人教版九年级下册第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.2 相似三角形的性质当堂检测题

第6课  相似三角形的性质及应用

知识点01  相似三角形的性质

相似三角形的性质及应用   

1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.

2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.

     相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.

要点诠释：

要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.

3. 相似三角形周长的比等于相似比

 ∽，则

由比例性质可得：

4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方

∽，则分别作出与的高和，则

要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.

知识点02  相似三角形的应用

1.测量高度

测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.

相似三角形的性质及应用 

要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：

平面镜测量法      影子测量法      手臂测量法       标杆测量法

2.测量距离

测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.

 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.
　　

要点诠释：　

1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;
　　2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;
　　3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;

4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．

考法01   相似三角形的性质

【典例1】如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE，EF与CD交于点G．

（1）求证：BD∥EF；

（2）若=，BE=4，求EC的长．

【思路点拨】（1）根据平行四边的判定与性质，可得答案；

（2）根据相似三角形的判定与性质，可得答案．

【答案】B.

【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC．

∵DF=BE，

∴四边形BEFD是平行四边形，

∴BD∥EF；

（2）∵四边形BEFD是平行四边形，

∴DF=BE=4．

∵DF∥EC，

∴△DFG∽CEG，

∴=，

∴CE==4×=6．

【总结升华】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．

【即学即练1】在锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2,求AC边上的高.

【答案】过点B做BF⊥AC,垂足为点F，

 ∵AD,CE分别为BC,AB边上的高，

∴∠ADB=∠CEB=90°，

又∵∠B=∠B，

∴Rt△ADB∽Rt△CEB,

∴,

且∠B=∠B，

∴△EBD∽△CBA,

∴,

∴,

又∵DE=2，

∴AC=6，

∴

【典例2】已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点，

且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积．
　　　　　　　　

【答案与解析】∵DA∥BC，
　　　　     ∴△ADE∽△BCE．
　　　　     ∴S△ADE:S△BCE=AE2:BE2．
　　　　     ∵AE︰BE=1:2，
　　　    　 ∴S△ADE:S△BCE=1:4．
　　　    　 ∵S△ADE=1，
　　　    　 ∴S△BCE=4．
　　　　     ∵S△ABC:S△BCE=AB:BE=3:2，
　　　　     ∴S△ABC=6．
　　　　     ∵EF∥BC，
　　　　     ∴△AEF∽△ABC．
　　　　     ∵AE:AB=1:3，
　　　　     ∴S△AEF:S△ABC=AE2:AB2=1:9．
　　　　     ∴S△AEF==．
　【总结升华】注意，同底(或等底)三角形的面积比等于该底上的高的比；同高(或等高)三角形的面积比等于对应底边的比．当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方．

【即学即练2】如图，已知中，，，，，点在上，        (与点不重合)，点在上.

(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长.
　　(2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.

【答案】  (1)∵，

∽
　　　　　   

.
　　　  　 (2)∵的周长与四边形的周长相等.
　　　　　  

=6，
　　　　　  

∽
　　　　　  

.
　　　　 

考法02  相似三角形的应用

【典例3】如图，直立在B处的标杆AB=2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD=8m，FB=2.5m，人高EF=1.5m，求树高CD．

【答案与解析】解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，如下图所示：

由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，

∵EH⊥CD，EH⊥AB，

∴四边形EFDH为矩形，

∴EF=GB=DH=1.5米，EG=FB=2.5米，GH=BD=8米，

∴AG=AB﹣GB=2.4﹣1.5=0.9米，

∵EH⊥CD，EH⊥AB，

∴AG∥CH，

∴△AEG∽△CEH，

∴=，

∴=，

解得：CH=3.78米，

∴DC=CH+DH=3.78+1.5=5.28米．

答：故树高DC为5.2米．

【总结升华】本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形．

【即学即练3】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高度BC.
　　　　　　　

【答案】作EF⊥DC交AD于F.

∵AD∥BE，∴

又∵，
　　　  ∴，

∴.
　　　  ∵AB∥EF， AD∥BE，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∴EF=AB=1.8m.
　　　  ∴m.

【典例4】如图，正方形ABCB1中，AB=1．AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则A2014A2015=　      　．

【思路点拨】本题考查相似三角形的判定与性质以及正方形的性质，根据已知条件得到A1B1=，AA1=2，同理：A2A3=2（）2，A3A4=2（）3，从而找出规律答案即可求出．菁优

【答案与解析】2（）2014

解：∵四边形ABCB1是正方形，

∴AB=AB1，AB∥CB1，

∴AB∥A1C，

∴∠CA1A=30°，

∴A1B1=，AA1=2，

∴A1B2=A1B1=，

∴A1A2=2，

同理：A2A3=2（）2，

A3A4=2（）3，

…

∴AnAn+1=2（）n，

∴A2014A2015=2（）2014，

故答案为：2（）2014．

【总结升华】本题是相似性质的运用与找规律相结合的一道题，要注意从特殊到一般形式的变换规律.

题组A  基础过关练

1．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（    ）

A．只有1个　  B．可以有2个 　　C．有2个以上，但有限　　　 D．有无数个

【答案】B.

【解析】x可能是斜边，也可能是直角边.

2. 若平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长为（    ）．

A．1.8 　　　B．5 　　　C．6或4 　　　D．8或2

【答案】A.

3. 已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A.

【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为，∴△ABC与△DEF对应中线的比为.

