江苏省常州市2023年数学中考易错题型模拟试题(含答案）

这是一份江苏省常州市2023年数学中考易错题型模拟试题(含答案），共24页。试卷主要包含了如果方程等内容，欢迎下载使用。
常州2022-2023新课结束考试数学易错点
考点一：一元二次方程与二次函数
一元二次方程
思路：定义→一般式→解方程→实际问题
注意：解方程的公式及实际问题
1、下列方程中，一定是一元二次方程的是（       ）
A．2x2-3x+1=0 B．x+1x-1=x2-x
C．5x2-4=0 D．ax2+bx+c=0
2、如果方程（m﹣3）xm2-7﹣x+3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对
3、已知m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则2022﹣m2+m的值为________．
4、设一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1﹣x1x2+x2的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．3
5、已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．
（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形 的底边长3，另两边长 恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长．
6、如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为9cm2时，则点P运动的时间是（　　）

A．3s B．3s或5s C．4s D．5s
7、某水果经销商以10元/千克的价格向当地果农收购某种水果，该水果的市场销售价为20元/千克，根据市场调查，经销商决定降价销售．已知这种水果日销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0≤x＜10）之间满足如图所示的一次函数关系．


(1)求y与x之间的关系式；
(2)若经销商计划该种水果每日获利440元，那么该种水果每千克应降价多少元进行销售？其相应的日销售量为多少？
8、2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？


二次函数问题
思路：解析式→开口→对称轴→最大最小→特殊转化
注意点：图像补充/对称轴判定/交点确定
1．已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象可能正确的是（       ）

A． B． C． D．
与x轴交于点，顶点坐标为，与y轴的交点在和两点之间(包含端点)．下列结论中正确的是（     ）

①不等式的解集为或；
②；
③一元二次方程的两个根分别为，；
④．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
3．2013年5月26日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业．比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线（如图）．若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系，则羽毛球飞出的水平距离为　 　米．

4．如图，已知抛物线经过、两点，与轴相交于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，直接写出点的坐标和周长最小值;
（3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标.

4．（1）；（2），；（3） ， ，
5．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，抛物线y＝a（x﹣2）2＋1（a＞0）的顶点为A，过点A作y轴的平行线交抛物线于点B，连接AO、BO，则△AOB的面积为________．


类型二：圆
思路：定义→性质→性质→证明
注意点：垂径定理/切线/圆周角圆心角/
1．（2020•青白江区模拟）如图，已知是的直径，过点的弦平行于半径，若的度数是，则的度数是　　

A． B． C． D．
2．（2020•滨湖区一模）如图，已知为上一点，若，则的度数为　　

A． B． C． D．
3．（2020•镇江模拟）如图所示，菱形边长为2，，则阴影部分的面积为　　

A． B． C． D．
4．已知的三边长为，，，则三角形内切圆半径为　　
A． B． C． D．

5．（2020•金湖县一模）如图，已知是的直径，平分交于点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点．
（1）试说明是的切线；
（2）若，的半径为4，求的长．

6．（2020•常州模拟）如图，四边形内接于，为的直径，为弧的中点，过点作，交的延长线于点．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若的半径为6，，求的长．






类型三：相似
思路：相似判定→相似性质→格点相似→相似动点
注意点：相似比/位似/存在性问题
1．下列四条线段为成比例线段的是 （ ）
A．a＝10，b＝5，c＝4，d＝7 B．a＝1，b＝，c＝，d＝
C．a＝8，b＝5，c＝4，d＝3 D．a＝9，b＝，c＝3，d＝

2．若，则的值为________；若，则________．
2．
3．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（ ）

A． B． C． D．
4．如图，已知ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，分别取点D，E，F，使OD＝AO，OE＝BO，OF＝CO，得DEF．下列说法中，错误的是（ ）

A．DEF与ABC是位似三角形 B．OAC与ODF是位似三角形
C．DEF与ABC周长的比是1：3 D．图中位似的两个三角形面积比是1：9
5．如图所示，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1，（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（　　）

A． （﹣4，﹣3） B．（﹣3，﹣3） C．（﹣4，﹣4） D．（﹣3，﹣4）

6．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是　 　；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是　 　．

7．如图，一路灯距地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点O）5米的A处，沿OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，则小方行走的路程AC=________．


8．如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止.点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm秒.如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ ABC相似时，运动的时间是(     )

