单独完成这项工程要用多少天？

42、张师傅加工一批零件，在加工了150个零件以后，他将原工作效率提高20%加工剩余的零件，结果提前4天完成任务，如果张师傅开始就将原工作效率提高35%去加工这批零件，就能提前7天完成任务。这批零件共有多少个？

43、某工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成。甲、乙两队合做8天后，余下的工作由丙队单独做，又做了6天才完成。问这项工程由丙队单独做需几天完成？


44、一项工程，甲队独做20天完成，乙队独做30天完成。现由两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队也休息了若干天，这样，从开始到工程完成共用了16天，问乙队休息了多少天？


45、一件工程，甲4小时完成了全部工作的，乙5小时又完成了剩下任务的，最后余下的任务，由甲和乙合做。问完成这项工作共用多少小时？


















小学方程与应用题专题解析


【知识要点】
1. 用字母表示数
（1） 用任意一个字母，都可以表示我们所学过的自然数、整数、小数、百分数。
（2） 用含有字母的式子，可以简明地表达数学概念。
（3） 用含有字母的式子，可以简明地表达数学运算定律和数学计算公式。
（4） 用含有字母的式子，可以简明地表达数量关系。
注意：（1）在含有字母的乘法里，乘号可以省略不写或用“”表示。如可以写成
或，数与数相乘时不能省略。
（2）数与字母相乘时，可以简写成数字放在最前面。如写成
（3）1与字母相乘时，1省略不写。如写成。

2. 简易方程
（1） 等式：表示相等关系的式子叫等式。
（2） 方程：含有未知数的等式叫方程。
（3） 方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
（4） 解方程：求方程的解的过程，叫做解方程。
（5） 简易方程的解法步骤：①对于只有一步运算的方程，可以用加法与减法、乘法与除法的互逆关系求解。对于含有二、三步运算的方程，先根据方程确定运算顺序，在根据四则运算的互逆关系求出方程的解。②把求成的未知数的值，分别代入原方程两边进行计算（即求含有字母的式子的值），如果原方程的等号的左右两边相等，则所求得的未知数的值，是原方程的解。
注意：解方程时，除了要求写出检验过程外，可以口算进行检验，不必写方程的检验过程。

3列方程解应用题（本章略）
【题型分析】
[例1]写成下列各式表示的意思
表示：比多多少，或比少多少。
表示：的倍比的倍多多少。
表示：和的和是多少。
表示：比少多少。
[例2]列出方程并求出方程的解
（1） 比一个数的倍少，求这个数。
（2） 与的和减去一个数的倍等于，求这个数。
（3） 某数的倍与它的倍的和是，求这个数。
【分析】解这类题的通常步骤是：（1）设要求的数位；(2)根据数量关系列出方程；（3）解出并检验。
解：（1）设这个数为 （2）设这个数为 （3）设这个数为




【题库精编】
基础题
1. 填空
（1） 用字母表示下列图形的面积公式及周长公式
平行四边形面积（ ）【答案】
梯形面积（ ） 【答案】
圆的周长公式（ ）或（ ） 【答案】
（2） 用字母表示运算定律
加法交换律（ ）【答案】
乘法结合律（ ）【答案】
乘法分配律（ ）【答案】
加法结合律（ ）【答案】
（3）用字母表示下列数量关系
①表示速度，表示时间，表示路程

②表示工作效率，表示工作时间，表示工作总量

（4） 用字母表示下列数量关系
比少0.5的数是（ )【答案】
表示（ ）【答案】个相加
与的3倍的和（ ）【答案】
个0.7相加，和是（ ）【答案】
比大的数是（ ）【答案】
的5倍减去的3倍差是（ ）【答案】
（5） 一支铅笔元，买3支铅笔应付（ ）元【答案】
（6） 王平每分钟写个字，分钟后共写了（ ）个字。【答案】
（7） 一块香皂2.38元，妈妈给了元，应找回（ ）元。【答案】
（8） 小明要写个字，已经写了12个，还有（ ）没写？没有写的比写了的多（ ）个？【答案】
（9） 李平到商店买练习本，每本元，买了本，一共用了（ ）元，如果给售货员元，应找回（ ）元。【答案】
（10） 一个长方形周长是厘米，它的长是厘米，那么它的宽是（ ）【答案】厘米

2. 选择题
（1） 与（ ）两个式子是相同的
.
【答案】B
（2） （ ）

【答案】B
（3） 下列哪个式子不是方程（ ）

【答案】D
（4） （ ）

【答案】C
（5） 下面哪个等式是正确的（ ）


【答案】B
（6） 下面哪个式子是正确的（ ）

【答案】D
（7） 与的和去除它们的差，算式是（ ）




【答案】B
（8） 一个数被除，商6余5，这个数是（ ）

【答案】B
（9） 是哪个方程的解（ ）

【答案】D
（10） 等于什么的时候，（ ）

【答案】A
（11） 下面哪个式子的值最大（ ）

（12） 哪个是方程的解（ ）

【答案】A

3. 判断
（1） 写作 （ ）
（2） 写作 （ ）
（3） 写作 （ ）
（4） 写作 （ ）
（5） （ ）
（6） 长方形周长（ ）
（7） 梯形面积（ ）
（8） （ ）
（9） （ ）
（10） （ ）
（11） 不是方程（ ）
【答案】× × √ √ × √ × √ √ × ×

