上海交通大学附属中学2022-2023学年高三数学下学期开学考试试题（Word版附解析）

交大附中高三开学考数学试卷

2023.02

一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）

1. 正多面体按其面数分有___________种

【答案】5

【解析】

【分析】由正多面体的概念判断．

【详解】正多面体有正四面体，正方体（正六面体），正八面体，正十二面体，正二十面体共5种，

故答案为：5.

2. 若，那么角α的终边与角β的终边___________

【答案】重合或关于轴对称

【解析】

【分析】根据三角函数的定义求解．

【详解】设是终边上一点（不与原点重合），则（是坐标原点），

当与终边相同时，取同一点，

当与终边关于轴对称时，取终上点，计算可得

因此由知，角α的终边与角β的终边重合或关于轴对称．

故答案为：重合或关于轴对称．

3. 若，，那么在方向上的投影为___________

【答案】

【解析】

【分析】根据投影的定义求解．

【详解】由已知，，，

所以在方向上的投影为.

故答案为：．

4. 已知集合，，若，则实数___________

【答案】0或2

【解析】

【分析】根据并集的结论得出集合的包含关系,从而得出的值.

【详解】∵，∴，

显然，若，则，满足题意；

若，则或，不合题意，代入可知满足题意，

综上，或2.

故答案为：0或2.

5. 已知复数，，且为纯虚数，则实数___________

【答案】##

【解析】

【分析】利用共轭复数的定义先得到，化简，然后利用纯虚数的定义即可求解

【详解】由可得，

∵，

∴，

∵为纯虚数，

∴，即.

故答案为：

6. 已知的展开式中第5项的系数与第3项的系数之比为56：3，则___________

【答案】10

【解析】

【分析】由二项展开式通项公式得系数比，从而求得．

【详解】，

由已知第5项的系数与第3项的系数之比为，解得（负值舍去）．

故答案为：10.

7. 甲、乙、丙投篮一次命中的概率分别为、、，现三人各投篮一次，则至少有一人命中的概率为___________

【答案】##

【解析】

【分析】记三人各投篮一次至少有一人命中为事件A，分析可先求，即可求得结果.

【详解】由题可记三人各投篮一次至少有一人命中为事件A，

则，所以.

故答案为：

8. 已知随机变量，且，则___________

【答案】

【解析】

【分析】利用正态分布的对称性即可计算求解.

【详解】因为随机变量服从正态分布，且，

所以，

故答案为：.

9. 已知双曲线的两个焦点分别为、，该双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个公共点为P，，则的大小为___________（结果用反三角函数表示）

【答案】

【解析】

【分析】由题可得双曲线的焦点坐标，利用抛物线的性质可得点的坐标，再由两点间距离公式可以求得点到另一个焦点的距离，在利用余弦定理即得.

【详解】由题意知：抛物线的焦点是，

故双曲线的焦点坐标为和，

又两曲线的一个公共点为，且，

由抛物线的性质可得点的横坐标为，代入抛物线方程可得点的纵坐标为，

不妨设点，由两点间距离公式可得，

在中，由余弦定理可得：

，

所以的大小为，

故答案为：.

10. 已知，若区间是函数的一个单调减区间，最大值为___________

【答案】

【解析】

【分析】根据函数的解析式去绝对值，作出函数图象，结合图象即可求解.

【详解】因为，

当时，函数，函数在上单调递增，在上单调递减；

当时，函数，函数在上单调递减；

当时，函数，函数不单调；

当时，函数，函数在上单调递增；

作出函数的图象，如下图所示：

结合图象可知：函数在和上单调递减，

若区间是函数的一个单调减区间，则最大值为，

故答案为：.

11. 设、、为空间中三条不同的直线，若与所成角为α，与所成角为β，其中，那么与所成角的取值范围为___________

【答案】

【解析】

【分析】不妨设、、相交于点，根据题意构造两个圆锥，结合轴截面可得与所成角的最小值与最大值，可得答案.