A．3或2.8 B．3或4.8 C．1或4 D．1或6



答案
1.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且最高次项的次数是2次，并且是整式方程，即可判断．
【详解】
解： A．分母中有未知数，它不是整式方程，它不是一元二次方程，故此项不符合题意；
B．选项化简，得x-1=0，不含有2次项，它不是一元二次方程，故此项不符合题意；
C．只含有一个未知数，并且最高次项的次数是2次，并且是整式方程，它是一元二次方程，故此选项符合题意；
D．选项当a=0时，不含有2次项，它不是一元二次方程，故此项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程，对一元二次方程的定义的准确理解是解决本题的关键．
2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用一元二次方程定义可得m2-7=2，且m-3≠0，再解出m的值即可．
【详解】
解：由题意得：m2-7=2，且m-3≠0，
解得：m=-3，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
3
【答案】2020
【解析】
【分析】
把x=m代入方程x2-x-2=0，得m2-m=2，再整体代入，求出所求代数式的值．
【详解】
解：∵m是一元二次方程x2-x-2=0的一个根，
∴把x=m代入方程x2-x-2=0，得m2-m=2，
∴2022-m2+m=2022-(m2-m)=2022-2=2020，
故答案为：2020．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值；能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．解题关键利用整体代入的思想
4．
【分析】先利用根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，再变形得到x1﹣x1x2+x2＝x1+x2﹣x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，
所以x1﹣x1x2+x2＝x1+x2﹣x1x2＝2﹣（﹣1）＝3．
故选：D．
5．
【分析】（1）通过计算Δ＝b2﹣4ac＝（k﹣1）2，由偶次方的非负性可证明结论；
（2）由等腰三角形的性质可得该方程由两个相等的实数根，结合根的判别式可求解k值，再将k值代入方程，得到x2﹣4x+4＝0，解方程求出两腰的长为2，又已知底边是3，则根据三角形的周长公式即可求解．
【解答】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3k+1）]2﹣4•（2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴无论k取何值，方程总有实数根；
（2）解：∵等腰三角形的底边长3，
∴另两边长即为等腰三角形的腰长，
∵另两边长恰好是这个方程的两根，
∴该方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3k+1）]2﹣4•（2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2＝0，
解得k＝1，
将k＝1代入方程，得x2﹣4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝2．
此时△ABC三边为3，2，2；
所以周长为3+2+2＝7．
6.
【答案】A
【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使四边形APQC的面积为9cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（8﹣t）×2t＝（24﹣9），
解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
∴动点P，Q运动3秒时，能使四边形APQC的面积为9cm2．
故选：A．
7．
【答案】(1)
(2)6元，110千克
【解析】
【分析】
（1）根据图象上点的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）每日利润＝每千克销售利润×日销售量，由此可得关于x的一元二次方程，求出x的值，代入y与x之间的关系式即可求出相应的日销售量．
(1)
解：设y与x之间的关系式为，
观察图象，将，代入得，

解得，
故y与x之间的关系式为；
(2)
解：依题意，降价x元后，每千克销售利润为元，日销量为千克，
则，
整理得，
解得或（不合题意，舍去）
当时，，
故该种水果每千克应降价6元进行销售，其相应的日销售量为110千克．
【点睛】
本题考查一次函数和一元二次方程的实际应用，第1问需要掌握利用待定系数法求一次函数的解析式，关键是从图象中找出有用信息；第2问关键是根据题意找出等量关系列方程并正确求解．
8.
【解答】解：（1）设月平均增长率是x，
依题意得：5（1+x）2＝7.2，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：月平均增长率是20%．
（2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为（100﹣y﹣60）元，每天的销售量为（20+2y）件，
依题意得：（100﹣y﹣60）（20+2y）＝1200，
整理得：y2﹣30y+200＝0，
解得：y1＝10，y2＝20．
又∵要尽量减少库存，
∴y＝20．
答：售价应降低20元．


二次函数问题
思路：解析式→开口→对称轴→最大最小→特殊转化
注意点：图像补充/对称轴判定/交点确定
1．D
【分析】
根据题意可得二次函数与x轴的交点为（m，0），（n，0），从而得到，进而得到函数经过第一三四象限，且与y轴的交点位于点（0，-1）的下方，即可求解．
解：令y=0，则，
解得：，
∴二次函数与x轴的交点为（m，0），（n，0），
∵，
∴，
∴函数经过第一、三、四象限，且与y轴的交点位于点（0，-1）的下方．
故选：D
【点拨】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键
2．
2．D
【分析】
利用对称轴及点A的坐标可以求出抛物线与x轴的另一交点，结合图象即可求出不等式的解集；利用对称轴 ，可知，进一步可求出；利用韦达定理求出方程根与系数的关系，可知，，进一步可以求出方程的两根；利用，可以推出，其中，再利用可知，利用c的范围可以求出的范围；
解：∵对称轴，，
∴抛物线交于x轴的另一点坐标为，
∴结合图象可知的解集为或，故①正确；
∵对称轴，
∴，即，故②错误；
∵中根与系数的关系：，
假设方程的根为和，
∴，
∴，
因式分解得：
∴，
∴的两个根分别为，，故③正确；
∵
∴
∴
∴
∵
∴，即，故④正确；
综上所述：正确的有①③④，
故选：D．
3．
3．5
【分析】
试题分析：根据羽毛球飞出的水平距离即为抛物线与x轴正半轴交点到原点的距离求出即可．
解：当y=0时，，
解得：x1=﹣1（舍），x2=5．
∴羽毛球飞出的水平距离为5米．
4．
4．（1）；（2），；（3） ， ，
【分析】
(1)把、代入抛物线即可求出b,c即可求解;
(2)根据A,B关于对称轴对称,连接BC交对称轴于P点,即为所求,再求出坐标及的周长;
(3)根据△QAB的底边为4,故三角形的高为4,令=4，求出对应的x即可求解.
解：(1)把、代入抛物线得
解得
∴抛物线的解析式为：;
(2)如图，连接BC交对称轴于P点,即为所求,
∵
∴C(0,-3),对称轴x=1
设直线BC为y=kx+b,
把, C(0,-3)代入y=kx+b求得k=1,b=-3,
∴直线BC为y=x-3
令x=1，得y=-2，
∴P（1，-2），
∴的周长=AC+AP+CP=AC+BC=+=;

