第04讲 极值点偏移：乘积型（学生及教师版）

第04讲 极值点偏移:乘积型

参考答案与试题解析

一．解答题（共17小题）

1．（2021春•汕头校级月考）已知，函数，其中．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个零点，

求的取值范围；

设的两个零点分别为，，证明：．

【解答】解：（1）函数的定义域为，

，

①当时，，在单调递增；

②当时，由得，

则当时，，在单调递增；

当时，，在单调递减．

（2）法1：函数有两个零点即方程在有两个不同根，

转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点，如图：

可见，若令过原点且切于函数图象的直线斜率为，

只须，

设切点，，所以，

又，所以，解得，

于是，所以，

法2：由（1）当时，在单调递增，不可能有两个零点，

，

此时，

需解得，

从而，

又故在有一个零点；，

设，，则

故在单调递减在有一个零点故的取值范围为．

原不等式，

不妨设，

，，

，，

，，

，

令，则，于是，设函数，

求导得：，

故函数是上的增函数，

（1），即不等式成立，故所证不等式成立．

2．（2021•攀枝花模拟）已知函数有最小值，且．

（Ⅰ）求的最大值；

（Ⅱ）当取得最大值时，设（b），有两个零点为，，证明：．

【解答】解：（Ⅰ）有题意，

当时，，在上单增，此时显然不成立，

当时，令，得，

此时在上单减，在上单增，

（b），即，所以，．

所以的最大值为1．

（Ⅱ）证明：当取得最大值时，，，

的两个零点为，，则，即，，

不等式恒成立等价于，

两式相减得，

带入上式得，

令，则，，

所以函数在上单调递增，（1），得证．

3．（2021•张家口二模）已知函数是自然对数的底数）有两个零点．

（1）求实数的取值范围；

（2）若的两个零点分别为，，证明：．

【解答】解：（1）由题意可得，有2个零点，

令，则在时恒成立，

故在上单调递增，

所以有2个零点可转化为有2个零点，

因为，

时，，单调递增，不可能有2个零点，

当时，由可得，单调递增；可得，单调递减，（a），

若，则（a），此时恒成立，没有零点，

若，则（a），有一个零点，

若，则（a），

因为（1），，

所以在，上各有1个零点，符合题意，

综上，的范围；

（2）证明：要证，只要证，

即证，

由（1）可知，，，

所以，，

所以，

只要证，

设，令，，

所以只要证即证，

令，，

则，

（1），

即当时，，

所以即，

故．

4．（2021•武进区校级月考）已知函数．

（1）若函数在处的切线与轴平行，求的值；

（2）若存在，，使不等式对于，恒成立，求的取值范围；

（3）若方程有两个不等的实数根、，试证明．

【解答】（1）解：，函数在处的切线与轴平行，

（1），解得．

（2）解：，，不等式化为：，

存在，，使不等式对于，恒成立，

，化为：．

，

令，，

函数在，上单调递增，

（1）．

，因此函数在，上单调递增．

（e）．

的取值范围是．

（3）证明：方程，即，．

令，．

可得：函数在时单调递增，在时单调递减．

时，函数取得极大值即最大值．

．

方程有两个不等的实数根、．

，要证明：．只要证明：即可．

不妨设，则，由于函数在时单调递增，

因此只要证明：即可得出，

设函数，

．

可得在上，且．

，，即，

即．

，

．

5．（2021•和平区校级模拟）已知函数的导函数为．

（Ⅰ）判断的单调性；

（Ⅱ）若关于的方程有两个实数根，，求证：．

【解答】解：（Ⅰ），

令，由，

可得在上单调递减，上单调递增，

（1），

在上单调递增   （4分）

（Ⅱ）依题意，，相减得，

令，则有，，

欲证成立，

只需证成立，

即证成立，

即证成立，

令，只需证成立，

令，

即证时，成立，

令，

则，

可得在内递减，在内递增，

，

，

在上单调递增，

（1）成立，故原不等式成立．

6．（2021春•邵东市校级期中）已知函数，．

（1）求函数的极值；

（2）若存在，，且当时，，当时，求证：．

【解答】解：（1）由，，

当，，在上为增函数，无极值，

当，，；，，在上为减函数，在上为增函数，

，有极小值，无极大值，

综上知：当，无极值，

当，有极小值，无极大值．

（2）证明：，，，，，

所以，当，在上为增函数，

所以当时，恒有，即成立；

当，在上为增函数，

当，在上为增函数，

这时，在上为增函数，

所以不可能存在，，

满足当时，，

所以有．

设，得：，①，

，②，

由①②式可得：，

即，

又，，③，

要证④，所以由③式知，

只需证明：，即证，

设，只需证，

即证：，令，

由，在上为增函数，（1），成立，

