北师大版初二数学上册（秋季班）讲义 第1讲 勾股定理 --提高班

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第15讲 勾股定理

知识点1 勾股定理的图形计算问题
勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.
a2+b2=c2
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，

则c2=a2+b2，c=；
a2 =c2-b2，a=；
b2=c2-a2，b=.
【典例】
例1 （2020秋•惠来县期末）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　）

A．16 B．25 C．144 D．169
【解答】解：
根据勾股定理得出：AB=AC2-BC2=132-122=5，
∴EF＝AB＝5，
∴阴影部分面积是25，
故选：B．
【方法总结】
此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2解答．
例2 （2020秋•新城区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝14，BC＝15，AC＝13，求△ABC的面积．

【解答】解：过点A作AD⊥BC交BC于点D，如图所示：

设BD＝x，则CD＝15﹣x．
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝142﹣x2，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（15﹣x）2，
∴142﹣x2＝132﹣（15﹣x）2，
解得：x=425，
此时AD2＝142﹣（425）2＝（565）2，
∴AD=565，
∴△ABC的面积=12×BC×AD=12×15×565=84．
【方法总结】
本题考查了勾股定理和三角形面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
例3（2020春•阳西县期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，若ab＝8，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为　5　．

【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：12ab=12×8＝4，
∴大正方形的面积为：4×12ab+（a﹣b）2＝16+9＝25，
∴大正方形的边长为5．
故答案为：5．
【方法总结】
本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用几何直观和图形面积，本题属于基础题型．
例4 （2020秋•徐州期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可以用面积法来证明，请将下面说理过程补充完整：
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，交BC的延长线与点F，
则四边形DFCE为长方形，所以DF＝EC＝　b﹣a　．（用含字母的代数式表示）
因为S四边形ABCD＝S△ACD+　S△ABC　＝　12b2　+12ab；
S四边形ABCD＝S△ADB+　S△DCB　=12c2+　12a(b-a)　；
所以　12b2　+12ab=12c2+　12a(b-a)　；
所以　a2+b2＝c2　．

【解答】证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，交BC的延长线与点F，
则四边形DFCE为长方形，所以DF＝EC＝b﹣a．（用含字母的代数式表示）
因为S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABC=12b2+12ab；
S四边形ABCD＝S△ADB+S△DCB=12c2+12a(b-a)；
所以12b2+12ab=12c2+12a(b-a)；
所以a2+b2＝c2．
故答案为：b﹣a；S△ABC；12b2；S△DCB；12a(b-a)；12b2；12a(b-a)；a2+b2＝c2．
【方法总结】
此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出五边形ACBED的面积是解本题的关键．
【随堂练习】
1．（2020秋•丹东期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4．分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于（　　）

A．2π B．3π C．4π D．8π
【解答】解：∵S1=12π（AC2）2=18πAC2，S2=18πBC2，
∴S1+S2=18π（AC2+BC2）=18πAB2＝2π．
故选：A．
2．（2020秋•青田县期末）直角三角形的两条边长为5和12，它的斜边长为（　　）
A．13 B．119 C．13或119 D．13或12
【解答】解：当12是直角边时，斜边长=52+122=13．
故它的斜边长为13或12．
故选：D．
3．（2020春•百色期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，若AB＝10，EF＝2，则AH＝　6　．

【解答】解：∵AB＝10，EF＝2，
∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
∴四个直角三角形面积和为100﹣4＝96，设AE为a，DE为b，即4×12ab＝96，
∴2ab＝96，a2+b2＝100，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，
∴a+b＝14，
∵a﹣b＝2，
解得：a＝8，b＝6，
∴AE＝8，AH＝DE＝6，
∴AH＝8﹣2＝6．
故答案为：6．
知识点2 勾股定理的应用
解勾股定理实际问题的一般步骤：
①仔细审题，读懂题意；
②找出或构造出与问题有关的直角三角形；
③在直角三角形中根据勾股定理列算式或列方程；
④求解所列算式或方程，直接或间接得到答案；
⑤作答.
解有关勾股定理的实际问题的关键是将实际问题转化为数学模型.
【典例】
例1 （2020秋•龙口市期中）甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以30海里/时的速度沿北偏东35°方向航行，乙船沿南偏东55°向航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距100海里，问乙船的速度是每小时多少海里？

【解答】解：∵甲的速度是30海里/时，时间是2小时，
∴AC＝60海里．
∵∠EAC＝35°，∠FAB＝55°，
∴∠CAB＝90°．
∵BC＝100海里，
∴AB=1002-602=80海里．
∵乙船也用2小时，
∴乙船的速度是40海里/时．
【方法总结】
此题考查了直角三角形的判定及方向角的掌握情况，关键是根据勾股定理解答．
例2 （2020秋•高州市期中）如图，所示，湖的两岸有两点A，B，在与AB成直角的BC方向上的点C处测得AC＝50米，BC＝40米．
求：（1）A，B两点间的距离；
（2）点B到直线AC的距离．

