小学数学人教版五年级下册长方体和正方体的表面积课时练习

2022-2023学年五年级数学下册典型例题系列之

第三单元：表面积增减变化问题专项练习（解析版）

一、填空题。

1．长方体长8分米，宽4分米，高4分米，把它锯成两个正方体，其中一个正方体的表面积是(      )。

【答案】96平方分米

【分析】根据题意，把长8分米，宽4分米，高4分米的长方体锯成两个正方体，沿着长8分米的中点切开即可，可得两个正方体的棱长都是4分米，再根据公式：正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算出结果即可；据此解答。

【详解】根据分析，

4×4×6

＝16×6

＝96（平方分米）

所以，长方体长8分米，宽4分米，高4分米，把它锯成两个正方体，其中一个正方体的表面积是96平方分米。

【点睛】此题考查了立体图形的切割，关键能够准确找出正方体的棱长，再用公式计算。

2．一根长方体木料长2米，宽和高都是2分米，把它锯成3段，表面积至少增加(        )平方分米。

【答案】16

【分析】这根长方体木料长2米，宽和高都是2分米，要求的至少增加的面积，可沿着2×2的截面来锯；长方体木材锯一次则增加两个面的面积，根据题意可知长方体木材锯了两次，增加了四个面的面积。

【详解】

（平方分米）

【点睛】此题考查了长方体的表面积，解答本题的关键是掌握长方体表面积的计算公式。

3．把3个棱长为2m正方体拼成一个长方体后，表面积减少了(        )m2。

【答案】16

【分析】根据正方体的特征可知，正方体的6个面都是完全一样的正方形；把3个正方体拼成一个长方体后，长方体的表面积比3个小正方体的表面积减少了4个正方形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘4即可。

【详解】2×2×4

＝4×4

＝16（m2）

表面积减少了16m2。

【点睛】本题考查立体图形的拼接，明确3个同样的小正方体拼成一个长方体，表面积比原来减少小正方体的4个面的面积。

4．把一长方体木块锯成4段（如图），表面积增加了(        )cm2。

【答案】36

【分析】每锯一次新露出2个侧面，锯成4段就是锯3次也就是新露出6个面。根据长方形的面积公式，求出每个面的面积，再乘6，即可求出表面积增加了多少。据此列式计算。

【详解】2×3×2×（4－1）

＝12×3

＝36（cm2）

即表面积增加了36cm2。

【点睛】此题主要考查立体图形的切拼，关键是弄清锯成4段后表面积的变化情况。

5．一根长方体木料长100厘米，它的横截面面积是5平方厘米，如果把它截成3段，这根木料的表面积增加(        )平方厘米。

【答案】20

【分析】如图所示，把一根长方体木料截成3段，增加4个截面的面积，增加的表面积＝一个截面的面积×增加的截面数量，据此解答。

【详解】

2×（3－1）

＝2×2

＝4（个）

5×4＝20（平方厘米）

所以，这根木料的表面积增加20平方厘米。

【点睛】本题主要考查立体图形的切拼，明确把这根木料截成3段后增加截面的数量是解答题目的关键。

6．用两个长3cm、宽3cm、高1cm的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最大是(        )cm2，最小是(        )cm2。

【答案】     54     42

【分析】每个小长方体的长为3cm、宽为3cm、高为1cm，小长方体有两个相对的面是正方形，其它四个面是形状相同的长方形，要使大长方体的表面积最大，则小长方体面积最小的两个面重合，要使大长方体的表面积最小，则小长方体面积最大的两个面重合，画出图形确定大长方体的长、宽、高，最后根据“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”求出大长方体最大和最小的表面积，据此解答。

