小学数学北师大版四年级下册探索与发现（二）三角形边的关系教学设计

北师大版数学四年级下册

第二章 2.4探索与发现：三角形边的关系 教案

一、指导思想与理论依据

   《2011版数学课程标准》中明确指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。

史宁中说：“在整个基础教育阶段和教学的核心就是研究关系！”

二、教学背景分析

（一）教材纵向梳理

《探索与发现：三角形边的关系》是北师版四下第二单元《认识三角形和四边形》的教学内容，本单元一共有五个教学内容.《三角形边的关系》是本单元的一个重要内容，这部分内容是建立在学生已经对三角形有了初步认识的基础上，本单元又经历了三角形分类，探索了三角形内角和之后来研究三边关系。其实，对于平面图形边的关系的探索，学生已不陌生。一下，初步认识长方形、正方形、三角形、圆等平面图形。学生通过从三棱柱上得到三角形的操作活动，感知面在体上，使学生头脑中初步建立起“三角形”的表象；这是对三角形第一次初步认识。二下，探索长方形、正方形的性质，直观认识平行四边形，初步认识角。所以学生在这一阶段认识了角和边，在这个过程中积累的学习经验，使学生在研究图形时自然会关注“边”和“角”这两个重要的元素。四上认识了线段、射线与直线，认识平行、相交、垂直，再次认识角，线和角是构成平面图形的两个基本要素，而且本单元还通过具体的操作活动，让学生体会到了两点之间线段最短。所以本单元将为我们进一步学习三角形的新特征积累了丰富的知识经验和活动经验。五上，学生学习了平行四边形、三角形和梯形的面积.六年级下学期，学生还会学习图形的旋转和运动。学生能在方格纸上画出三角形旋转90度后的立体图形。到初中学生还会学习与三角形有关的线段、角及全等三角形等。初中重在推理、证明。比如本课，小学：仅限于通过实际操作三条线段能围或是不能围成三角形，通过多组数据的支撑，最后得出两边之和大于第三边。中学：通过“两点之间线段最短”来推理证明两边之和大于第三边，推理能力比较强。迁移了小学“两点之间线段最短”这个知识点，并且得到了升华。

通过教材的纵向梳理我有两点发现：

第一，发现有这样一条关于“关系”的暗线：从二下开始关注要素之间的关系，如长方形认识时对边相等——两条边相等；四上研究了两条线的位置关系；四下三角形内角和一课研究的是三个角和的关系，三角形边的关系一课研究的是三条边关系——两条边的和与第三条边长短的关系；初中在研究会研究三个角之间的关系和三条边之间的关系。在这个学习过程中，学生从平面图形同一要素两条边关系的研究到同一要素的三个角、三条边间关系的研究再到中学两种要素下三者间关系的研究，可见四下的学习起到了承上启下的作用。

第二，从低段、中段到高段，经历了从整体到局部再到整体的过程。一年级通过将立体图形的面“留在纸上”的活动，从整体上认识三角形的形状，直观形象。四年级通过观察、画一画、折一折、量一量等操作活动进一步探索三角形分类、三角形内角和三边关系，是从元素方面研究图形特征，使学生在以前的直观感知基础上对图形进行了更为细致的刻画，加深了对三角形特征的抽象认识。五年级利用转化的思想方法，通过两个形状相同的三角形拼成平行四边形的过程，用旧知解决三角形面积的新问题。

可以看出小学阶段关于三角形教学，教材在编排上经历了

整体感知形状 → 抽象认识特征 →  探索三角形面积

这样的“三部曲”。

（二）教材横向分析：

通过对两个版本教材的对比发现：

相同：两版教材学生都通过观察→动手实验→交流发现→三角形三边关系。

不同：

1.问题引入。 北师大版教材出示四组小棒直接提出“用小棒摆三角形哪组能摆成？哪组摆不成？”的问题。人教版是创设了“我上学走中间这条路最近”“这是什么原因呢？”这种学生熟悉而有趣的问题情境。

2.模型。北师大版使用小棒，人教版使用纸条。虽然模型不同，但作用相同。

由上述分析引发了我以下思考：

1.通过观察→动手实验→交流发现→总结三角形三边关系，在这个过程中学生会经历思考的全过程，积累探索问题的方法和经验。进而培养学生的观察、分析、比较、操作能力，进一步发展空间观念，提高学生的推理能力。

