第03讲 极值点偏移：平方型（学生及教师版）

第03讲 极值点偏移:平方型

参考答案与试题解析

一．解答题（共9小题）

1．（2021•广州一模）已知函数．

（1）证明：曲线在点，（1）处的切线恒过定点；

（2）若有两个零点，，且，证明：．

【解答】证明：（1），

（1），又（1），

曲线在点，（1）处的切线方程为，

即，当时，，

故直线过定点，；

（2），是的两个零点，且，

，可得，

，

令，，

构造函数，，

令，则，则在上单调递增，

而（2），，则在上单调递增，

（2），可得，则，

即，则．

2．（2021•浙江开学）已知，（其中为自然对数的底数）．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若，函数有两个零点，，求证：．

【解答】解：，

，时，，

，

时，增区间为：，减区间为：；

时，，

时，增区间为：；

时，，

，

时，增区间为：，减区间为：；

综上：时，增区间为：，减区间为：；

时，增区间为：；

时，增区间为：，减区间为：；

（Ⅱ）证法一：由（1）知，时，增区间为：，减区间为：；

且时，，，

函数的大致图像如下图所示：

因为时，函数有两个零点，，所以，即，

不妨设，则，

先证：，即证：，

因为，所以，又在单调递增，所以即证：

又，所以即证：，，

令函数，，

则，

因为，所以，，故，

函数在单调递增，所以，

因为，所以，，即，

所以．

（Ⅱ）证法二：因为时，函数有两个零点，，

则两个零点必为正实数，，

问题等价于有两个正实数解；

令

则，在单调递增，在单调递减，且，

令，，

则，

所以在单调递增，，

又，故，，

又，所以，

又，所以，，

又在单调递增，所以，

所以．

3．（2021秋•泉州月考）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若是自然对数的底数），且，，，证明：．

【解答】解：（1）函数，则，

令，解得，

若，当时，，则单调递增；

当时，，则单调递减，

所以在上单调递增，在上单调递减；

若，当时，，则单调递减；

当时，，则单调递增，

所以在上单调递减，在上单调递增．

综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增．

（2）证明：因为，两边取对数，可得，

即，所以，

此时当时，存在且，，，满足；

由（1）可知，当时，在上单调递增，在上单调递减，

不妨设，所以，，

①若，，则成立；

②若，则，

记，，

则，

所以在上单调递增，

则（1），即，

所以，

因为，所以，

又，在上单调递减，

所以，即，

又，，

以上两式左右分别相加，可得，

即，

综合①②可得，．

4．（2021•开封三模）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若，对于任意，证明：．

【解答】解：（1）的定义域为，，

当时，，此时在上单调递增，

，此时在上单调递减，

当时，，此时在上单调递增，

，此时在上单调递减；

综上可知：当时，的增区间是，减区间是；

当时，的增区间是，减区间是．

（2）证明：由，，，

由于，所以．设，

故：

，

令，则，

由于，故，

则在上单调递增，

故（1），

即：所证不等式成立．

5．（2021•浙江模拟）函数．

（1）若，求函数在处的切线；

（2）若函数有两个零点，，且，

（ⅰ）求实数的取值范围；

（ⅱ）证明：．

【解答】解：（1）设，

，（1），且（1），

切线方程：．

（2）函数，，

若，则单调，至多一个零点；

若，则，在上是增函数，上是减函数，

，．

证明：函数有两个零点，，且，

由极值点可得，

，

只需证，即证，即证，

即证，即证成立．

6．（2021春•渝中区校级期中）已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）设，，函数的唯一极小值点为，点，和，是曲线上不同两点，且，求证：．

【解答】（1）的定义域为，，

当时，，所以在上单调递增；

当时，由，得，

当时，；当时，．

所以在上单调递减，在上单调递增．

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增．

（2）由题意得，不妨设，

由，得，

即，且，所以，

要证，即证，

显然在上是增函数，故只需证，即证，

即证，即证，

又由于，故只需证，即证，

令，则，所以即证．

令，则，所以在上为减函数，

从而（1），即有，从而成立．

7．（2021•成都模拟）已知函数，其中，，．

（Ⅰ）当时，求函数的值域；

（Ⅱ）若函数在，上恰有两个极小值点，，求的取值范围；并判断是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（Ⅰ）当时，，则，设，则在上恒成立，

在上单调递增，

又，

当时，，当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

，

函数的值域为；

（Ⅱ），

在上为偶函数，

函数在上恰有两个极小值点等价于函数在上恰有一个极小值点，

设，则，

①当时，，则在上单调递减，

，则，

在上单调递减，无极小值；

②当时，，则在上单调递增，

，则，

在上单调递增，无极小值；

③当时，存在，使得，且当时，，当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

，

，又，

当，即时，，

，此时在上单调递减，无极小值；

当，即时，，则存在，使得，

且当时，，当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

函数在上恰有一个极小值点，此时是函数的极大值点，

当函数在上恰有两个极小值点时的取值范围为；

，

若，则，

由知，，

，

整理可得，

又，

，

存在，使得成立．

8．（2021•潮州二模）已知函数，．

（1）讨论函数的极值点；

（2）若，是方程的两个不同的正实根，证明：．

【解答】解：（1），

，

令，△，

当时，△，，无极值点，

当时，令，解得：，

当，，时，，递增，

，时，，递减，

故极大值点是，极小值点是；

综上：时，无极值点，

时，极大值点是，极小值点是；

（2）由，即，

令，

，令，得，

当时，，当时，，

在递减，在，上递增，

又有2个零点，

，即，解得：，

且，两式相减得：，

设，，

，要证明，

即证明，，

，

即证明，

令，

，

在上单调递减，

（1），

即．

9．（2021•攀枝花模拟）已知函数有最小值，且．

（Ⅰ）求的最大值；

（Ⅱ）当取得最大值时，设（b），有两个零点为，，证明：．

【解答】解：（Ⅰ）有题意，

当时，，在上单增，此时显然不成立，

当时，令，得，

此时在上单减，在上单增，

（b），即，所以，．

所以的最大值为1．

（Ⅱ）证明：当取得最大值时，，，

的两个零点为，，则，即，，

不等式恒成立等价于，

两式相减得，

带入上式得，

令，则，，

所以函数在上单调递增，（1），得证．