所以由③知，成立．

7．（2021•海安县校级模拟）设函数．

（1）当时，求函数在点，处的切线方程；

（2）若函数的图象与轴交于，，，两点，且，求的取值范围；

（3）证明：为函数的导函数）．

【解答】解：（1）的导数为，

可得在处的切线斜率为0，切点为，

可得切线方程为；

（2）的导数为，

当时，恒成立，在上递增，与题意不符；

当时，由，可得，

当时，，递增；当时，，递减，

可得处取得极小值，

函数的图象与轴交于，，，两点，且，

可得，即，存在，（1），

存在，，

又在，的单调性和的图象在上不间断，

可得为所求取值范围；

（3）证明：，，

两式相减可得，

设，则，

设，，可得在递减，

即有，而，可得，

由为递增函数，，

可得，

即原不等式成立．

8．（2021•鄱阳县校级月考）设函数其图象与轴交于，，，两点，且．

（1）求的单调区间和极值点；

（2）证明：是的导函数）；

（3）证明：．

【解答】解：（1）设函数其图象与轴交于，，，两点，所以函数不单调，

有实数解，所以，解得，因为，，单调递减，

时，，单调递增，且是极小值点；

，由题意得，，所以，

所以函数的单调递增区间，单调递减区间，

极小值点是，无极大值点，且．

（2）证明：，

两式相减可得，，令，

则，

，

令，

则，

所以单调递减，，

而，

，

又，

；

（3）证明：由，可得，

，

令，，则，

，

设，则，，

，

，，

，

要证明：，等价于证明：，即证，

即证，

即证，

即证，

令，，

，

在上单调递减，

，

故，

，

，

从而有：．

9．（2021•泉州二模）已知函数，．

（1）当时，求函数的最小值；

（2）若存在两个零点，，求的取值范围，并证明．

【解答】解：（1）当时，，则，

令，则，

在单调递增，

又，故存在唯一，使得，即，，

且当时，，，当，时，，，

在单调递减，在，单调递增，

；

（2），

①当时，，在上单调递增，至多有一个零点，不合题意；

②当时，当时，，单调递减，当时，，在上单调递增，

则，解得，注意此时，

当时，，此时，则在和分别存在一个零点；

当时，，

设（a），，则（a），（a），

（a）在单调递增，则（a），

（a）在单调递减，则（a），即，

此时，则在和分别存在一个零点；

综上，若有两个零点，则的取值范围为；

下证明，

不妨设，由得，，

两式相减得，，

两式相加得，，

要证，只需证，即证，

令，则，

在，单调递增，则（1），

又，故等号不成立，即得证．

10．（2021•未央区校级月考）已知函数，在其定义域内有两个不同的极值点．

（1）求的取值范围；

（2）记两个极值点为，，且，当时，求证：不等式恒成立．

【解答】解：（1）由题意知，函数的定义域为，

方程在有两个不同根；

即方程在有两个不同根；

转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点，

如右图．

可见，若令过原点且切于函数图象的直线斜率为，只须．

令切点，，

故，又，

故，

解得，，

故，

故的取值范围为；

（2）证明：欲证 两边取对数等价于要证：，

由（1）可知，分别是方程的两个根，

即，

所以原式等价于，因为，，

所以原式等价于要证明．

又由，作差得，，即．

所以原式等价于，令，，

则不等式在上恒成立．

令，

又，

当时，可见时，，

所以在上单调增，

又（1），

所以在恒成立，所以原不等式成立．

11．（2021•浙江模拟）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点．

（1）求的取值范围；

（2）记两个极值点分别为，，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范围．

【解答】解：（1）由题意知，函数的定义域为，

方程在有两个不同根；

即方程在有两个不同根；

转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点，

如图．

可见，若令过原点且切于函数图象的直线斜率为，只须．

令切点，，

故，又，

故，解得，，

故，

故；

（2）等价于．

由（1）可知，分别是方程的两个根，

即，

原式等价于，，，

原式等价于．

又由，作差得，，即．

原式等价于．

，原式恒成立，即恒成立．

令，，

则不等式在上恒成立．

令，

又，

当时，可见时，，

在上单调增，又（1），在恒成立，符合题意．

当时，可见时，，，时，

在时单调增，在，时单调减，又（1），

在上不能恒小于0，不符合题意，舍去．

综上所述，若不等式恒成立，只须，又，．

12．（2021•柳州月考）已知函数．