【详解】

长：3×2＝6（cm）

宽：3cm

高：1cm

（6×3＋6×1＋3×1）×2

＝（18＋6＋3）×2

＝27×2

＝54（cm2）

长：3cm

宽：3cm

高：1×2＝2（cm）

（3×3＋3×2＋3×2）×2

＝（9＋6＋6）×2

＝21×2

＝42（cm2）

所以，这个大长方体的表面积最大是54cm2，最小是42cm2。

【点睛】本题主要考查立体图形的拼切，确定大长方体的长、宽、高并掌握长方体的表面积计算公式是解答题目的关键。

7．用4个棱长3厘米的小正方体摆成一个长方体，摆成的长方体的表面积是(        )平方厘米或(        )平方厘米。

【答案】     162     144

【分析】根据题意，用4个棱长3厘米的小正方体摆成一个长方体，有两种摆法：一是把这4个小正方体摆成一行，这个长方体的长是（3×4）厘米，宽、高都是3厘米；二是把这4个小正方体摆成两层，每层2个，这个长方体长、高都是（3×2）厘米，宽是3厘米；然后根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，求出这两种长方体的表面积。

【详解】摆法一：

长：3×4＝12（厘米）

宽是3厘米，高是3厘米；

（12×3＋12×3＋3×3）×2

＝（36＋36＋9）×2

＝81×2

＝162（平方厘米）

摆法二：

长：3×2＝6（厘米）

宽是3厘米；

高：3×2＝6（厘米）

（6×3＋6×6＋3×6）×3

＝（18＋36＋18）×2

＝72×2

＝144（平方厘米）

摆成的长方体的表面积是162平方厘米或144平方厘米。

【点睛】本题考查长方体表面积公式的运用，弄清有几种摆法，每种摆法的长、宽、高是解题的关键。

8．如图，把一个长方体的木块沿着虚线锯成两段，表面积增加(          )平方厘米。

【答案】16

【分析】通过观察图形可知，长方体的长是8厘米，宽是2厘米，高是4厘米，把这个长方体木块沿着图片的虚线锯成两段，表面积增加两个截面的面积，根据长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入公式解答。

【详解】4×2×2

＝8×2

＝16（平方厘米）

表面积增加16平方厘米。

【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义及应用，长方形的面积公式及应用。

9．有一个底面是正方形的长方体，表面积是70平方分米，正好截成了3个体积相等的正方体，每个正方体的表面积是(        )平方分米。

【答案】30

【分析】如图，原长方体共（4×3＋2）个正方形的面，原长方体表面积÷正方形个数，求出一个正方形面积，正方形面积×6＝正方体表面积，据此列式计算。

【详解】70÷（4×3＋2）

＝70÷（12＋2）

＝70÷14

＝5（平方分米）

5×6＝30（平方分米）

每个正方体的表面积是30平方分米。

【点睛】关键是熟悉长方体特征，掌握并灵活运用长方体和正方体表面积公式。

10．一个长方体，高增加后就变成了一个棱长的正方体（如图），表面积增加了(        )，体积增加了(        )。

【答案】     160     400

【分析】根据题意，如果高增加4cm，就变成了棱长是10cm的正方体，则长方体的长、宽没有变化，都是10cm，表面积增加的只是高是4cm，4个完全相同的侧面的面积，根据长方形的面积公式：S＝ab解答；

同理增加的体积也是高为4厘米的长方体的体积，根据长方体的体积公式：V＝abh，列式解答。

【详解】表面积增加：10×4×4＝160（cm2）

体积增加：10×10×4＝400（cm3）

即表面积增加了160cm2，体积增加了400cm3。

【点睛】此题主要考查长方体的表面积、体积的计算，关键是理解表面积增加的是4个侧面的面积；体积增加的是高为4厘米的长方体的体积。

二、解答题

11．将一根体积为立方分米的长方体木料垂直截开表面积增加了平方分米，那么这根木料原来多长？

【答案】6分米

【分析】长方体木料垂直截开表面积增加了两个截面，先求出截面面积，根据长方体的长＝体积÷截面面积，列式解答即可。

【详解】

（分米）

答：这根木料原来6分米长。

【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体体积公式。

12．一个长方体高13厘米，如下图，把它切成两个小长方体，表面积增加了20平方厘米，求原来长方体的体积。

【答案】130立方厘米

【分析】把长方体切成两个小长方体，增加两个横截面的面积，所以用20除以2求出一个横截面的面积，即长方体的底面积，再根据长方体的体积公式：V＝Sh，代入数据即可求出原来长方体的体积。