2.利用小棒模型直观操作帮助学生感知图形的特征，同时也在操作活动中获得体验，积累数学活动经验。

3.对“两根小棒长度的和与第三根小棒一样时是否能围成一个三角形”的问题，要充分利用学生原有认知基础以及数学活动经验，大胆设想，小心验证，进而解决问题。

4.三角形内角和是第一次从角这个要素出发研究三个角之间和的关系，三角形三边关系是第二次从边这个要素出发研究三边的关系——两条边的和与第三条边长短的关系，那么学生是否能把三角形内角和研究三个角关系的学习经验迁移到三边关系的学习之中呢？

三、学情分析

学习数学就是在构建自己的知识之树,知识与知识之间都是有联系的,本节课的教学内容是三角形的三边关系，这一知识与哪些知识点有联系？我们应该怎样帮助学生构建他们的知识之树?针对这一问题，我们设计了如下前测题目：

调研班级：四（11）班

题目：什么样的小棒能首尾相接摆成三角形？

调研目的:了解学生在没有帮助、指导的情况下能否关注三角形的边，边长以及边长的关系？

   从学生情况来看，特殊的等边三角形影响很大，这部分学生关注到了边，但没有关注边的关系。还有一部分回答直的小棒和不会的，说明学生连边都没有关注到。此次调研说明在没有指导帮助下，学生很难关注到三角形的边以及边的关系。针对这一现象，我们进行了二次调研。

题目：你认为三条多长的线段能首尾相接连成三角形？

班级：四（11）

调研目的：给出关注三角形的边长后学生能否关注到三边关系？

    由于有的学生说出不止一种，因此统计出的总人数超过了全班人数。

    此次调研接近一半的学生认为两边之和大于第三边，这些学生分为三种情况：一、画图说明，上面两条边长的和大于第三条边，二、文字叙述，两短边之和大于长边。三、抓住任意两个字，提出任意两边之和大于第三边。值得注意的是，这些学生都不能用学过的两点之间线段最短的知识对本结论进行解释，说明这些知识点之间的联系是断裂的。

    这次调研学生仍然关注了特殊三角形如等边三角形，等腰三角形，还有学生关注了不规则三角形的三条边相差不大。这些学生依然关注的是单条边。

对比两次调研，我们发现学生是从特殊的图形到一般的图形来体会三边的关系。从等边三角形到等腰三角形，再到一般的三角形。学生的学习路径也是从特殊到一般。学生是依托三角形的形来认识边的关系。

如果脱离三角形的形，学生对三边关系会有新的认识吗？带着这样的疑问:我们进行了第三次调研:

题目:你认为用三根3厘米,5厘米,8厘米的小棒能摆成三角形吗?动手摆一摆,你有什么发现?

全班只有7名同学认为能摆成,这7人中有2人改变了原来对三边关系的认识，说明摆小棒与画图或者学生原有的认知之间还是有矛盾的。学生认为不行的原因如下:小棒有粗度,小棒搭界的地方不合理.

通过三次调研,我的思考如下：不能忽略等边三角形对学生的影响，学习路径可以考虑从特殊到一般的方法。课堂上应该通过解决摆小棒与已有知识之间的矛盾，发展学生的抽象思维能力。应该有一个环节与两点之间线段最短的知识进行联系。帮助学生理解三角形的三边关系。

总之,本课虽然是研究三角形三边关系,但实质是对线段的研究,因此要将此知识与线段进行联系,使学生对知识之间的联系更清楚.

四、教学目标：

1、学生通过复习三角形的相关内容：三角形的分类、三角形的内角和180度等，从而提出问题：三角形的三条边之间又有什么关系?