4. 求未知数
（1） 【答案】28 （2）【答案】12
（3） 【答案】307 （4）【答案】9000
（5） 【答案】6120 （6)【答案】132
(7) 【答案】2 (8)【答案】60
(9) 【答案】0 (10) 【答案】30

提高题
一． 选择题
1. 老王岁，小李岁，过年后，他们相差（ ）岁

【答案】
2. 的3倍加上30的20%，和是50，列方程是（ ）


【答案】A
3.10克盐溶入50克水中，这时盐占盐水的（ ）

【答案】C
4. 三角形的面积为平方厘米，底为3厘米，高是（ ）

【答案】A
5. ，，，的值是（ ）
A.100 B.600 C.480 D.720
【答案】C
6. 如果的值为
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
7. 果园中桃树、梨树共有300棵，梨树比桃树少28棵，桃树有多少棵？设桃树有棵，列示正确的是（ ）

8. 甲缸有鱼条，比乙缸的鱼多5条，两缸共有鱼（ ）条

【答案】A
二． 填空
1. 有5个数，最小的数为，它的每两个数之间相差5，这5个数的和为（ ）
【答案】
2. 在里，当（ ）时，分数值等于1；当（ ）时，分数值等于0
【答案】3；0
3. 列方程并求出解
⑴的等于的2倍，求。
【答案】，
⑵一个数的与的和等于，求这个数。
【答案】
⑶某数减去10，再乘2，加上70等于250，求这个数。
【答案】
⑷一个数的比4多0.5，求这个数。
【答案】


分数百分数应用题
——呼和浩特 冯学华

【引言】分数百分数应用题是小学数学的重要内容之一，通常分为三种：
1. 已知一个数，求它的几分之几（百分之几）是多少，通常用乘法做。
2. 求一个数是另一个数的几分之几（百分之几），用除法做。
3. 已知一个数的几分之几（百分之几），求这个数，用除法做。
工程问题的应用题也可以属于这个范畴。浓度问题的应用题也是百分数问题，解决浓度问题一般利用浓质不变的规律来解决混合中的一些实际问题。

【例1】基础题
1. 一堆水泥60吨，运走吨，剩余多少吨？
【答案】(吨）
2. 一堆水泥60吨，运走，剩余多少吨？
【答案】（吨）
3. 一堆水泥运走了，恰好是吨，这堆水泥原来是多少吨？
【答案】（吨）
4. 一堆水泥运走了，还剩下吨，这堆水泥原来是多少吨？
【答案】（吨）
分析：本例中4个小题分别反映出4中类型题，是分数应用题中最基本的题型，做题时要分清各题型，针对题型选择恰当的解题方法。
【例二】百分率问题
1. 小丽上午做了10道题，对了9道，下午又做了10道，错了1道小丽这一天做题 正确率是多少？
【答案】
2. 某班今天没到校的人数是到校人数的，求这个班今天的出勤率。
【答案】
3. 某车间计划生产零件8000个，实际超产1000个，实际完成计划的百分之几？超产了百分之几？
【答案】；
分析：以上例题都是求一个数是另一个数的百分之几，用除法计算。
【例三】分数乘法应用题
某小学有840人，只有的学生没有参加意外保险，参加保险的学生有多少人？

【答案】(人）
分析：此题的单位“1”是已知的，求部分量，用单位“1”乘分率计算。
【例四】分数除法应用题
1. 修一条公路，第一天修了全长的25%，第二天修了全长的30%，还剩下360米没有修，这条公路全长是多少米？
【答案】（米）
2. 工程队3天修了一条路，第一天修了全长的又10米，第二天修的比余下的少5米，第三天修了35米，这条路全长是多少米？
【答案】（米）
分析：以上两题单位“1”是未知的，求单位“1”的量，用数量除以对应的分率来计算，必要时借助线段图分析。
【例五】分数问题与盈亏问题结合
一种商品随季节出售，如果按现价降价10%，仍可盈利200元，如果降价20%，则亏损220元，这件商品进价多少钱？
【答案】（元）
分析：这是一道百分数问题与盈亏问题相结合的习题，解题方法有两种，一是方程法，二是盈亏法。
【例六】分数问题与行程问题结合
甲乙两地相距1500米，有两人分别从甲乙两地同时相向出发，10分钟后相遇。如果两人各自提速20%，仍从甲乙两地同时相向出发，则出发后多长时间相遇。
【答案】（米/分），（米/分），
分析：此题既是行程问题中的相遇问题，又是一道百分数问题，解此题既要用到行程问题中的解法求两人的速度和，又要用到百分数问题中的乘法方法求出提速后两人的速度之和，然后再求出最后问题。
【例七】浓度问题
1. 有浓度为10%的盐水溶液900克，要使其浓度稀释到6%，需加水多少克？
【答案】（克）
2. 两种盐水含盐量分别是80%和65%，要配置浓度为70%的溶液3000克，应从两种盐水溶液中各取出多少克？
【答案】设取克溶液。，（克）
（克）
分析：第一小题中盐的质量不变，抓住不变量来求出新的溶液的质量，从而求出需要加水的质量。第二小题是两种溶液混合问题，根据混合前盐的质量和等于混合后盐的质量，用方程来解答。

