人教版五年级下册长方体和正方体的表面积同步练习题

2022-2023学年五年级数学下册典型例题系列之

第三单元：复杂的表面积增减变化问题

专项练习（解析版）

一、填空题。

1．把4个大小相同的小正方体拼成一个长方体（如图所示），表面积减少了200cm2，这个长方体的表面积是(        )cm2。

【答案】400

【分析】通过观察可知，表面积减少了200cm2，减少的是小正方体的8个面的面积，据此可以用总减少的面积除以8得出正方体一个面的面积，拼成的长方体的表面积等于小正方体的16个面的面积，再用求出的一个面的面积乘16即可。

【详解】200÷8×16

＝25×16

＝400（cm2）

综上所述：把4个大小相同的小正方体拼成一个长方体（如图所示），表面积减少了200cm2，这个长方体的表面积是400cm2。

【点睛】本题考查的目的是理解掌握正方体拼成长方体的方法以及应用，同时需要掌握正方体、长方体表面积的意义和应用。

2．把一根长5m的长方体木料锯成3段，表面积增加了160cm2，这根木料的体积是(      )dm3。

【答案】20

【分析】把这个长方体平均锯成3段，需要锯2次，每锯一次就会多出2个长方体的横截面，由此可得锯成3段后表面积是增加了4个横截面的面积，由此可以求出横截面的面积是160÷4＝40cm2，再利用长方体的体积公式即可解答。

【详解】5m＝500cm

160÷4×500

＝40×500

＝20000（cm3）

20000cm3＝20dm3

这根木料的体积是20dm3。

【点睛】利用长方体的切割方法得到切割后增加的表面积情况，是解决此类问题的关键。

3．将一根长方体木条平均截成3段，每段长8分米，表面积增加了72平方分米。这根木条原来的体积是(        )立方分米。

【答案】432

【分析】根据题意可知，把这根长方体木条横截成3段后，表面积比原来增加4个截面的面积据此可以求出长方体的底面积，再根据长方体的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。

【详解】72÷4×（8×3）

＝18×24

＝432（立方分米）

所以：这根木条原来的体积是432立方分米。

【点睛】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。

4．一个长方体木块的长是12厘米，宽是8厘米，高是10厘米，如果它的高增加了5厘米，它的表面积增加(          )平方厘米，它的体积增加(          )立方厘米。

【答案】     200     480

【分析】由题可知：增加的表面积相当于长是12厘米，宽是8厘米，高是5厘米的长方体四个侧面的面积，增加的体积相当于长是12厘米，宽是8厘米，高是5厘米的长方体的体积；根据长方体的侧面积＝（长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，据此代入数据解答即可。

【详解】增加的表面积：

（12×5＋8×5）×2

＝（60＋40）×2

＝100×2

＝200（平方厘米）

增加的体积：

12×8×5

＝96×5

＝480（立方厘米）

【点睛】本题主要考查立体图形的切拼问题。明确增加部分的面积及体积指的是哪一部分，同时掌握长方体的表面积和体积公式，并灵活运用是解题的关键。

5．一块长方体木料，截去一个高8cm的长方体后，表面积比原来减少，剩下的部分是一个正方体。原来这块长方体木料的体积是(        )。

【答案】504

【分析】截去一个高8cm的长方体后，表面积减少的是长方体4个侧面的面积，用192除以4即可计算出1个面的面积为48cm2，根据长方形的面积公式，48除以8即可计算出长方形的宽为6cm，即正方体的棱长。所以原来长方体的长和宽都为6cm，高为（6＋8）cm，利用长方体的体积公式即可得解。

【详解】192÷4÷8

＝48÷8

＝6（cm）

6×6×（6＋8）

＝36×14

＝504（cm3）

【点睛】此题的解题关键是掌握立体图形切拼后表面积的变化情况，灵活运用长方体的体积公式求解。

6．把长方体的高增加2cm就成正方体，且表面积会增加80cm2，原来长方体的体积是(      )dm3。

【答案】0.8

【分析】根据题意，长方体的高增加2cm就成正方体，说明长方体的长、宽相等；增加的表面积是4个侧面的面积之和，每个面都是长方形，长是原来长方体的长，宽是2厘米；先用增加的表面积除以4，求出一个侧面的面积，再除以2，即可求出正方体的棱长，即原来长方体的长、宽，再用正方体的棱长减去2cm得到原来长方体的高；最后根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算求出原来长方体的体积。注意单位的换算：1dm3＝1000cm3。