（1）若函数在点，（1）处切线的斜率等于1，求的值；

（2）讨论函数的单调性；

（3）若函数有两个极值点分别为，，证明：．

【解答】解：（1）函数，．

，

函数在点，（1）处切线的斜率等于1，

（1），

解得．

（2），

令，

，或△，

解得，

时，，函数在上单调递增．

时，△，

方程有两个不等实数根，．设．

可得：函数在，，上单调递增；在，上单调递减．

综上可得：时，函数在上单调递增．

时，方程有两个不等实数根，．设．可得：函数在，，上单调递增；在，上单调递减．

（3）由（2）可得：时，方程有两个不等实数根，．即函数有两个极值点，．

，．

证明：．

即证明．

由函数（a）在，上单调递增，

，

因此结论成立，即．

13．（2021•南昌月考）已知函数有两个极值点，．

（1）求实数的取值范围；

（2）证明：．

【解答】解：（1），

令，，则，

故在递增，在递减，

故（2），故，

又，，

故实数的取值范围是；

（2）证明：先证明，不妨设，

即证，

再令，即证，

令，，

故为减函数，故（1），

即，故得证，

由，两式相减得，

故．

14．（2021春•龙凤区校级期末）已知函数．若在上有两个极值点、．

（1）求实数的取值范围；

（2）求证：．

【解答】解：（1），

要使得在上有两个极值点，，

则在上有两个不同的零点，

①时，由（1）知，，

令，

所以在上，，为减函数，

在上，，为增函数，

所以（1），故，

所以在上没有两个零点，舍，

②当时，因为，，，，

则在上单调递减，

所以最多只有一个零点，不合题意，舍去，

③当时，，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以，

要使，

解得，

综上所述，的取值范围为．

（2）证明：由（1）知，，，

先证不等式，其中，

即证，

即，

令，即证，

构造函数，

则，

所以，函数在区间上单调递减，

故（1），

由已知可得，

所以，

所以，

则，

所以，

所以．

15．（2021春•瑶海区月考）已知函数，．

（1）若，为的导函数），求函数在区间，上的最大值；

（2）若函数有两个极值点，，求证：．

【解答】解：（1）函数的定义域为，，，

①当时，显然在上恒成立，所以在上单调递增，

所以在区间，上的最大值为（e）；

②当时，令，解得，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以在区间，上的最大值为；

③当时，显然在上恒成立，所以在上单调递减，

所以在区间，上的最大值为（1）．

综上所述，当时，最大值为1；当时，最大值为；当时，最大值为．

（2）证明：，有题意可知 至少有两个零点，所以．

由，，可得，．

所以，

不妨设，令，则，下面证明．

令，则，

所以在单调递增，（1），即．

于是，，即．

16．（2021•龙岩模拟）已知函数．

（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；

（2）若函数有两个极值点，，求证：．

【解答】解：（1）当时，，则，

所以（1），又（1），

所以切线方程为，即．

（2）证明：由题意得，则，

因为函数有两个极值点，，

所以有两个不相等的实数根，，

令，则，

①当时，恒成立，则函数为上的增函数，

故在上至多有一个零点，不符合题意；

②当时，令，得，

当，时，，故函数在，上单调递减；

当，时，，故函数在，上单调递增，

因为函数有两个不相等的实数根，，

所以，得，

不妨设，则，，

又，所以，，

令，

则，

所以函数在上单调递增，

由，可得，即，

又，是函数的两个零点，即，

所以，

因为，所以，

又，函数在，上单调递减，

所以，即，

又，所以，因此．

17．（2021•松山区校级三模）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点．

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）设两个极值点分别为，，证明：．

【解答】解：（Ⅰ）由题意得的定义域是，

，

则，令，得，

问题转化为方程在上有2个异根，

令，问题转化为函数有2个不同的零点，

而，

，当时，，当时，，

故在单调递增，在，单调递减，

故，

又当时，，当时，，

于是只需，即，故，

即的取值范围是；

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，分别是方程的两个根，

即，，

设，作差得，即，

原不等式等价于，

，

令，则，，

设，则，

函数在上单调递增，

（1），即不等式成立，

故所证不等式成立．