【例八】工程问题与分数问题结合
一批零件，师傅单独加工需12小时，徒弟单独加工需20小时，师徒二人同时加工了小时，还剩个未加工，这批零件一共多少个？
（个）
分析：先利用工程问题求出师傅、徒弟的工作效率，然后再利用分数问题求出单位“1”的量。
【例九】分数问题与图形问题结合
如图，三条边长分别为3、4、5的直角三角形，将它的一条直角边对折到斜边上去，与斜边重合，则未被覆盖的部分（阴影部分）的面积是多少？
【答案】，，，
分析：先利用三角形的面积公式求出三角形的面积，再利用阴影部分是整个图形的几分之几求出阴影部分的面积。

针对训练
1、某班女生比男生多3人，男生比女生少，这个班一共有多少人？
【答案】（人） （人）， （人）
1. 一台电视机由于改进了功能，每台提价40%，现在售价9842元，价格提高了多少元？
【答案】（元）
2. 甲乙两站相距720千米，一列火车从甲站开往乙站，已经行走了全长的，这时火车超过两站中点多少米？
【答案】（米）
3. 甲乙两个工程队合修一条长170米的水渠，已知甲队修的比乙队修的还多10米，乙队比甲队少修多少米？
【答案】设甲队修了，，（米）（米）
4. 修一条800米的路，第一天修了全长的25%，第二天的工作效率比第一天提高了5%，第二天修了多少米？
【答案】（米）
5. 学校上月用水240吨，本月用水200吨，本月比上月节约百分之几？
【答案】
6. 某商品的成本价为每件500元，3月份的销售价为每件625元。经市场预测，该商品的销售价将在4月份降价20%，而在5月份再提高8%，那么在5月份销售该商品预计可以达到的利润率为多少？
【答案】（元）
7. 甲乙两个车间共同加工一批零件，已知甲车间生产零件数的与乙车间生产零件数的相等，完成任务时，乙车间生产零件900个，甲车间生产零件多少个？
【答案】（个）
8. 一项工作，甲单独做需要20天完成，已单独做需15天完成，如果甲、乙合作，几天可以完成这项工作的？
【答案】（天）
9. 滨海市少先队员为山区学校捐献了一批图书，按计划把这批图书的十分之一又6本送给永红小学，把余下的一部分送给少年宫，送给少年宫的比送给永红小学的3倍还多136本，又把第二次剩余的75%又8本送给春蕾幼儿园，最后还余下了300本作为山区小学数学竞赛的奖品。问滨海市少先队员一共捐献了多少本图书/
【答案】设滨海市少先队员一共捐献了本图书。

（本）。





















小升初应用题解题指导课程



课程名称
小升初应用题解题指导课程

总体课程
目 标
1. 对各知识点进行适当的扩展和加深，帮助学生巩固知识，掌握灵活运用知识的方法和技巧。
2. 通过对基础知识的归纳总结，培养学生良好的分析问题和解决问题能力，提升学生的数学素养。
3. 提高学习兴趣，学习解题技巧，为小升初做好准备。
课程研发
理念和思路
为将来的初中学习打下良好的基础，真正让参加学习的每一位学生都有所提高。
该课程分三部分：第一部分是应用题知识的整理与回顾，归纳总结，选取重要的知识点，并进行拓展，以提高训练水平；第二部分是典型例题讲解，以提高学生分析问题和解决问题的能力；第三部分是对题型进行巩固习题练习。学习数学的思维方式和解题方法进行专练，这部分内容高于课本，目的是帮助学生打开思路，发展思维，掌握解题技巧，以达到预期的目的。
课程特色
1.归纳总结、专题讲解,达到小升初对接。
2.为小升初的学生输送数学营养，做好心理减压。

编号
每讲标题
课程容量
第一讲
分数、百分数应用题
2小时
第二讲
（一）比和比例应用题、（二）列方程解应用题
2小时
第三讲
典型应用题
2小时

第一讲 分数、百分数应用题

知识梳理：
1.什么是单位，单位和1的区别是什么？
单位也叫整体，它表示一个整体（比如：一段路程、一项工程、一筐苹果、一本书、一段时间、一个数（正数）等）；而1只表示一个物体（比如：一个苹果，一个小时，一个学生等），所以二者是有区别的。

2.如何判断单位，判断单位的一般方法是什么？
例如：①男生占全班人数的…… （“占”的后面的量是单位）
②全班人数的是少先队员…… （“的”的前面的量是单位）
③一班栽的棵数是二班的…… （“是”的后面的量是单位）
④三月份比二月份节约用电……（“比”的后面的量是单位）
⑤一节课的时间是小时…… （1小时是单位）

总结：单位就是一个标准。“谁”的几分之几，“谁”就是单位；被平均分的量就是单位；同“谁”比，“谁”就是单位；分率跟着“谁”，“谁”就是单位。

3. 单位不同，分率不能相加减，相同分率所表示的具体数量不同：
例如：1.如果一盘橘子共4个，那么这盘橘子的有（ 1 ）个；
2.如果一盘橘子共8个，那么这盘橘子的有（ 2 ）个；
4.分数应用题中一般都包含两类不同性质的量，具体数量和抽象分率，解题的突破口就是找它们之间的对应关系。