【详解】80÷4÷2

＝20÷2

＝10（cm）

10－2＝8（cm）

10×10×8

＝100×8

＝800（cm3）

800cm3＝0.8dm3

【点睛】明确长方体的高增加，表面积增加的是哪些面的面积，以此为突破口，求出原来长方体的长、宽、高是解题的关键。

7．一个长5分米，高10分米的长方体木块，削去2分米高后，表面积减少了36平方分米，这个长方体木块原来的体积是(        )立方分米。

【答案】200

【分析】根据题意可知，把长方体的高削去2分米，表面积减少的是高为2分米的4个侧面的面积，即2个长×高与2个宽×高；先用减少的表面积除以2，得到1个长×高与1个宽×高的面积之和；然后除以高2分米，得到1个长与宽的和，再减去长，就是宽；最后根据长方体的体积公式：V＝abh，代入数据计算即可。

【详解】36÷2＝18（平方分米）

18÷2－5

＝9－5

＝4（分米）

5×4×10

＝20×10

＝200（立方分米）

【点睛】掌握长方体切割的特点，明确减少的表面积是哪些面的面积。

8．如图所示，将一个长方体分割成两个小长方体，如果按下面三种不同的方式分割，表面积分别增加了14平方厘米、32平方厘米、22平方厘米，原来这个长方体的表面积是(      )平方厘米。

【答案】68

【分析】通过观察图形可知，用三种不同的方式把这个长方体分割成两个小长方体，每切割一次就增加两个切面的面积；从左往右，图一是平行于左右面切，增加2个宽×高的面积；图二是平行于前后面切，增加2个长×高的面积；图三是平行于上下面切，增加2个长×宽的面积；根据长方体的表面积＝长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2，三种方式切割增加的表面积之和就是原来长方体的表面积。

【详解】14＋32＋22

＝46＋22

＝68（平方厘米）

【点睛】明确立体图形切割时，增加的表面积是哪些面的面积。

9．用8个棱长1cm的小正方体可以拼成一个大正方体，大正方体的表面积是(      )cm2；也可以拼成一个长方体，长方体的表面积可能是(      )cm2。

【答案】     24     28或34

【分析】用8个棱长1cm的小正方体可以拼成一个大正方体，大正方体的棱长为2厘米，用正方体的表面积公式求出大大正方体的表面积即可；拼成一个长方体，长方体的长宽高可能是4厘米、2厘米、1厘米，也可能是8厘米、1厘米、1厘米，再改根据长方体的表面积公式求解即可。

【详解】正方体表面积：

2×2×6

＝4×6

＝24（平方厘米）

长方体表面积：

（4×2＋4×1＋2×1）×2

＝14×2

＝28（平方厘米）

（8×1＋8×1＋1×1）×2

＝17×2

＝34（平方厘米）

【点睛】本题考查长方体、正方体的表面积，解答本题的关键是掌握长方体、正方体的表面积公式。

二、解答题。

10．把一个长20cm，宽3cm，高6cm的长方体平均截成5段，木块的表面积增加了多少平方厘米？

【答案】80平方厘米或960平方厘米或144平方厘米

【详解】试题分析：可以沿平行于原来长方体的面20cm×3cm，面20cm×6cm，面3cm×6cm进行切割，这样切割后，表面积都比原来增加了8个对应面的面积，由此即可解答问题．

解：沿平行于原来长方体的面20cm×3cm进行切割，表面积增加：

8×20×3=480（平方厘米）；

沿平行于原来长方体的面20cm×6cm进行切割，表面积增加：

8×20×6=960（平方厘米）；

沿平行于原来长方体的面3cm×6cm进行切割，表面积增加：

8×3×6=144（平方厘米）；

答：表面积增加了480平方厘米或960平方厘米或144平方厘米．

点评：考查了长方体的表面积，抓住切割特点，得出增加的切割面是解决此类问题的关键．

11．一个长方体，如果高减少3厘米就变成了一个正方体，表面积就减少了96平方厘米，现在这个正方体的体积与原来长方体的体积相差多少立方厘米？

【答案】192立方厘米

【分析】根据题意，长方体的高减少3厘米变成了一个正方体，说明长方体的长和宽都等于正方体的棱长；正方体比原来长方体减少的表面积是4个长为正方体的棱长，宽为3厘米的长方形的面积；先用减少的表面积除以4，求出一个长方形的面积，再除以3，即可求出正方体的棱长，也是长方体的长和宽；那么正方体与原来长方体相差的体积是一个长、宽等于正方体的棱长，高为3厘米的小长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。

