初中数学北师大版八年级上册1 函数一课一练

第6讲  函数

知识点1  常量与变量

1.变量与常量：

在某一变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量.

注：变量中，自己会变的量叫做自变量，因为自变量而随之改变的量叫做因变量.

【典例】

1.某品牌豆浆机成本为70元，销售商对其销量定价的关系进行了调查，结果如下：

则下列说法中正确的是（   ）

A. 定价是常量，销量是变量

B. 定价是变量，销量是不变量

C. 定价与销售量都是变量，定价是自变量，销量是因变量

D. 定价与销量都是变量，销量是自变量，定价是因变量

【答案】C.

【解析】解：定价与销售量都是变量，而随着定价的改变，销量也在随之改变，所以定价是自变量，销量是因变量，故C正确.

故选：C．

【方法总结】

本题主要考查了常量和变量的概念，解题的关键能根据题干叙述，准确判断出不变的量和变化的量，并能够从变量中确认出谁是引起变化的量，进而正确区分自变量和因变量.

【随堂练习】

1．（2018春•丹东期末）在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中因变量是（　　）

A．太阳光强弱 B．水的温度 C．所晒时间 D．热水器

【解答】解：根据函数的定义可知，水温是随着所晒时间的长短而变化，可知水温是因变量，所晒时间为自变量．

故选：B．

2．（2018春•迁安市期末）李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（　　）

A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量

【解答】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，

单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，

故选：C．

知识点2  函数的概念

1.一般地，在一个变化过程中的两个变量和，如果对于的每一个值，都有唯一的值与它对应，那么我们称是的函数，其中是自变量，是因变量.

2.函数的图像:

在平面直角坐标系中，以函数的自变量的值为横坐标、相应的函数值为纵坐标的点所组成的图形叫做这个函数的图像.

【典例】

1.下列说法正确的是（　　）

A. 在球的体积公式V=πr2中，V不是r的函数

B. 若变量x、y满足y2=x，则y是x的函数

C. 在圆锥的体积公式V=πR2h中，当h=4厘米，R=2厘米时，V是π的函数

D. 若变量x、y满足y=x+，则y是x的函数

【答案】D.

【解析】解：A、在球的体积公V=πr2中，变量是V和r，给定一个r值，都有唯一的V值与它对应，则V是r的函数，故A错误；

B、变量x、y满足y2=x，给定一个x=4，则有两个y值（±2）与之对应，则y不是x的函数，故B错误；

C、在圆锥的体积公式V=πR2h中，π是常量，所以当h=4厘米，R=2厘米时，V是π的函数是错误的，故C错误；

D、变量x、y满足y=x+，给定一个x值，都有唯一的y值与之对应，则y是x的函数，故D正确；

故选：D．

2.弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y （cm）与所挂的物体的质量x（kg）之间有下面的关系：

下列说法正确的是______________．

①x与y都是变量；    

②弹簧不挂重物时的长度为0cm；

③物体质量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm；

④所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm．

【答案】①③④

【解析】解：①x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，正确；

②弹簧不挂重物时的长度为10cm，错误；

③物体质量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm，正确；

④所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为10+7×0.5=13.5cm，正确

故答案为：①③④

3.下列图形中的图象不表示y是x的函数的是（　　）

A.         B.

C.                 D.

【答案】C.

【解析】解：根据函数的概念可知，给定一个x值，就有唯一的y值与它对应，即x是自变量，y是因变量.

观察四个图象，

A选项，给自变量x一个值，有且只有一个y值与其对应，故A是函数，

B选项，给自变量x一个值，有且只有一个y值与其对应，故B是函数，

C选项，根据图象知给自变量一个值，有的有3个函数值与其对应，故C不是函数，

D选项，根据图象知给自变量x一个值，有且只有一个y值与其对应，故D是函数，

故选：C．

4.星期日晚饭后，小红从家里出去散步，如图所示，描述了她散步过程中离家的距离s（m）与散步所用的时间t（min）之间的函数关系，该图象反映的过程是：小红从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段，在邮亭买了一本杂志，然后回家了．依据图象回答下列问题

（1）公共阅报栏离小红家有________米；

（2）邮亭离公共阅报栏有________米；

（3）小红从邮亭走回家用了________分．

【答案】略     

【解析】解：（1）公共阅报栏离小红家有300米；

（2）邮亭离公共阅报栏有500﹣300=200米；

（3）小红从邮亭走回家用了18﹣13=5分．

故答案为：300；200；5．

【方法总结】

本知识点主要考查了函数的判定、以及函数中的自变量和因变量之间的关系.