求百分率问题的公式
比较数÷标准数=比较数的对应百分率；
增长数÷标准数=增长率；
减少数÷标准数=减少率。或者是
两数差÷较小数=（多）几百分之几（增）；
两数差÷较大数=（少）几百分之几（减）。
增减百分率互求公式
增长率÷（1+增长率）=减少率；
　减少率÷（1-减少率）=增长率
求比较数应用题公式
标准数×百分率=与百分率对应的比较数
　　 标准数×增长率=增长数；
标准数×减少率=减少数；
　标准数×（两分率之和）=两个数之和；
标准数×（两分率之差）=两个数之差。
求标准数应用题公式
比较数÷与比较数对应的百分率=标准数；
增长数÷增长率=标准数；
减少数÷减少率=标准数；
两数和÷两率和=标准数；
两数差÷两率差=标准数；
方法归纳：
※上述的“标准数”我们也常叫做“单位1”，“比较数 ”也叫做“对应量”,题目中的百分率叫做“对应的分率”.解决百分数应用题的方法和分数应用题的方法类似，关键是找准数与量之间的对应关系，找到解题的突破口。现在对“单位1”（即标准量）常见类型查找的方法归纳如下：
1、 谁是（占）谁的百分之几？（黑兔是白兔的25％）
解析： 第二个“谁”是单位1（即白兔）
2、谁比谁多（或少）百分之几？（西瓜的价钱比荔枝的价钱少60％）
解析：第二个“谁”是单位1（即荔枝的价钱）
我们也可以这样让学生理解着记忆单位1的找法：
离百分率最近的那个量是单位1，或者“的”、“占”字后的量是单位1
※常见题型：1、求一个数是另一个数的百分之几

2、求一个数的百分之几是多少

3、已知一个数的百分之几是多少，求这个数

一． 一般的分数、百分数应用题
在分数、百分数应用题中存在三个量，即标准量、比较量和分率。例如：求a是b的几分之几（或百分之几），即知道标准量（b）和比较量（a），求比较量是标准量的几分之几（或百分之几），结果是一个分率或百分率。由此可以得出分数、百分数应用题中最基本的数量关系式，如下：
标准量×分率﹦比较量 比较量÷标注量﹦分率 比较量÷分率﹦标准量
例题1亮亮读一本小说，第一天读了全书的，第二天读了余下的，还有42页没有读完。问这本小说共有多少页？
解题思路： 把全书当作单位，找“量”与“率”的对应
解：把全书当， 第一天，第二天，剩下42页对应，所以全书为（页）。
综合式： （页）
答：这本小说共有245页。

例2： 小华看一本书，每天看15页，4天后还剩全书的60%没看，这本故事书总共有多少页？
简析：每天看15页，4天看了15×4=60（页），解此题关键是找60对应的分率，还剩全书的60%没看，把全书看作标准量，说明看了的应占全书的（1-60%），对应关系为60÷（1-60%）=全书页数。
解：1.看了多少页？
15×4=60（页）
2.看了全书的百分之几？
1-60%=40%
3.对应量÷对应分率=全书总页数
60÷40%=150（页）
综合算式：15×4÷（1-60%）=150（页）
答：这本故事书总共有150页。

二． 生活中的百分数应用题
生活中的百分数应用题其实是一般的百分数应用题的拓展和延伸，其中包括求出勤率、
发芽率、利息、折扣、浓度等问题，因此，我们必须掌握以下公式或概念：
（1） 几折、几成就表示十分之几，也就是百分之几十。
（2） 存入银行的钱叫本金。取款时银行多支付的钱叫利息。利息与本金的比值叫利率。以一个月为期的利率叫月利率，以1年为期的利率叫年利率。
（3） 出勤率=×100% 发芽率= ×100%
利息=本金×利率×时间 溶液的浓度= ×100%
利润率= ×100%

以浓度问题为例：
在生产和生活中，这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。
数量关系 溶液＝溶剂＋溶质 浓度＝溶质÷溶液×100%
例题3： 要把30%的糖水与15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克？
分析解答： 假设全用30%的糖水溶液，那么含糖量就会多出
600×（30%－25%）＝30（克）
这是因为30%的糖水多用了。于是，我们设想在保证总重量600克不变的情况下，用15% 的溶液来“换掉”一部分30%的溶液。这样，每“换掉”100克，就会减少糖 100×（30%－15%）＝15（克） 所以需要“换掉”30%的溶液（即“换上”15%的溶液） 100×（30÷15）＝200（克）由此可知，需要15%的溶液200克。
需要30%的溶液 600－200＝400（克）
答：需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。