【详解】96÷4＝24（平方厘米）

24÷3＝8（厘米）

8×8×3

＝64×3

＝192（立方厘米）

答：现在这个正方体的体积与原来长方体的体积相差192立方厘米。

【点睛】本题考查立体图形的切拼以及长方体体积公式的应用，明确表面积减少的是哪些面的面积，以此为突破口，求出正方体的棱长是解题的关键。

12．用3个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是160厘米，这个长方体的表面积是多少平方厘米？

【答案】896平方厘米

【分析】通过观察图形可知，拼成的长方体的棱长总和比原来3个正方体的棱长总和减少了正方体的16条棱的长度，据此可以求出正方体的棱长；这个长方体的表面积比3个正方体的表面积之和减少了正方体的4个面的面积，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答。

【详解】160÷（12×3﹣16）

＝160÷（36﹣16）

＝160÷20

＝8（厘米）

8×8×6×3﹣8×8×4

＝64×6×3﹣64×4

＝384×3﹣256

＝1152﹣256

＝896（平方厘米）

答：这个长方体的表面积是896平方厘米。

【点睛】此题主要考查长方体、正方体的棱长总和公式、表面积公式的灵活运用，求出正方体的棱长是解题的关键。

13．两个完全相同的长方体，长是12厘米，宽是7厘米，高是4厘米，现在把它们拼成一个表面积最大的长方体后，则表面积比原来减少了多少平方厘米？。

【答案】56平方厘米

【分析】将两个完全的长方体拼成一个大长方体，要使大长方体面积最大，则拼接的一面为小长方体面积最小的一面，根据题意可得面积最小的一面是宽和高所对应的面。此时，大长方体表面积比原来减少了2个这样的面，据此可得出答案。

【详解】拼接后要使大长方体表面积最大，则拼接面为面积最小的一面。故表面积比原来减少：

7×4×2

＝28×2

＝56（平方厘米）。

答：表面积比原来减少了56平方厘米。

【点睛】本题主要考查的是长方体表面积及拼接，解题的关键是根据题意中得出拼接的面为面积最小的面，进而得出答案。

14．一个长方体，如果高减少5厘米，就成了一个正方体，这时表面积会比原来少120平方厘米，原来长方体的体积是多少？

【答案】396立方厘米

【分析】根据长方体的特征，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等。由题意可知：高减少5厘米，这时表面积比原来减少了120平方厘米。表面积减少的是高为5厘米的长方体的4个侧面的面积。先求出减少部分的1个侧面的面积，120÷4＝30（平方厘米）；根据长方形的面积公式S＝ab，求出原来长方体的底面边长就是6厘米。原来的高是6＋5＝11（厘米），再根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。

【详解】原来长方体的底面边长是：

120÷4÷5

＝30÷5

＝6（厘米）

高是：6＋5＝11（厘米）

原来长方体的体积是：

6×6×11

＝36×11

＝396（立方厘米）

答：原来长方体的体积是396立方厘米。

【点睛】此题解答关键是求出原来长方体的底面边长，进而求出高，再根据长方体的体积公式解答即可。

15．一个长方体如果高缩短3cm就变成一个正方体，这时体积比原来缩小75cm3，原长方体的体积是多少cm3？

【答案】200cm3

【分析】根据长方体的体积公式V＝Sh可知，长方体的底面积S＝V÷h，用减少的体积除以减少的高求出原来长方体的底面积；由“长方体的高缩短3cm就变成一个正方体”可知，长方体的底面是一个正方形，根据正方形的面积公式S＝a2，可推出底面边长，底面边长加上3cm就是原来长方体的高，最后根据长方体的体积公式计算出原来长方体的体积。

【详解】原来长方体的底面积：75÷3＝25（cm2）

因为5×5＝25，所以原来长方体的底面边长是5cm；

长方体的高：5＋3＝8（cm）

原来长方体的体积：25×8＝200（cm3）

答：原来长方体的体积是200 cm3。

【点睛】掌握正方体的特征以及灵活运用长方体的体积公式是解题的关键。

16．一个长方体按以下三种方法分割成了两个长方体，表面积分别增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米，体积是多少立方厘米？

【答案】94平方厘米；60立方厘米

【分析】表面积分别增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米，增加的面积和就是原来长方体的面积；根据长×高×2＝40，长×宽×2＝30，宽×高×2＝24，由此求出长方体的体积。