4．如图G是△ABC的重心，直线过A点与BC平行.若直线CG分别与AB、交于D、E两点，直线BG与AC交于 F点，则△AED的面积 ：四边形ADGF的面积=(    ) 
　　A．1：2 　　　B．2：1 　　　C．2：3 　　　D．3：2
　　　　　　　　　　　　　　　　

【答案】D.
5.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（　　）

　 A．= B． = C． = D．=

【答案】C.

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BF，BE∥DC，AD=BC，

∴，，，

故选C．

6．如图，在□ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则
　　S△DEF：S△EBF：S△ABF等于(    )

A.4：10：25　　　 B.4：9：25　 　　C.2：3：5　 　　D.2：5：25
　　
【答案】 A.

【解析】 □ABCD中，AB∥DC，△DEF∽△ABF，
　　　　　　　
　　　　　　　(△DEF与△EBF等高，面积比等于对应底边的比)，所以答案选A.

题组B  能力提升练

7.将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于　　．

【答案】1：3.

【解析】∵∠ABC=90°，∠DCB=90°

∴AB∥CD，∴∠OCD=∠A，∠D=∠ABO，

∴△AOB∽△COD；又∵AB：CD=BC：CD= 1：

∴△AOB与△DOC的面积之比等于1：3．

8.如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ADC=∠ACB,若AC=2，AD=1，则DB=_________.

【答案】3.

【解析】 ∵∠ADC=∠ACB，∠DAC=∠BAC,∴△ACD∽△ABC,∴AB=

∴BD=AB-AD=4-1=3.

9.如图，在△PAB中，M、N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，△BPM∽△PAN，则∠APB的度数是

_______________.

【答案】120°.

【解析】∵  △BPM∽△PAN，∴  ∠BPM＝∠A，

∵  △PMN是等边三角形，∴  ∠A+∠APN＝60°，即∠APN+∠BPM＝60°，

∴  ∠APB＝∠BPM+∠MPN+∠APN＝60°+60°=120°．

10. 若△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，则△ABC与△DEF的周长之比为　    　．

【答案】5：4．

【解析】∵△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，

∴△ABC与△DEF的相似比为5：4；

∴△ABC与△DEF的周长之比为5：4．

11. 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是_________________

【答案】30m.

12.如图，锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2，

则AC边上的高为______________.

【答案】 6.

【解析】∵AD,CE分别为BC,AB边上的高,

∴∠ADB=∠BEC=90°，∠ABD=∠EBC

∴Rt△ABD∽Rt△CBE

∴，

∴△ABC∽△DBE

∵相似三角形面积比为相似比的平方，

∴= 9,  ∴=3 ,

∴AC=3DE=3×2=6

∴h=2S△ABC/AC=2×18/6=6

即AC边上的高是6 .

题组C  培优拔尖练

13. 为了测量图（1）和图（2）中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作：
图（1）：测得竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米．
图（2）：测得落在地面的树影长2.8米，落在墙上的树影高1.2米，请问图（1）和图（2）中的树高各是多少？
 

【解析】（1）∵△CDE∽△ABE，∴，
              又竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米，
              ∴ AB=1.92米．即图1的树高为1.92米．
          （2）设墙上的影高落在地面上时的长度为x，树高为h，
              ∵竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，
              ∴

解得x=1.5（m），
∴树的影长为：1.5+2.8=4.3（m），
∴

解得h=3.44（m）．

14.某车库出口处设置有“两段式栏杆”，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点，当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图1所示（图2为其几何图形）．其中AB⊥BC，DC⊥BC，EF∥BC，∠EAB=150°，AB=AE=1.2m，BC=2.4m．

（1）求图2中点E到地面的高度（即EH的长．≈1.73，结果精确到0.01m，栏杆宽度忽略不计）；

（2）若一辆厢式货车的宽度和高度均为2m，这辆车能否驶入该车库？请说明理由．

【解析】解：（1）如图，作AM⊥EH于点M，交CD于点N，

则四边形ABHM和MHCN都是矩形，

∵∠EAB=150°，∴∠EAM=60°，

又∵AB=AE=1.2米，

∴EM=0.6≈0.6×1.73=1.038≈1.04（米），

∴EH≈2.24（米）；

（2）如图，在AE上取一点P，过点P分别作BC，CD的垂线，垂足分别是Q，R，PR交EH于点K，不妨设PQ=2米，

下面计算PR是否小于2米；

由上述条件可得EK=EH﹣PQ=0.24米，AM=0.6米，

∵PK∥AM，∴△EPK∽△EAM，

∴=，即=，

∴PK=0.08（米），

∴PR=PK+MN=PK+BC﹣AM=0.08+2.4﹣0.6

=1.8+0.08

≈1.94（米），

∵PR＜2米，∴这辆车不能驶入该车库．

15. 已知如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E自A点出发，以每秒1cm的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒2cm的速度向C点前进，若移动的时间为t，且0≤t≤6．
（1）当t为多少时，DE=2DF；
（2）四边形DEBF的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．
（3）以点D、E、F为顶点的三角形能否与△BCD相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由．

【解析】（1）由题意得：DE=AD-t=6-t，DF=2t，
∴6-t=2×2t，解得t=，
故当t=时，DE=2DF；

（2）∵矩形ABCD的面积为：12×6=72，S△ABE=×12×t=6t，

S△BCF=×6×（12-2t）=36-6t，

∴四边形DEBF的面积=矩形的面积-S△ABE-S△BCF=72-6t-36+6t=36，

故四边形DEBF的面积为定值.

（3）设以点D、E、F为顶点的三角形能与△BCD相似，

则或，
由ED=6-t，DF=2t，FC=12-2t，BC=6，

代入解得：t=3或t=1.2，
故当t=3或1.2时，以点D、E、F为顶点的三角形与△BCD相似．