习题练习：
1. 某商场将某种商品按进价的50%加价后，写上“大酬宾，八折优惠”，结果每件商品仍获利20元。此商品每件进价多少元？



2. 红星小学六年级学生植柳树500棵，结果死了30棵。求成活率。



3. 六年级一班有学生50人，今天有48人上课。求六年一班今天的出勤率。



4. 小军的爸爸在银行里存了6000元钱，定期两年，年利率2.25%，到期时扣除20%的利率税，共可取得本金和利率多少元？



5. 某班55名学生到动物园去参观。门口的价格牌上写着“每人5元，60张以上为团体票，团体票八五折优惠”。这个班怎样买票比较划算，可节省多少元？



6. 有甲、乙两种酒精溶液，甲种酒精溶液的浓度为95%，乙种酒精溶液的浓度为80%，要想得到浓度为85%的酒精溶液270克，应从甲、乙两种酒精溶液中各取多少克？



7. 一种商品按20%的利润定价，现在这种商品的进价降低了20%，若还按原来的定价销售，利润率是百分之几？




三． 分数工程应用题
分数工程应用题是分数应用题的一种，与整数应用题一样，研究的都是工作总量、工作效率与工作时间三者之间的关系。所不同的是，分数工程应用题中的工作总量不具体，一般用“1”来表示，工作效率则表示为工作时间的倒数。
三者之间的关系式：工作效率×工作时间=工作总量（单位“1”）
工作总量（单位“1”）÷工作时间=工作效率
工作总量（单位“1”）÷工作效率=工作时间
例4：一项工程，甲独做4天完成，乙独做6天完成。问：两队合作需要几天完成？
数量关系分析：工作总量（单位“1”）→这项工程
工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率
甲的工作效率= ，乙的工作效率=
解决问题：1÷（+）=2（天）
答：两队合作需要2天完成。
习题练习：
1. 一条公路（长180米），甲队独修需24天完成，乙队独修需30天完成.甲乙两队合作若干天后，乙队停工休息，甲队继续修6天完成。乙队修了多少天？



2. 一项工程由甲单独做需15天完成，由乙队单独做需20天完成。甲队单独做5天后，再由甲乙两队合作几天一共能完成全部工程的 ？


3. 一项工程，甲队单独做12天完成，乙队的工作效率是甲队的150%。甲乙两队合作需几天完成？



第二讲、（一）比和比例应用题

比和比例应用题包括：比例尺、按比例分配和正比例、反比例应用题。
一.比例尺应用题
比例尺就是图上距离与实际距离的比。在绘制地图、建筑物平面图、零件等图纸时，需要把实际的长度缩小或扩大一定的数值，这就要用到比例尺。解决比例尺应用题，常用到一下三个基本数量关系式：
图上距离：实际距离=比例尺
图上距离÷比例尺=实际距离
实际距离×比例尺=图上距离
例5：在一幅图上，10厘米的线段表示5000千米的实际距离，求这幅地图的比例尺。
辨析：学生在计算时千万不要忽略了单位的统一。
解答 5000千米=50000000厘米
10：500000000=1：50000000
答：这幅地图的比例尺是1：50000000。

习题巩固：
1.在比例尺是1：1000的地图上量得甲、乙两地相距4厘米。如果画在比例尺是1：8000的地图上，应该画多长？



二.按比例分配应用题
按比例分配应用题是把一个数量按照一定的比分几部分。按比例分配应用题是在比的意义、比与分数的关系的基础上来解决的。关键是要根据各部分之比，确定各部分量与总量之间的关系，即各部分占总量的几分之几。然后按照“求一个数（这里指分配的量）的几分之几是多少”的问题来解答。

例6：一个长方形的棱长总和是64cm，长、宽、高的比为4：3：1，这个长方形的长、宽、高各是多少厘米？
突破点：在64cm这个总和中有4条长，4条宽，4条高的长度，而4：3：1是一条长、一条宽、一条高长度的比，所以我们可以先把64cm除以4，求出一长一宽一高之和。之后，再按比例分配；或者先把64cm按长、宽、高之比进行分配，再求一条长、宽、高的长度。
解析： 〈方法一〉长：64÷4× =8(厘米)
宽：64÷4× =6（厘米）
高：64÷4× =2（厘米）
〈方法二〉长：64× =8（厘米）
宽：64×=6（厘米）
高：64×=2（厘米）
答 这个长方形的长是8厘米，宽是6厘米，高是2厘米。

习题巩固：
1.一艘轮船以每小时40千米的速度从甲港开往乙港，行了全程的20%后，又行驶了1小时，这时未行路程与已行路程的比是3：1。甲、乙两港相距多少千米？


2.一次演讲比赛，有50名选手参赛，其中有26人获奖。已知获二等奖的人数与获一等奖的人数比是4：1，获一等奖的人数是获三等奖人数的 。获一等奖的有多少人？


3.修一条公路，已修的和未修的长度比是1：3，再修300米后，已修的和未修的长度比是
1：2。这条公路长多少米？


4.学校把购进图书的60%按2：3：4分配给四、五、六三个年级。已知六年级分得56本，学校共购进图书多少本？



三．正比例和反比例应用题
正比例应用题中的各种相关联的数量有正比例关系，关系式是： =k（一定）。反比例应用题中的各种相关联的数量有反比例关系，关系式是：x·y=k（一定）。解答正、反比例应用题的基本步骤是：①分析数量关系，依据相关联的量之间的数量关系，判定它们成什么比例；②根据关系列出等量关系式；③设未知数，根据等量关系列方程；④解方程；⑤检验并写出答案。

例7：在比例尺是1：2000的图纸上，量得一个长方形花园的长是2.4厘米，宽是1.8厘米，这个花园的实际面积是多少平方米？
突破点 长方形的面积等于长乘宽，题中告诉了比例尺和图上距离，我们可以直接运用关系式求出长与宽的实际距离，然后计算花园的实际面积。
解析：解：设长为x厘米，宽为y厘米，则有：
⑴= x=4800 ⑵= y=3600
4800厘米=48米 3600厘米=36米
⑶长方形的面积为：48×36=1728（平方米）
答：这个花园的实际面积是1728平方米。