2、学生通过动手围三角形，分层研究三边关系，按边的特点经历三边相等、两边相等到三边都不等能否围成三角形的思维过程和研究方法。

3、学生在自主探究三角形三边关系时，从不能围成的入手思考三边关系，并渗透、应用有序思考的思想。

4、经历活动中问题提出与解决的过程，渗透探索精神的培养，在相互交流中感受数学思考与探究的乐趣。

教学重点：

学生通过动手围三角形，分层研究三边关系，按边的特点经历三边相等、两边相等到三边都不等能否围成三角形的思维过程和研究方法。

教学难点：

探究三边关系的突破口是研究不能围成三角形的三条线段，学生如何剪出围不成的并在围的过程中发现三边关系。

五、教学设计

以下是我的教学流程，分为六个环节：

（一）谈话引入   提出问题

谈话导入：孩子们，关于三角形我们都研究过哪些内容？

预设：①我们学过直角三角形、钝角三角形、锐角三角形；还学过等边三角形、等腰三角形和不等边三角形。

师：听，他在说三角形的分类：按角分和按边分。

②三角形具有稳定性

③三角形的内角和180度

师：内角和180度其实是三角形三个角之间的关系。孩子们学习的知识真扎实！那关于三角形，你还想研究什么问题？

预设：我想研究三角形三条边之间是不是也有关系？

师：好，那今天我们就一起来研究三角形边的关系。

（师板书：三角形边的关系）

【设计意图】：通过复习三角形的相关知识：分类、三角形的内角和等，学生能够自主得提出问题：三条边是否也有关系？分类的复习也为后面的学习做好铺垫。

（二）谈论研究方法

师：瞧，老师这里有一条很神奇的长长的线段，18厘米长，如果你任意剪两刀出几段？

预设：三段

追问：那能剪出多少种不同的三段呢？

预设：很多很多。

师：那三段都是整厘米段呢？

预设：也很多啊，只要三段相加是18厘米就是啊。

师：那把每组的三条线段首尾相连能不能围成三角形呢？

预设：能、不能、不一定

师：老师听到了，有说能的，有说不能的，还有说不一定的。（板书：能   不能）

   那你们打算怎么研究这个问题呢？

预设：把它剪成三段，围一围，看能不能围成三角形。

师：这真是一个好办法！实际动手操作一下。

预设：刚才想了会剪出很多种情况，围不完啊。我觉得应该找几个代表性的，分下类，一类类的研究。

师：你的想法真好！那你想怎么做！

预设：可以分成直角的、钝角的、锐角的或者是三边相等、两边相等的、三边都不相等的。

师：那今天我们研究的是三角形边的关系，咱们不考虑角，从边的特点分类更好。

（师板书：三边相等     两边相等     三边都不等）

【设计意图】：这一环节的设置是为了确定研究的方法，为后面的操作打下基础，操作时不盲目围三角形，带着研究的问题和思考去做，也为学生以后再研究问题时提供了一种研究的方法。

（三）分层突破

1、三边相等的情况

师：孩子们再仔细想一想，这三种情况哪个特别容易判断出能围成还是不能围成，特别明显的。

预设：第一种直接能判断出来，三边相等一定能围成三角形，这是18厘米长，三边相等，每边都是6厘米，6、6、6厘米一定能围成三角形，是个等边三角形。

（师板书：三边相等一定能围成    6、6、6）

师：说的真好！那围成之后是不是这样的

（展台展示）跟你们想象中的三角形一样吗？

【设计意图】：学生对三边相等的情况有很深刻、直观的认识，研究时也是经历从特殊到一般的思考过程，所有学生完全可以通过想象、思考直接判断哪个否围成。

2、两边相等的情况

（1）师：那两边相等的情况也不一定能围成吗？

预设：一定能或不一定能。

师：孩子们有说能的，有说不一定的，那你们在判断之前先想一想，18厘米怎么剪能有两边相等的情况呢，有多少种剪法呢？想一想，并写在学习单上。

学生写。预设：

师：嗯，刚才看到两边相等的情况孩子们想出了很多种剪法，那三边不等的又可以怎么剪呢，你们也试着写一写。

学生写。预设：

师：好，这两种情况剪法有很多，那这些到底能不能围成三角形呢？孩子们已经跃跃欲试了，那咱们就带着思考和问题围一围、试一试。看看活动要求，我们需要怎么做？

出示活动要求：

把18厘米的线段任意剪两刀（剪成整厘米段），用得到的3条线段试着去围三角形，把所有的操作留在在操作板上，并把结果记录在作业纸上。
两人一小组，合作完成。

师：挺清楚活动要求了就开始操作吧!