【详解】40＋30＋24

＝70＋24

＝94（平方厘米）

答：原来长方体的表面积是94平方厘米。

长×高×2＝40，即长×高＝20＝5×4，

长×宽×2＝30，即长×宽＝15＝5×3，

宽×高×2＝24，即宽×高＝12＝4×3，

即长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米。

5×4×3

＝20×3

＝60（立方厘米）

答：体积是60立方厘米。

【点睛】考查了立体图形的切拼，解题的关键是根据分解质因数求出长、宽、高。

17．一个长方体，如果长减少2厘米，就变成一个正方体。这时表面积比原来减少64平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？

【答案】640立方厘米

【分析】根据长减少2厘米，就剩下一个正方体可知，这个正方体比原长方体表面积减少的4个面是相同的，根据已知表面积减少64平方厘米，64÷4÷2＝8厘米，求出减少面的长，也就是剩下的正方体的棱长，然后8＋2＝10厘米求出原长方体的高，再计算原长方体的体积即可。

【详解】64÷4÷2

＝16÷2

＝8（厘米）；

8×8×（8＋2）

＝64×10

＝640（立方厘米）

答：原来长方体的体积是640立方厘米。

【点睛】根据截去后剩下是正方体，可知减少的部分是宽为2厘米的4个面，从而可以分别求出长方体的长、宽、高，进而利用长方体的表面积和体积的计算方法即可求解。

18．一个高为8厘米的长方体木块，如果纵向把它切成两个小长方体，表面积就增加80平方厘米；如果横向把它切成两个小长方体，表面积就增加60平方厘米，这个长方体木块的表面积是多少？

【答案】236平方厘米

【分析】切一次增加两个面，纵向切，增加了两个侧面，用一个侧面积÷高＝宽，横向切增加了两个上下面，用一个上下面÷宽＝长，据此根据长方体表面积公式列式解答即可。

【详解】80÷2÷8＝5（厘米）

60÷2÷5＝6（厘米）

（6×5＋6×8＋5×8）×2

＝（30＋48＋40）×2

＝118×2

＝236（平方厘米）

答：这个长方体木块的表面积是236平方厘米。

【点睛】本题考查了长方体表面积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。

19．一个长方体的高增加3分米后，就变成了一个正方体。这个正方体的表面积比原来长方体的表面积增加了60平方分米，原来长方体的表面积是多少平方分米？

【答案】90平方分米

【分析】根据题意可知，一个长方体如果高增加3分米，就变成了一个正方体，说明长和宽相等且比高大3厘米，因此增加的60平方分米是4个同样的长方形的面积和；由此可以求长方体的长：（60÷4）÷3＝5（厘米），由于长比高多3厘米，那么高：5－3＝2（厘米），由此解答。

【详解】60÷4＝15（平方分米），15÷3＝5（分米），5－3＝2（厘米），

5×5×2＋5×2×4

＝50＋40

＝90（平方分米）

答：原来长方体的表面积是90平方分米。

20．把若干个大小相同的小正方体堆成一个大正方体，然后在大正方体的六个面上涂上红色，已知两面被涂上红色的小正方体有36个，这些小正方体一共有多少个？其中一面涂红色、三面涂红色和六个面都没有涂红色的小正方体各有多少个？

【答案】125个；54个；8个；27个

【分析】因为两面涂色的小正方体位于12条棱的中间，所以每条棱的中间有小正方体：36÷12＝3（个），那么每条棱上有小正方体：3＋2＝5（个），利用大正方体的体积公式V＝a3，即可求出这些小正方体的总个数；

一面涂色的位于正方体每个面的中间部分，先求出一个面中间有多少个小正方体一面涂色，用（5－2）×（5－2）＝9（个），然后乘6即可得到一面涂色的小正方体总个数；

三面都涂色的位于8个顶点处，据此解答；六个面都没有涂红色的，用小正方体的总个数－一面涂色的－两面涂色的－三面涂色的＝六个面都没有涂色的，据此列式解答。

【详解】36÷12＋2＝5

5×5×5＝125（个）；

一面涂红色：（5－2）×（5－2）×6＝3×3×6＝54（个）；

三面涂红色：8个；

六个面都没涂红色：125－8－36－54＝27（个）或（5－2）×（5－2）×（5－2）＝3×3×3＝27（个）。

答：这些小正方体一共有125个，其中一面涂红色的小正方体有54个，三面涂红色的小正方体有8个，六个面都没有涂红色的小正方体有27个。