【详解】不妨设、、相交于点．如图，根据题意构造两个圆锥，其中底面圆心为，轴所在直线为，小圆锥的母线所在直线为，轴截面；大圆锥的母线所在直线为，轴截面，且在一条直线上．

由题意，又，可知,

由图可知，当移动到，移动到时，可得与所成角的最小，最小值为；

当移动到，移动到时，可得与所成角的最大，最大值为，

所以，与所成角的取值范围为.

故答案为：.

12. 一个凸36面体中有24个面是三角形，12个面是四边形，则该多面体的对角线的条数是___________（连结不在凸多面体的同一个面内的两个凸面体的顶点的线段叫做凸多面体的对角线）

【答案】241

【解析】

【分析】26个顶点中任意两点的连线去除在凸36面体面上的线即得对角线．

【详解】该多面体的棱数为，顶点数为，

26个顶点中任意两点的连线去除在凸36面体面上的线即为体对角线，

36面体面上的线有：

36面体的棱，共有条，

以及四边形对角线，共有条，

36面体对角线条数为．

故答案为：241.

二、选择题（本大题共4题，满分20分）

13. 对任意给定的实数a、b，有，且等号当且仅当（    ）时成立

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据不等式的性质化简可得等号成立条件.

【详解】由，

所以不等式取等号时，或，

故选：C

14. 下列定理中，被称为幂的基本不等式的是（    ）

A. 如果，且，那么

B. 对任意的实数a和b，总有，且等号当且仅当时成立

C. 对任意的正实数a和b，总有，且等号当且仅当时成立

D. 当，时，

【答案】C

【解析】

【分析】根据不等式的概念判断．

【详解】只有选项C中不等式左边是两个正数的算术平均数，右边是几何平均数，这个不等式称为幂的基本不等式．

故选：C．

15. 已知数列满足，，，是的前n项的和，则等于（    ）

A. 2b B. 2a C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】通过前几项找出规律，可得到数列是周期为的周期数列，进而计算出答案

【详解】

∴数列是周期为的周期数列，

且

，

故选：B

16. 在1、2、3、4、5的所有排列、、、、中，满足条件，，，的排列个数是（    ）

A. 10 B. 12 C. 14 D. 16

【答案】D

【解析】

【分析】结合枚举法得出排列个数.

【详解】由题意，只能在中出现，不能出现在中，

因此若取值4或5，则排列个数为，

若取值为3或5，则4只能出现在5的一侧，即排列有：13254，23154，45231，45132共4个，

综上，所有排列个数为12+4=16.

故选：D．

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

17. （1）判断：对于三个实数a、b、c，“”是“或”的           条件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分也非必要”），并证明．

（2）证明：是无理数．

【答案】（1）充分不必要条件，证明见解析；

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据原命题与逆否命题的关系得出命题真假，据此判断充分条件、必要条件即可；

（2）利用反证法证明是无理数.

【详解】（1）充分不必要条件；

证明如下：

命题：若，则或的逆否命题为：若且，则，

显然正确，故原命题正确，即或；

命题：若或，则的逆否命题为：若，则且，显然命题错误，故原命题错误，即或不能推出，

故“”是“或”的充分不必要条件.

（2）假设是有理数，

，

不是整数，故存在两个互质的正整数，

使得，于是，两边平方，得.

∵是3的倍数，是3的倍数.

又∵是正整数，是3的倍数.

设 (为正整数)，代入上式，得，，同理也是3的倍数，

这与前面的假设互质矛盾.

因此假设是有理数不成立，故是无理数.

18. 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．

（1）若a3=4，求{an}的通项公式；

（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

【分析】（1）首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于和的方程组，求得和的值，利用等差数列的通项公式求得结果；

（2）根据题意有，根据，可知，根据，得到关于的不等式，从而求得结果.

【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，

根据题意有，

解答，所以，

所以等差数列的通项公式为；

（2）由条件，得，即，

因为，所以，并且有，所以有，

由得，整理得，

因为，所以有，即，

解得，

所以的取值范围是：

【点睛】该题考查是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.

19. 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：

（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果四舍五入为整数）；

（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过8天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断，能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为潜伏期与患者年龄有关；

（3）以这1000名患者的潜伏期超过8天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过8天的概率，每名患者的潜伏期是否超过8天相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过8天的人数最有可能（即概率最大）是多少？

附：，其中.