判定两个量是否满足函数关系的方法如下：

第一，确定式子中或图形中或语言描述中，只包含两个变量；

第二，（唯一性）判断两个变量之间的关系，比如，给定一个x值，都有唯一的y值与之对应，若则称y是x的函数.反应在图象上就是，一个x的值，对应一个y的值，则称y是x的函数.

【随堂练习】

1．下列表达式中能够表示y是x的函数的是（　　）

A．y=（x＞0） B．x2+y2=1 C．y= D．x=9y2

【解答】解：A、y=（x＞0），不符合函数的定义，故此选项错误；

B、x2+y2=1，不符合函数的定义，故此选项错误；

C、y=，y是x的函数，故此选项正确；

D、x=9y2，不符合函数的定义，故此选项错误；

故选：C．

2．（2017秋•灵石县期末）下表反映的是某地区电的使用量x（千瓦时）与应交电费y（元）之间的关系，下列说法不正确的是（　　）

A．x与y都是变量，且x是自变量，y是函数

B．用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元

C．若用电量为8千瓦时，则应交电费4.4元

D．y不是x的函数

【解答】解：A、x与y都是变量，且x是自变量，y是函数，正确，不合题意；

B、用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元，正确，不合题意；

C、若用电量为8千瓦时，则应交电费4.4元，正确，不合题意；

D、y不是x的函数，错误，符合题意．

故选：D．

3．（2018春•娄星区期末）下列各曲线中不能表示y是x的函数是（　　）

A．        B． 

C．        D．

【解答】解：A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故A不符合题意；

B、满足对于x的每一个取值，y有两个值与之对应关系，故B符合题意；

C、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故C不符合题意；

D、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故D不符合题意；

故选：B．

知识点3  自变量的取值范围和函数值

函数自变量的取值范围，一般从下面几个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负；

（4）当函数表达式含有0次幂时，需要满足0次幂的底数不等于0.

【典例】

1.求下列函数中自变量的取值范围：

（1）

（2）

（3）

（4）．

【答案】（1）取全体实数；（2）且；（3）；（4）且.

【解析】解：（1）∵无论取何值，函数均有意义，故取全体实数；

（2）要使函数有意义，则且 ，

解得且；

（3）要使函数有意义，则，

解得；

（4），

要使该函数有意义，则且，

解得且.

2.根据如图所示程序计算函数值，若输入的x的值为，则输出的函数值为_________.

【答案】

【解析】解：∵，满足2≤x≤4，

∴把代入中，得

.

【方法总结】

要求一个函数的自变量的取值范围，只需要保证分式中的分母不等于0，根号下面的式子≥0，0次幂的底数不等于0.若一个解析式同时存在上述的情况时，需要全面考虑，使每个式子都有意义的自变量的取值范围就是该解析式的自变量的取值范围.

【随堂练习】

1．（2018•内江）已知函数y=，则自变量x的取值范围是（　　）

A．﹣1＜x＜1 B．x≥﹣1且x≠1 C．x≥﹣1 D．x≠1

【解答】解：根据题意得：，

解得：x≥﹣1且x≠1．

故选：B．

2．（2018•包头）函数y=中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x≠1 B．x＞0 C．x≥1 D．x＞1

【解答】解：由题意得，x﹣1≥0且x﹣1≠0，

解得x＞1．

故选：D．

3．（2017秋•高新区期末）已知函数y=|x﹣b|，当x=1或x=3时，对应的两个函数值相等，则实数b的值是（　　）

A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2

【解答】解：由题意得：|1﹣b|=|3﹣b|，

∴可得：1﹣b=3﹣b（舍去）或1﹣b=b﹣3，

解得b=2．

故选：A．

4．（2017春•蓝田县期末）如图是我国古代某种铜钱的平面示意图，该图形是在一个圆形的中间挖去一个正方形得到的．若圆的半径是3cm，正方形的边长为xcm，设该图形的面积为ycm2．（注：π取3）

（1）写出y与x之间的关系式；

（2）当x=1时，求y的值．

【解答】解：（1）由题意可知：y=3×32﹣x2=27﹣x2

（2）当x=1时，

∴y=27﹣12=26

知识点4 函数的图象

（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；

（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；

（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.