【详解】20÷2＝10（平方厘米）

10×13＝130（立方厘米）

答：原来长方体的体积是130立方厘米。

【点睛】解答此题的关键是求出长方体的底面积是多少，熟练掌握长方体体积的计算方法。

13．如图，木块从中间锯成两块后，木块的表面积增加多少平方厘米？

【答案】128平方厘米

【分析】根据题意，把一个长方体木块锯成两块后，表面积增加2个截面的面积，截面是一个边长为8厘米的正方形，根据正方形的面积公式求出其中一个截面的面积，再乘2即可求出木块的表面积增加的面积。

【详解】8×8×2＝128（平方厘米）

答：木块的表面积增加128平方厘米。

【点睛】掌握长方体切割的特点，明确增加的表面积是哪些面的面积，以此为突破口，利用公式列式计算。

14．一根长1.6米的长方体木材，平行于底面把它截成4段，表面积比原来增加了120平方厘米，那么这根木材的体积是多少立方厘米？

【答案】3200立方厘米

【分析】把长方体木材截成4段，需要截4－1＝3次，每截1次表面积就增加2个底面的面积，所以一共增加了3×2＝6个底面的面积，由此利用增加的表面积求出这个长方体木材的底面积，再利用长方体的体积公式即可求出这根木材的体积。

【详解】1.6米＝160厘米

（个）

（立方厘米）

答：这根木材的体积是3200立方厘米。

【点睛】抓住立体图形切割的方法，得出表面积增加的面的情况，是解决此类问题的关键。

15．用3个棱长都是5厘米的正方体木块拼成一个长方体，所拼成的长方体的表面积比原来小正方体的表面积之和减少了多少？

【答案】100平方厘米

【分析】观察题意可知，3个小正方体拼接成一个长方体，表面积减少了4个小正方形面的面积，已知正方体的棱长为5厘米，根据正方形面积公式，用5×5×4即可求出减少的面积。

【详解】（3－1）×2

＝2×2

＝4（个）

5×5×4

＝25×4

＝100（平方厘米）

答：所拼成的长方体的表面积比原来小正方体的表面积之和减少了100平方厘米。

【点睛】本题主要考查了立体图形的切拼，注意仔细计算减少的小正方形面的个数。

16．一个长方体按以下方法分别割成了两个长方体，得到两个长方体的表面积之和比原来长方体的表面积分别增加了16平方厘米，24平方厘米，32平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？

【答案】72平方厘米

【分析】观察图形可知，把这个长方体分别与左右面平行，上下面平行，前后面平行切，每切一次就增加两个切面的面积，把增加的切面的面积相加，就是这个长方体的表面积，据此解答。

【详解】16＋24＋32

＝40＋32

＝72（平方厘米）

答：原来长方体的表面积是72平方厘米。

【点睛】本题考查长方体的切割方法，关键是明确增加了哪两个切面的面积。

17．请你将下面的长方体切成两个小长方体，让表面积增加的最少。（画线表示你的切法）

【答案】沿30cm×20cm的面平行切增加的表面积最少，是1200cm2。

【分析】该长方体长、宽、高分别是40cm、30cm、20cm，根据长方体的特征，其总共有3种不同大小的面，分别是40cm×30cm的面，40cm×20cm的面，30cm×20cm的面，所以如果将该长方体切成两个小长方体，沿着3种不同的面平行切就有3种切法，无论哪种切法，都会多出两个面，如果想让表面积增加的最少，就是沿最小的面平行进行切割，多出来的表面积最少。