习题巩固：
1.李叔叔与王叔叔8月份收入的钱数之比是8：5，8月份支出的钱数之比是8：3，月底李叔叔结余800元，王叔叔结余980元。8月份两人各收入多少元？



2.一辆轿车和一辆货车同时从A，B两地的中点反向行驶，3小时后，轿车到达B地，货车离A地还有22千米，已知轿车与货车的速度比是6：5，A，B两地相距多少千米？


3.某车间计划24天生产一批零件，由于每天比原计划少生产120个，结果推迟8天完成任务。实际每天生产多少个零件？


（二） 列方程解应用题

1.列方程解应用题就是用字母代替应用题中的未知数，根据等量关系列方程，解方程，哦才能够而得到应用题的正确答案。
2.列方程解应用题的一般步骤：
⑴弄清题意，找出未知数，并用x表示；
⑵找出应用题中数量间的相等关系，并列方程；
⑶列方程，求出未知数的值；
⑷检验或验算，写出答案。检验时，一是要将所得的未知数的值代入原方程，检验方程的解是否正确；二是要检验所得的未知数的值是否符合题意。

例题8： 有甲.乙两盒棋子，甲盒中有2700枚棋子，其中黑子占30%；乙盒中有1200枚棋子，其中黑子占90%，现在从一盒中取出若干棋子放入甲盒中，此时甲盒中黑子占40%，乙盒子中黑子仍占90%，问从乙盒中拿了多少枚棋子放入甲盒？
分析解答：设乙盒中拿了x枚放入了甲盒中
甲乙两盒棋子总数2700＋1200＝3900枚
甲盒中有黑子2700×30％=810枚，乙盒中有黑子1200×90％=1080枚。
后来甲盒黑子占40％，乙盒黑子占90％
（2700x30％+0.9x）÷(2700+x)=40％
X=540
答;乙盒中拿了540枚棋子放入甲盒

列方程列应用题：
1.甲、乙两列客车从两地同时相对开出，5小时后在距离中点30千米处相遇。快车每小时行60千米，慢车每小时行多少千米？


2.某工厂共有600名工人，其中男工是女工的1 倍。求男、女工各有多少名。


3.某养鸡场今年养鸡2.8万只，比去年多 去年养鸡多少万只？


4.一批零件按1：2分给徒弟和师傅两人去完成。师傅每小时做20个，徒弟每小时做8个。两人同时开工，最后师傅比徒弟提前30分钟完成。师傅做了多少个?


5.王月从A地赶往B地。前半的时间每分钟行1千米，后一半的时间没分钟行0.8千米。A，B两地相距60千米，王月从A地到B地共用了多少分钟？


第三讲 典型应用题

用两步或两步以上运算解答的并且有一定解答规律的应用题叫典型应用题。如平均数问题、行程问题、归一问题、归总问题、植树问题、周期问题、鸡兔同笼问题等。要特别注意认识各类典型应用题的解题规律及技巧。
一、行程问题：
（一）行程问题——一般行程问题、相遇问题

速度×时间=路程
一般行程问题 路程÷速度=时间
路程÷时间=速度

速度和×相遇时间=相遇距离
相遇问题 相遇距离÷相遇时间=速度和
相遇距离÷速度和=相遇时间

（相遇时双方所用时间相同）

例9：甲、乙两车分别从A、B两地出发，相向而行。出发时，甲、乙的速度之比为5:4，相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样当甲到达B地时，乙离A地还有10千米，那么A、B两地相距多少千米？
解题思路：根据题意和所问的问题可知，相遇问题，速度与路程成正比，速度比就是路程比，
相遇时路程比为5:4，路程总长可看成9份。相遇后甲的速度为，乙的速度为，相遇后甲乙速度比为：4:4.8，问题是求A、B间路长，可利用比应用解，原来每份路程为（千米），则全长为（千米）。
解：
（千米）（千米）
答：A、B两地相距450千米。
习题巩固：
1、 一列火车经过某山，上山速度每小时30.5千米，下山速度每小时50.8千米。知道上山用6小时，下山用4小时。求这列火车上、下山平均每小时行多少千米？



2、甲、乙两地的铁路长390千米，两列火车同时从两地相对开出，快车每小时行80千米，慢车每小时行50千米，两列火车开出后，几小时可以相遇？



3、甲、乙两车从相距340千米的A、B两城相向而行，甲车上午8时从A城出发，乙车上午8时30分成B城出发，甲车每小时行30千米，乙车每小时行35千米。两车相遇时几时几分？



4甲、乙两汽车同时分别从A、B两站相对开出。第一次在离A站90千米处相遇，相遇后两车以原速继续前进，到达对方出发站后立刻返回，第二次相遇在离A站50米处。求A、B两站之间的距离？



5、王飞和田云二人转周长400米的环形跑道上练长跑，从同一点同时背向起跑。王飞每分钟跑210米，田云每分钟跑190米，他们从起跑到第十次相遇需多少分钟？


6、两地相距100千米。甲、乙两人骑自行车同时从两地相对出发，经过4小时后相遇，相遇后再经过2小时，甲、乙两人相隔多少米？



7、甲、乙两列火车同时向上海站向相反方向的两城市开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行50千米，经过几小时后两车相距1430千米？


8、甲、乙两车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行52千米，两车在离中点16千米处相遇。东、西两地相距多少千米？



9、小明和小亮分别从甲、乙两地同时出发，背向而行，小明每小时行4.8千米，小亮每小时行4.4千米，经过2.5小时后两人相距31.5千米。甲、乙两地相距多少千米？


10、甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车行驶到两地中点时，乙车离中点还有全程的的路程，相遇时甲行了全程的几分之几？