学生活动。

【设计意图】：在操作之前，让学生先想想怎么剪，并写下来，因为学生在剪得过程中，如果不考虑怎么剪，而去任意剪，会出现重复情况，或者由于学生的成功心理，只剪能围成的，不会出现围不成的，三角形边的关系是从围不成的入手研究的，希望每组都会出现成和不成的。所以设计了这个环节，并且学生在写的过程中会发现按照顺序剪，可以培养学生有序思考的思想。

（2）汇报交流

师：下面我们一起来听一听每个小组围三角形的情况。

预设：

①我们小组研究了两边相等的情况，发现有能围成的，有不能围成的，所以两边相等不一定能围成三角形。如：3、3、12厘米不能围成、5、5、8能围成……

（师板书能围成的和不能围成的）

②这是我们小组的学习单。

师：孩子们观察一下，有什么想说的？

预设：第二个比较好，有序思考，不容易重负荷漏数据，值得我们学习。

师：看来有序思考的思想对我们的帮助很大，把学过的内容应用到新的问题上，汇报得也有条有理，真棒！那这些就真的不能围成吗？谁举个例子说一说。

预设：比如说4、4、10不能围成，因为4+4=8,8比10小，所以围不成。

师：你这就奇怪了，怎么想到让相等的两个4和4区相加呢？

生用手演示并比划。

师：看到你在比划，那你还是那个来为大家演示一下吧，为了便于操作，老师也做了一个和你们围的一模一样的，你来试一试吧。

生演示：：

师：说说看到了什么？

预设：把两个4往下压，压平了，还够不着，还差2厘米？

师：谁更谁比差点？

预设：4+4的和跟10比差2厘米，比10小，围不成三角形。

师：原来是这个原因所以围不成。我看到还有这样围的，

也来给大家演示一下，说一说看，看到了什么？

预设：把两个相等的边4和4连一起，抻直了，都够不着。

师：谁跟谁够不着？

预设：4+4的和跟10够不着

师：看来4、4、10还真的围不成，那这几组呢？

学生说。

预设：两相等的边相加比第三边小时，不能围成三角形。

师：那这些怎么就能围成呢？也举例说一说。

预设：两个相等的边5+5=10，比8长，如果继续往下压，两个5就重叠了。

师：重叠说明什么问题？

预设：说明两个5相加的和比8要长。

预设：这个也一样，把两个5抻直了超过8了，所以能围成。

师：看来两边相等的情况，要想围成三角形，要附加一个要求了。

预设：两条相等边的和大于第三边才能围成。

（师板书）

【设计意图】：从不能围成三角形的入手，两边相等的情况，可以把边的三个变量变成两个变量，在这个环节要放慢一些，让学生们充分感受和讨论，把 “合”过程变成“和”的过程， 充分理解两边相加再比较的含义。

3、三边都不相等的情况

学生汇报，由于三边不等的情况较多，不要求学生把所有情况都写出来。

①    预设：3、4、11围不成三角形并演示。

两短边之和小于第三边不能围成三角形。

②    4、5、9也不能围成三角形，虽然4和5能够到，但是在9这条线上够到的，这样就不是同一个三角形了，所以两短边之和等于第三边时也不能围成三角形。1、8、9也不能，道理一样

③    4、6、8可以

预设：三边不相等的情况，只要两短边之和大于第三边才能围成三角形。

（师板书）

（四）三条结论融合

1、师：孩子们，我们在思考及动手操作的过程中，得到了这样的三条结论：

①三边相等一定能围成是三角形。

②两边相等，两相等边的和要大于第三边才能围成三角形

③三边都不相等时，两短边相加的和要大于第三边才能围成。

那你们现在有什么想法啊？

预设：

①我觉得虽然分成了三类，但其实道理是一样的，我觉得可以变成一句话，可以用最后一句话总结：两短边相加的和要大于第三边才能围成

②我觉得也可以用任意两边之和大于第三边来总结。

追问：什么是任意？

预设：就是随便拿出两条边相加都要大于第三边。比如说：4、6、8

4+6=10  10>8; 

6+8=14  14>4;

4+8=12  12>6

要同时满足三组才能围成三角形。

而2、3、13，虽然3+13=16    16>2；  2+13=15  15>3这两组满足，但有一组不能满足3+2=5    5<13，所以不能围成三角形。

（师板书）

（五）谈收获

师：谈一谈这一节课你的收收获？

1、我知道了不是任意三边都能围成三角形，边之间是有关系的。

2、我发现长的那条边不能超过9，边再长也不能超过周长的一般

师：你真善于观察。瞧！这个简单的三角形还真不简单！

3、在研究一个比较复杂的问题时，可以先分类，一类类的研究比如今天的分类，先研究三边相等的、两边相等的、三边都不相等的。