【解答】解：（1）因为△ABC是直角三角形，
所以由勾股定理，得AC2＝BC2+AB2．
因为AC＝50米，BC＝40米，
所以AB2＝502﹣402＝900．
因为AB＞0，
所以AB＝30米．
即A，B两点间的距离是30米．
（2）过点B作BD⊥AC于点D．
因为S△ABC=12AB•BC=12AC•BD，
所以AB•BC＝AC•BD．
所以BD=AB⋅BCAC=30×4050=120050=24（米），
即点B到直线AC的距离是24米．
【方法总结】
本题考查了勾股定理的应用，属于基础题，关键是掌握勾股定理在直角三角形中的表达式．
例3（2020秋•盐湖区期中）如图是一底面周长为24m，高为6m的圆柱形油罐，一只老鼠欲从距地面1m的A处沿侧面爬行到对角B处吃食物，请算出老鼠爬行的最短路程为多少？

【解答】解：
延AC和BD剪开，将曲面平铺在平面上，过AE作AE⊥BD于E，如图，
∵底面周长为24m，高为6m的圆柱形油罐，
∴AE＝12cm，BE＝6﹣1＝5（m），
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB=AE2+BE2=122+52=13（cm），
∴老鼠爬行的最短路程为13cm．
【方法总结】
本题考查了勾股定理和最短路线问题，能根据题意画出最短路线是解此题的关键．
【随堂练习】
1．（2020秋•市中区期中）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系，“折竹抵地“问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10尺，BC＝4尺，求AC的长．

【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+42＝（10﹣x）2．
解得：x＝4.2，
∴折断处离地面的高度为4.2尺，
答：AC的长为4.2尺．
2．（2020秋•荥阳市期中）郑州市CBD如意湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得BC＝30米，AC＝50米．
求：（1）两棵景观树之间的距离；
（2）点B到直线AC的距离．

【解答】解：（1）因为△ABC是直角三角形，
所以由勾股定理，得AC2＝BC2+AB2．
因为AC＝50米，BC＝30米，
所以AB2＝502﹣302＝1600．
因为AB＞0，
所以AB＝40米．
即A，B两点间的距离是40米．
（2）过点B作BD⊥AC于点D．
因为S△ABC=12AB•BC=12AC•BD，
所以AB•BC＝AC•BD．
所以BD=AB⋅BCAC=30×4050=24（米），
即点B到直线AC的距离是24米．
3．（2020秋•碑林区校级月考）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上底面距离为4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为多少？

【解答】解：如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，
作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BF＝A'B＝20cm，

延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，
∵AE＝A'E＝DG＝4cm，
∴BD＝16cm，
Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D=202-162=12（cm），
则该圆柱底面周长为24cm．
知识点3 勾股定理的逆定理
勾股数：满足关系a2+b2=c2的3个正整数a、b、c称为勾股数．
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2+b2=c2，那么这个三角形
是直角三角形.
【典例】
例1（2020秋•沂源县期中）下列各组数是勾股数的是（　　）
A．12、15、18 B．6、8、12 C．4、5、6 D．7、24、25
【解答】解：A、不是勾股数，因为122+152≠182，此选项不符合题意；
B、不是勾股数，因为62+82≠122，此选项不符合题意；
C、不是勾股数，因为42+52≠62，此选项不符合题意；
D、是勾股数，因为72+242＝252，此选项符合题意；
故选：D．
【方法总结】
本题考查了勾股数的概念：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．注意：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
例2 （2020秋•文山市期末）如图是一块地，已知AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m，且CD⊥AD，求这块地的面积．

【解答】解：连接AC，
∵CD⊥AD
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝4，CD＝3，
∴AC2＝AD2+CD2＝42+32＝25，
又∵AC＞0，
∴AC＝5，
又∵BC＝12，AB＝13，
∴AC2+BC2＝52+122＝169，
又∵AB2＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC﹣S△ADC＝30﹣6＝24m2．

【方法总结】
本题主要考查勾股定理和勾股定理逆定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
例3 （2020秋•太原期末）如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13cm，D是腰AB上一点，且CD＝12cm，BD＝5cm．
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求△ABC的周长．

【解答】（1）证明：∵BC＝13cm，CD＝12cm，BD＝5cm，
∴BC2＝BD2+CD2
∴△BDC为直角三角形；
（2）解：设AB＝x，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC＝x，
∵AC2＝AD2+CD2
x2＝（x﹣5）2+122，
解得：x=16910，
∴△ABC的周长＝2AB+BC＝2×16910+13=2345．
【方法总结】
此题考查等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用，属于基础题目．
【随堂练习】
1．（2020秋•金牛区校级月考）下列各组数能构成勾股数的是（　　）
A．8，15，17 B．6，7，8
C．13，14，15 D．0.9，1.2，1.5
【解答】解：A、82+152＝172，能构成直角三角形，是整数，故选项正确；
B、62+72≠82，不能构成直角三角形，故选项错误．
C、（15）2+（14）2≠（13）2，不能构成直角三角形，故选项错误；
D、不都是正整数，故选项错误；
故选：A．
2．（2020春•南平期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，A，B，C为格点（每个小正方形的顶点叫格点）．
（1）填空：线段AB＝　5　，BC＝　25　，AC＝　5　；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．