11、甲、乙两车由A、B两地同时相向开出，已知甲车与乙车的速度比是2：3，甲车走完全程需要小时，求两车出发后几小时相遇？


（二）行程问题——追及问题

速度差×追及时间=追及距离
追及问题 追及距离÷追及时间=速度差
追及距离÷速度差=追及时间
（注：追及距离就是追及开始时两者的距离）

1、姐姐和妹妹都从家道学校上学，姐姐每分钟走55米，妹妹每分钟走40米，姐姐让妹妹先走3分钟，然后姐姐才出发追赶妹妹，经过多少分钟姐姐可以追上妹妹？



2、 小芳和 小丽进行100米赛跑比赛。小芳比小丽早到5秒钟，小芳到终点时，小丽正好跑了80米，小丽跑完100米用了多少秒？


3、 有一条600米长的环形跑道，甲、乙两人从起点按顺时针方向同时出发。甲每分钟跑110米，乙每分钟跑90米，甲第一次追上乙需几分钟？此时各跑了多少圈？

4、 龟兔赛跑，全程2000米，龟每分钟爬25米，兔每分钟跑320米，兔自以为速度快，在途中睡了一觉，结果龟到终点时，兔离终点还有400米，兔子途中睡了多少分钟？


5、 龟兔赛跑，同时出发，全程7000米，龟每分钟爬30米，兔每分钟跑330米，兔跑了10分钟就停下来睡了215分钟，醒来后立即以原速往前跑。问:龟和兔谁先到达终点？先到的比后到的快多少米？


（三）行程问题——水中行船问题

顺水速度=船速＋水速
水中行船问题 逆水速度=船速－水速
船速=（顺水速＋逆水速）÷2
水速=（顺水速－逆水速）÷2
例10: 一条船往返于甲、乙两地之间，已知船在静水中的速度为每小时千米，平时逆行与顺行所用的时间比为。一天因为下暴雨，水流速度为原来的倍，这条船往返共用了小时，问甲、乙两地相距多少千米？
精析 这是一道流水行船问题。流水行船问题主要有四个公式：
顺水速度船速水速， 逆水速度船速水速，
船速顺水速度+逆水速度， 水速顺水速度逆水速度。
解：路程一定，速度与时间成反比 ，所以 （千米时），（千米时），（千米时）。
下暴雨后，
（千米时），（千米时），（千米时），则，（小时），故距离为（千米）。
习题巩固：
1、 甲船逆水航行300千米需15小时，返回原地需10小时，求船速和水速？



2、 甲船逆水航行360千米需18小时，返回原地需10小时，乙船逆水航行同样一段距离需15小时，返回原地需多少小时？



3、 一条船从上游甲港开往下游乙港，船速为每小时15千米，4小时到达。已知水速为每小时3千米。甲、乙两港相距多少千米？若船速和水速不变，从乙港回到甲港要航行多少小时？



4、 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩子每分钟走16级梯级，女孩子每分钟走12级梯级，结果男孩子用5分钟到达楼上，女孩子用6分钟到达楼上。该扶梯共有多少级？


（四）行程问题——列车过桥问题

路程=桥长＋车长
列车过桥问题
路程÷速度=时间

例题11
一列180米长的火车途经一隧道，看监控记录知火车从进入隧道到完全离开隧道用时43秒，整列火车完全在隧道内的时间为23秒，问隧道是多长？
解题思路：根据题意可知要求隧道长，必须知道火车速度，要求火车速度，必须知道火车对应的时间内所行的路程，或是对应的路程内所用的时间，从火车进入隧道到完全离开与整列火车完全在隧道内，火车两次所行路程差为两个火车长，此路程对应的时间为（秒），所以火车速度为：（米/秒），则隧道长为：（米）或（米）。
解：（米/秒）
（米）或（米）
答：隧道是长594米。

1、 一座桥长3400米，一列火车通过大桥时每分钟行800米，从车头上桥到车尾离开桥共需4.5分钟。这列火车长多少米？



2、 一列火车通过1000米长的大桥，从车头上桥到车尾离桥恰好用了1分钟，而火车以同样的速度经过桥边站岗的士兵用了12秒。求这列火车的长度和速度？



3、一列火车车身长800米，每小时行60千米。铁路上有两个隧道，火车从车头进入第一个隧道到车尾离开第一个隧道用2分钟，从车头进入第二个隧道到车尾离开第二个隧道用了3分钟，从车头进入第一个隧道到车尾离开第二个隧道共用了6分钟。两个隧道之间相距多少米？



二、植树问题
线路是封闭的：棵树=间距个数（总距离÷间距）
植树问题 两端都种：棵树=总距离÷间距+1
线路是不封闭的 一端种树：棵树=总距离÷间距
两端都不种：棵树=总距离÷间距-1