【答案】（1）7天    （2）列联表见解析，不能认为潜伏期与患者年龄有关   

（3）6人

【解析】

【分析】（1）直接代入频率分布直方图估计平均值公式；

（2）完成列联表，计算再与比较大小；

（3）由题知，一名患者潜伏期超过8天的概率为，设20名患者中潜伏期超过8天的人数为，则，再列不等式即可得到答案；

【小问1详解】

平均数

（天）.

【小问2详解】

由题设知：潜伏期天数在的频率为，

潜伏期天数在的频率为，

故200人中潜伏期在上有140人，在上有60人.

列联表如下：

，

故在犯错误概率不超过的前提下，不能认为潜伏期与患者年龄有关.

【小问3详解】

由题知，一名患者潜伏期超过8天的概率为，

设20名患者中潜伏期超过8天的人数为，则，

且，

由题意得，

即

化简得解得

，

即潜伏期超过8天的人数最有可能是6.

20. 已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．

(1) 求抛物线的方程；

(2) 当点为直线上的定点时，求直线的方程；

(3) 当点在直线上移动时，求的最小值．

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)

【解析】

【详解】试题分析：（1）设拋物线的方程为，利用点到直线的距离,求出,得到抛物线方程；（2）对抛物线方程求导,求出切线的斜率,用点斜式写出切线方程,化成一般式,找出共同点,得到直线的方程；（3）由拋物线定义可知，联立直线与抛物线方程,消去,得到一个关于的一元二次方程,由韦达定理求得的值,还有,将表示成的二次函数的形式,再求出最值.

试题解析: 解：（1）依题意，设拋物线的方程为，由结合，

解得，所以拋物线的方程为.

（2）拋物线的方程为，即，求导得，

设(其中)则切线的斜率分别为，

所以切线的方程为，即，即，

同理可得切线的方程为，

因为切线均过点，所以 ，，

所以为方程的两组解，

所以直线的方程为.

（3）由拋物线定义可知，

联立方程，消去整理得.

由一元二次方程根与系数的关系可得，

所以

又点在直线上，所以，

所以，

所以当时，取得最小值,且取得最小值为.

考点：1.点到直线距离公式；2.抛物线方程；3.利用导数求抛物线上某点切线的斜率；4.二次函数求最值.

【方法点晴】本题利用抛物线为载体,考查了求抛物线方程,利用导数求抛物线上某点切线的斜率等知识点,属于中档题.第一问很容易,第二问中,利用导数求抛物线上一点的切线斜率,比用联立方程,判别式等于的方法要好,步骤少,花的时间也少.从切线的方程,得出直线的方程;第三问先用抛物线定义把的值表示出来,联立直线与抛物线方程,得到的值, 将表示成的二次函数的形式,再求出最值.

21. 已知．

（1）若关于x的方程有解，求实数a的最小值；

（2）证明不等式；

（3）类比（2）中不等式的证明方法，尝试证明：（，e为自然对数的底数）

【答案】（1）0；    （2）证明见解析；   

（3）证明见解析．

【解析】

【分析】（1）由导数求出的值域即得；

（2）由（1）得，分别取得个不等式相加即可证；

（3）在中令，所得不等式相加可证明右边不等式成立，构造新函数，利用导数证明时，，然后同样令，所得不等式利用不等式的性质放缩后相加可证明左边成立．

【小问1详解】

定义域是，

由已知，

时，，时，，

∴在上单调递减，在上单调递增，，时，，

∴的值域是，即的范围是，

∴的最小值是0；

【小问2详解】

由（1）知时，，即，

分别取得：

，，…，，

这个不等式相加得；

【小问3详解】

同样在不等式中，分别令，得

，，…，,

相加得，

所以，

设，则，

时，，单调递增，所以，即时，，

分别令，得

，，…，，

相加得，

∴，

综上，．

【点睛】方法点睛：本题考查用导数证明不等式，证明数列不等式的方程是利用导数所证明的函数不等式中让自变量取适当的值得出相应不等式，由不等式性质变形得出结论．难点是构造函数，本题（3）中构造函数就是如此难点所在．