【详解】40×30＝1200（cm2）

40×20＝800（cm2）

30×20＝600（cm2）

600＜800＜1200，所以30cm×20cm的面是最小的面。

切法如图：

增加的表面积为：

30×20×2

＝600×2

＝1200（cm2）

答：沿30cm×20cm的面平行切增加的表面积最少，是1200cm2。

【点睛】本题考查的立体图形的切割问题，需要明确长方体每切一刀，增加两个面的面积，要想增加的表面积最少，就沿着最小的面平行切即可。

18．一个长方体，用与底面平行的方式从上部截取一部分后变成了一个正方体，这时表面积减少了336平方厘米，原来的长方体体积是多少？

【答案】3920立方厘米

【分析】长方体的高减少6厘米，后变成正方体，说明长方体的底面是个正方形，减少的表面积就是高为6厘米的长方体的四个侧面的面积和，由于底面是正方形，高都是6厘米，所以这4个侧面相等，一个侧面积等于：336÷4＝84平方厘米；一个侧面积＝底面边长×6，底面的边长等于：84÷6＝14厘米；底面是一个正方形，原来长方体的长和宽都等于14厘米。原来长方体的高等于14＋6＝20厘米，再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；代入数据，即可解答。

【详解】原长方体的长、宽：

336÷4÷6

＝84÷6

＝14（厘米）

高：14＋6＝20（厘米）

体积：14×14×20

＝3920（立方厘米）

答：原来的长方体体积是3920立方厘米。

【点睛】本题考查长方体体积公式的应用，关键是根据题意求出原长方体的长和宽。

19．一个长方体，如果高减少3厘米就变成了一个正方体，表面积就减少了96平方厘米，现在这个正方体的体积与原来长方体的体积相差多少立方厘米？

【答案】192立方厘米

【分析】根据题意，长方体的高减少3厘米变成了一个正方体，说明长方体的长和宽都等于正方体的棱长；正方体比原来长方体减少的表面积是4个长为正方体的棱长，宽为3厘米的长方形的面积；先用减少的表面积除以4，求出一个长方形的面积，再除以3，即可求出正方体的棱长，也是长方体的长和宽；那么正方体与原来长方体相差的体积是一个长、宽等于正方体的棱长，高为3厘米的小长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。

【详解】96÷4＝24（平方厘米）

24÷3＝8（厘米）

8×8×3

＝64×3

＝192（立方厘米）

答：现在这个正方体的体积与原来长方体的体积相差192立方厘米。

【点睛】本题考查立体图形的切拼以及长方体体积公式的应用，明确表面积减少的是哪些面的面积，以此为突破口，求出正方体的棱长是解题的关键。

20．城关小学数学兴趣小组的同学将四个大小相同的正方体粘成一个长方体（如图）后，表面积减少54平方厘米，求长方体的表面积和体积。

【答案】表面积162平方厘米；体积108立方厘米

【分析】结合图片，表面积减少的部分为6个正方形的面积。用54平方厘米除以6，求出1个小正方形的面积，从而推出小正方体的棱长。这个长方体的长是正方体棱长的4倍，宽和高与正方体棱长相等。据此，求出长、宽、高，再将数据代入长方体表面积和体积公式，求出它的表面积和体积即可。

【详解】54÷6＝9（平方厘米）

3×3＝9（平方厘米）

所以，正方体棱长是3厘米，那么有：

长方体长：4×3＝12（厘米）

长方体表面积：12×3×4＋3×3×2

＝144＋18

＝162（平方厘米）

长方体体积：12×3×3＝108（立方厘米）

答：它的表面积是162平方厘米，体积是108立方厘米。

【点睛】本题考查了长方体的表面积和体积。长方体表面积＝长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2，长方体体积＝长×宽×高＝底面积×高。