【典例】

1．（2018春•文登区期末）某天，小颖到校后发现有学习用品遗忘在家中，此时离上课还有15分钟，于是立即步行回家去取．同时小颖的爸爸从家中出发骑自行车给她送学习用品，两人在途中相遇，在这个过程中，小颖和爸爸两人离学校的距离S（米）与所用时间t（分钟〕之间的关系如图所示，若爸爸骑自行车的速度是小颖步行的4倍，根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）学校离家的距离是____米，爸爸出发_____　分钟后与小颖相遇；

（2）请求出小颖步行的速度；

〔3）若小颖与爸爸相遇后坐爸爸的自行车赶回学校（假设爸爸骑自行车的速度不变）小颖能在上课前到达学校吗？请说明理由．

【解答】解：（1）学校离家的距离是2500米，爸爸出发10分钟后与小颖相遇；

故答案为：2500；10；

（2）小颖步行的速度50米/分

设小颖步行的速度为x米/分，则小颖父亲骑车的速度为4x米/分，

依题意得：10x+40x=2500，

解得：x=50

〔3）若小颖与爸爸相遇后坐爸爸的自行车赶回学校（假设爸爸骑自行车的速度不变）小颖能在上课前到达学校，理由如下：

两人相遇处离学校的距离为50×10=500米

小颖和父亲相遇后，赶往学校的时间为：=2.5

小颖来回花费的时间为：10+2.5=12.5＜15

所以小颖能在上课前到达学校．

【方法总结】

对于图象问题首先要看清楚图象描述的是什么关系，看清楚自变量指什么，因变量是什么，这两者之间存在怎样的关系，变化趋势是什么样的。一般会涉及行程问题的时候要知道路程等于速度乘以时间。

【随堂练习】

1．（2019春•桑植县期末）下列各图象中，不是关于的函数图象的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：由函数的定义可知，

每一个给定的，都有唯一确定的值与其对应的才是函数，

故选项、、中的函数图象都是关于的函数，中的不是，

故选：．

2．（2019春•贵阳期末）中国国际大数据产业博览会于2019年5月26日在贵阳开幕，小咏从家出发前往会展中心参观，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，小咏搭乘轻轨至会展中心参观，参观结束后，小咏搭乘邻居刘叔叔的车顺利到家，下面的哪个图更好地刻画小咏离家距离与时间的关系　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：由题意可得，

小咏从家出发前往会展中心参观，先匀速步行至轻轨车站这一过程中，离家的距离随着时间时间的增加而增大，

小泳步行到轻轨车站等待的过程中，离家的距离随着时间时间的增加不变，

小咏搭乘轻轨至会展中心参观这一过程中，离家的距离随着时间时间的增加而增大，且速度比步行的速度大，

小咏参观的过程中，离家的距离随着时间时间的增加不变，

小咏搭乘邻居刘叔叔的车回家的过程中，离家的距离随着时间时间的增加而减小，

故选：．

3．（2019春•顺德区期末）如图是一辆汽车行驶的速度（千米时）与时间（分之间变化图，下列说法正确的是　　

A．时间是因变量，速度是自变量 

B．从3分到12分，汽车行驶的路程是150千米 

C．时间每增加1分钟，汽车的速度增加10千米时 

D．第3分钟时汽车的速度是30千米时

【解答】解：速度是因变量，时间是自变量，故选项不合题意；

从3分到12分，汽车行驶的路程是千米，故选项不合题意；

从汽车出发到第3分钟，时间每增加1分钟，汽车的速度增加10千米时，第3分钟到第8分钟，汽车匀速行驶，故选项不合题意；

第3分钟时汽车的速度是30千米时，正确，故选项符合题意．

故选：．

4．（2019•邯郸三模）定义新运算：，则函数的图象大致是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：由题意可得，

当时，，

当且时，，

故选：．

5．（2019春•简阳市 期末）下列情境分别可以用图4中哪幅图来近似地刻画？

（1）一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系）；

（2）一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系）；

（3）足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系）；

（4）匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）．

对应正确的是　　

A．③④①② B．②③①④ C．③①④② D．①②③④

【解答】解：（1）一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低，故③图象符合要求；

（2）一面冉冉上升的旗子，高度随着时间的增加而越来越高，故④图象符合要求；

（3）足球守门员大脚开出去的球，高度与时间成二次函数关系，故①图象符合要求；

（4）匀速行驶的汽车，速度始终不变，故②图象符合要求；

正确的顺序是③④①②．

故选：．

6．（2019春•九江期末）如图所示的游泳池内蓄满了水，现打开深水区底部的出水口匀速放水，在这个过程中，可以近似地刻画出泳池水面高度与放水时间之间的变化情况的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：由题意可得，