【解答】解：（1）AB=5，BC=25，AC＝5．
故答案为：5，25，5；
（2）△ABC为直角三角形，理由如下：
∵AB2＝5，BC2＝20，AC2＝25，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为直角三角形．
3．（2020秋•朝阳区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝20，BC＝15，CD＝7，DA＝24，求此四边形ABCD的面积．

【解答】解：连接AC，如图所示：
∵∠B＝90°，
∴AC=AB2+BC2202+152=25，
∵72+242＝252，
∴CD2+DA2＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积=12×20×15+12×7×24＝234．

4．（2020秋•天宁区期中）如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE＝1，DE＝2，AE＝4．
（1）求证：∠ADC＝90°；
（2）求DF的长．

【解答】证明：（1）∵DE⊥AC于点E，
∴∠AED＝∠CED＝90°，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∴AD2＝AE2+DE2＝42+22＝20，
同理：CD2＝5，
∴AD2+CD2＝25，
∵AC＝AE+CE＝4+1＝5，
∴AC2＝25，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠ADC＝90°；
（2）∵AD是△ABC的中线，∠ADC＝90°，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC＝5，
在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，
∵点F是边AB的中点，
∴DF=12AB=52．
综合运用
1．（2020春•和县期末）如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么a+b的值为　5　．

【解答】解：根据勾股定理可得a2+b2＝13，
四个直角三角形的面积是：12ab×4＝13﹣1＝12，即：2ab＝12，
则（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+12＝25，
则a+b＝5．
故答案为：5．
2．（2020秋•朝阳区校级月考）图是一个长、宽、高分别为4cm，3cm，5cm的长方体，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬行至点B，爬行的最短路程是多少？

【解答】解：因为平面展开图不唯一，
故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
（1）展开前面、右面，由勾股定理得AB2＝（5+4）2+32＝90；
（2）展开前面、上面，由勾股定理得AB2＝（3+4）2+52＝74；
（3）展开左面、上面，由勾股定理得AB2＝（3+5）2+42＝80；
所以最短路径长为74cm．
3．（2020秋•南京期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，AB＝13，BD＝5，AC＝15．
（1）求AD的长；
（2）求BC的长．

【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠CDA＝90°．
在Rt△ADB中，∵∠ADB＝90°，
∴AD2+BD2 ＝ AB2，
∴AD2＝AB2﹣BD2＝144．
∵AD＞0，
∴AD＝12．
（2）在Rt△ADC中，∵∠CDA＝90°，
∴AD2+CD2 ＝ AC2 ，
∴CD2＝AC2﹣AD2＝81．
∵CD＞0，
∴CD＝9．
∴BC＝BD+CD＝5+9＝14．
4．（2020秋•姜堰区期中）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．

（1）在Rt△ABC中，AC＝m，BC＝n，∠ACB＝90°，若图①中大正方形的面积为61，小正方形的面积为1，求（m+n）2；
（2）若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）．
【解答】解：（1）由题意（n﹣m）2＝1，m2+n2＝61，
∴2mn＝60，
∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝61+60＝121；

（2）由（1）可知m+n=11n-m=1，
∴m=5n=6，
∴AC＝5，BC＝6，
∵∠ACB＝90°，AC＝5，CD＝12，
∴AD=AC2+CD2=52+122=13，
∴这个风车的外围周长＝4（13+6）＝76．
5．（2020秋•兴庆区校级期中）如图所示，已知等腰△ABC的底边BC＝15cm，D是腰AB上一点，且CD＝12cm，BD＝9cm．
（1）判断△BDC的形状，并说明理由；
（2）求△ABC的周长．

【解答】解：（1）在△BDC中，BC＝15cm，CD＝12cm，BD＝9cm，
∴152＝92+122，
∴BC2＝BD2+CD2，
∴△BDC为直角三角形；
（2）设AB＝xcm，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC＝xcm，
∵△ADC为直角三角形，
∴AC2＝AD2+CD2，
即x2＝（x﹣9）2+122，
解得：x=252，
∴△ABC的周长＝2AB+BC＝2×252+15＝40（cm）．
故△ABC的周长为40cm．
6．（2020春•海安市月考）如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）求四边形ABCD的周长及面积；
（2）连接BD，判断△BCD的形状．

【解答】解：（1）根据勾股定理得AB=52+12=26，AD=42+12=17，CD=22+12=5，BC=42+22=25，
故四边形ABCD的周长为26+35+17；
面积为5×5-12×1×5-12×1×4﹣1-12×1×2-12×2×4＝14.5；
（2）连接BD，
∵BC＝25，CD=5，BD＝5，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∴△BCD是直角三角形．
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日期：2021/1/29 11:07:40；用户：广饶数学；邮箱：chaoyin5@xyh.com；学号：24896626