(3)∵△QAB的底边为AB=4,
∴三角形的高为4,
令=4，即
解得x1=, x2=, x3=1
故点的坐标为 ， ，.
【点拨】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法与一次函数的求解.
5．

类型二：圆
思路：定义→性质→性质→证明
注意点：垂径定理/切线/圆周角圆心角/
1．
【解答】解：，
，
，
，
，
．
故选：．
2．
【解答】解：，
优弧所对的圆心角为，
由圆周角定理可知：，
故选：．
3．
【解答】解：连接，交于，
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，，
，，
阴影部分的面积
故选：．

4．
【解答】解：过点作，垂足为，连接，，，设内切圆的半径为，
设，则，
由勾股定理得：，．
．
解得：．
，
，
，
，
解得：，
故选：．

5．
【解答】解：（1）连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
过，
是的切线；

（2）连接，
是的直径，，
，
，
，
，
，的半径为4，
，
解得：．
6．
【解答】解：（1）与相切，
理由：连接，
为的直径，
，
为的中点，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
与相切；
（2）的半径为6，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
．






类型三：相似
思路：相似判定→相似性质→格点相似→相似动点
注意点：相似比/位似/存在性问题
1．
1．B
【详解】
A．从小到大排列，由于5×7≠4×10，所以不成比例，不符合题意；
B．从小到大排列，由于 ，所以成比例，符合题意；
C．从小到大排列，由于4×5≠3×8，所以不成比例，不符合题意；
D．从小到大排列，由于×3≠×9，所以不成比例，不符合题意．
故选B．
【点拨】本题考查线段成比例的知识．解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例．


2．
【解析】
【分析】
（1）由已知可得，再根据比例的性质即可解得的值；
（2）先设=t，用t表示出x、y、z，再代入要求的式子即可．
【详解】
（1）∵3a=2b，∴，∴=+1=+1=；
（2）设=t，则x=4t，y=3t，z=2t，∴原式=．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了比例的性质，是基础题，比较简单．
3．
【分析】
设某人身高为mcm，脖子下端至肚脐的长度为ncm，由腿长为105cm，可得，解得，根据得到，由此得到答案.
【详解】
解：设某人身高为mcm，脖子下端至肚脐的长度为ncm，则由腿长为105cm，可得，解得.
由头顶至脖子下端的长度为26cm，
可得，
解得.
由已知可得，
解得.
综上，此人身高m满足.
所以其身高可能为175cm.
故选：B
【点拨】此题考查比例的性质，根据题意设定未知数后得到对应成比例的线段，由此解答问题是解答此题的关键.

4．D
【分析】
根据位似三角形的定义及性质即可判断．
【详解】
A、由题意知，△DEF与△ABC是位似三角形，故正确；
B、由题意知，△OAC与△ODF是位似三角形，故正确；
C、由于△DEF与△ABC是位似三角形，因而也是相似三角形，且相似比为1:3，从而周长的比也为1:3，故正确；
D、此选项没有指明是哪两个位似三角形，故错误．
故选：D．
【点拨】本题考查了位似三角形的定义及性质．熟练运用定义及性质是解题的关键．

5．A
【分析】
作直线AA1、BB1，这两条直线的交点即为位似中心．
【详解】
由图中可知，点P的坐标为（﹣4，﹣3）．
故选A．

【点拨】用到的知识点为：两对对应点连线的交点为位似中心．


6．（1）画图见解析，(2,-2)；（2）画图见解析，（1,0）；
【分析】
（1）将△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，如图所示，找出所求点坐标即可；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，如图所示，找出所求点坐标即可．
【详解】
（1）如图所示，画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，-2）；

（2）如图所示，以B为位似中心，画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是（1，0），
故答案为（1）（2，-2）；（2）（1，0）
【点拨】此题考查了作图-位似变换与平移变换，熟练掌握位似变换与平移变换的性质是解本题的关键．

7．7.5米
【解析】
∵AE⊥OD，FC⊥OD，
∴△AEB∽△OGB，
,
解得AB=2m；
∵OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，
∴DC=5m
同理可得△DFC∽△DGO，
∴，
解得AC=7.5m．
故答案为7.5m．
8．B
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，△ADE∽△ABC和△ADE∽△ACB，可求运动的时间是3秒或4.8秒．
解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是x秒，①若△ADE∽△ABC，则AD：AB＝AE：AC，即x：6＝（12﹣2x）：12，解得：x＝3；
②若△ADE∽△ACB，则AD：AC＝AE：AB，即x：12＝（12﹣2x）：6，解得：x＝4.8．
所以当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．
故选B．
【点拨】本题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种情况，不要漏解；还要注意运用方程思想解题．