例题12：学校门前有一条直直的小路长32米，在小路的一旁每隔4米种一棵松树，从头到尾一共种了多少棵松树？

解析问题：首先要确定问题是属于哪一种类型。从“一条直直的小路”和“从头到尾”可以判定此题为两端都种。应用公式为：两端都种：棵树=总距离÷间距+1。

解答：32÷4+1=9（棵）
答：从头到尾一共种了9棵松树。

习题巩固:
1. 两栋楼相距60米，绿化队准备把19棵杨树苗等距离地在两栋楼之间载成一行，每两棵树苗之间距离多少米？


2. 在一个周长为600米的池塘周围种树。每隔10米载一棵杨树，在相邻两棵杨树之间每隔两米栽一棵柳树。杨树和柳树各能载多少棵？




三、平均数问题
例13：某班有40名同学，期中测试有2名同学生病缺考，这个班里平均分为89分，缺考同学补考各得99分，这个班期中测试的平均分是多少分？
解题思路：分析已知条件知道，由于2名同学缺考，班里平均分是89分，2名同学考后各得99分，则每人比以前的平均分高（分），共多（分），现在需把多出原平均分的分数再次平均分，每人得（分），则现在的平均分为（分），本题还可采用公式法求解。
解：（分）
答：这个班期中测试的平均分是89.5分。
习题巩固：
1. 王明上次考试中，语文、数学平均75分，数学、英语平均90分，语文、英语平均82.5分，那科成绩最低？

2. 甲、乙、丙三人的平均年龄是42岁，若将甲的岁数增加7岁，乙的岁数扩大2倍，丙的岁数缩小2倍，则三人岁数相等。丙的年龄是多少岁？


附：参考答案
第一讲
百分数：
1. 20÷［（1+50%）×80%-1］=100（元）
2.（500-30）÷500=94%
3.48÷50=96%
4.6000×2×2.25%×（1-20%）+6000=6216（元）
5.5×55=275（元）5×85%×60=255（元） 275﹥255，买60人的团体比较合算，可节省275-255=20（元）。
6.甲：（270×85%-270×80%）÷（95%-80%）=90（克），乙：270-90=180（克）
7.［（1+20%）÷（1-20%）-1］×100%=50%
分数工程应用题：
1.（1-×6）÷（+）=10（天）
2.（- ×5）÷(+)=4（天）
3.1÷（+×150%）=4.8(天)

第二讲、（一）比和比例应用题
比例尺应用题：
1.4÷×=0.5（厘米）
按比例分配应用题：
1.40÷（-20%）=800（千米）
2.三者比是：1：4：8 26×=2（人）
3.3600米。
4.210本。
正比例和反比例应用题：
1.李叔叔：2720元 王叔叔：1700元
2.设A地到中点的距离千米。= =132 132×2=264（千米）
3.设实际每天生产个零件。= =360


（二）列方程解应用题
1.设慢车每小时行千米。（60-）×5=30×2 =48
2.设女工有名，男工有1名。+1=600 =250 男工：1=350
3.设去年养鸡万只。（2.8-）÷= =2
4.设师傅做了个零件。（+）×8×2= =40
5.设王月从A地到B地共用了分钟。×1+×0.8=60 =66

第三讲：
（一）行程问题——一般行程问题、相遇问题:
1.（30.5×6+50.8×4）÷（6+4）=38.62（千米）
2. 390÷（80+50）=3（小时）
3. 8：30-8：00=30分钟=0.5时 （340-30×0.5）÷（30+35）=5（小时）
8：30+5小时=13：30
4. （90×3+50）÷2=160（千米）
5.400×10÷（210+190）=10(分钟)
6.100÷4×2=50（千米）
7.1430÷（60+50）=13（小时）
8.16×2÷（60-52）=4（小时） （60+52）×4=448（千米）
9.31.5-（4.8+4.4）×2.5=8.5（千米）
10.-= ：=3：2 ×+=
11.设速度原比为2a:3a
5×2a÷(2a+3a)=2 （小时）

（二）行程问题——追及问题
1.40×3÷（55-40）=8（分钟）
2.100÷［（100-80）÷5］=25（秒）
3.600÷（110-90）=30（分钟） 甲：110×30÷600=5.5（圈） 乙：90×30÷600=4.5（圈）
4.2000÷25+-=75（分钟）
5.7000÷30=233，7000÷330+215=236
（236－233）×330=950（米）

（三）行程问题——水中行船问题
1.顺水速：300÷10=30（千米/时）
逆水速：300÷15=20（千米/时）
船速：（30+20）÷2=25（千米/时）
水速：（30-20）÷2=5（千米/时）
2.甲顺水速：360÷10=36（千米/时）
甲逆水速：360÷18=20（千米/时）
水速：（36-20）÷2=8（千米/时）
乙逆水速：360÷15=24（千米/时） 乙船速：24+8=32（千米/时）
乙顺水速：32+8=40（千米/时） 顺时：360÷40=9（小时）
3.（15+3）×4=72（千米） 72÷（15-3）=6（小时）
4.解：设扶梯速度为a级/分
（16+a）×5=（12+a）×6 a=8
（8+16）×5=120（级）

（四）行程问题——列车过桥问题
1.800×4.5-3400=200（米）
2.1200÷（60-12）=25（米/秒）
25×12=300（米）
3.60千米/时=1000米/分
第一个隧道长：1000×2-800=1200（米）
第二个隧道长：1000×3-800=2200（米）
两隧道之间相距：1000×6-800-1200-2200=1800（米）
二、植树问题
1.60÷（19+1）=3（米）
2.杨树：600÷10=60（棵） 柳树：（10÷2-1）×60=240（棵）
三、平均数问题：
1. ﹙75×2＋90×2＋82.5×2﹚÷2＝247.5 247.5－90×2＝167.5 语文最低
2. ﹙42×3－7﹚÷﹙2＋1＋2×2﹚＝17 17×4＝68﹙岁﹚