在浅水区，随的增大而减小，下降的速度比较慢，

在深水区，随的增大而减小，下降的速度比较快，

故选：．

7．（2019春•太原期末）如图，一辆汽车在龙城大街上沿东向西方向正常行驶，从点处开始减速驶入路况良好的祥云桥北匝道桥，接着驶入滨河东路后沿北向南继续正常行驶．下列四个图象中能刻画该汽车这个过程中行驶速度（千米时）与行驶时间（时之间关系的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：该汽在龙城大街上沿东向西方向正常行驶时，图象是一条水平线段，故可排除、．

然后开始减速驶入路况良好的祥云桥北匝道桥，故可排除．

故选：．

8．（2019春•万安县期末）某同学放学回家，在路上遇到一个同学，一块去同学家玩了会儿，然后独自回家．下列图象能表示这位同学所剩路程与时间变化关系的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：由题意可得，

这位同学从学校出发到与同学相遇前这一过程中，所剩路程随着时间的增加而减小，

这位同学与同学相遇到在同学家玩这一过程中，所剩路程随着时间的增加不变，

这位同学离开同学家到回到家的这一过程中，所剩路程随着时间的增加而减小，

故选：．

9．（2019春•西湖区期末）定义新运算：，则函数的图象可能是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：由题意得，

当时，；当且时，，

图象如图：

故选：．

10．（2019春•利津县期末）甲、乙两人在一次赛跑中，路程（米与时间（秒的关系如图所示，则下列结论错误的是　　

A．甲的速度为8米秒 B．甲比乙先到达终点 

C．乙跑完全程需12.5秒 D．这是一次100米赛跑

【解答】解：、甲跑完全程100米用了12秒，速度约为8.3秒，故错误，符合题意；

、跑完全程甲用时少于乙，故甲比乙先到达终点，正确；

、乙跑完全程用时12.5秒，正确；

、这是100米的比赛，正确，

故选：．

11．（2019春•丰南区期末）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．如图描述了他上学情景，下列说法中错误的是　　

A．用了5分钟来修车 

B．自行车发生故障时离家距离为1000米 

C．学校离家的距离为2000米 

D．到达学校时骑行时间为20分钟

【解答】解：

根据图象分析，从纵坐标可以看出，在离家1000米处停留了分钟，故正确，

此时离学校米．故正确，

20分钟时，离家2000米到学校．故正确，

到达学校骑行的时间为：分钟，故错误

故选：．

   综合运用

1.下列图象不能表示变量y是变量x的函数的是（　　）

A.     B.     C.     D.  

【答案】B.

【解析】解：A、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，故A正确；

B、对于x的每一个取值，y有不唯一确定的值，故B错误；

C、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，故C正确；

D、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，故D正确；

故选：B．

2.下列关系式中，y是x的函数有（　　）

①y=；②y=x2；③y2=x（x≥0）；④y=（x≥0）；⑤y=±（x≥0）；⑥|y|=x（x≥0）；⑦y=|x|．

A. 3个            B. 4个            C. 5个          D. 6个

【答案】B.

【解析】解：y是x的函数有：①y=x，②y=x2，④y=（x≥0），⑦y=|x|，共4个，

故选：B．

3.李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为24米．要围成的菜园是如图所示的长方形ABCD．设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是__________________________________.

【答案】y=x+12

【解析】解：根据三边的篱笆总长恰好为24米，得

2y+x=24，

化简得：y=x+12.

4.已知A、B两地相距30km，小明以6km/h的速度从A步行到B地的距离为y km，步行的时间为x h．

（1）求y与x之间的函数表达式，并指出y是x的什么函数；

（2）写出该函数自变量的取值范围．

【答案】略     

【解析】解：（1）由题意可得：y=6x，

此函数是正比例函数；

（2）∵A、B两地相距30km，

∴0≤6x≤30，

解得：0≤x≤5，

即该函数自变量的取值范围是：0≤x≤5．